文档内容
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微专题 25 矩 形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 矩形的性质与判定(6年5考，常在几何题中涉及考查)
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(2)矩形的性质
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 矩形的对角线互相平分且相等
既是轴对称图形又是中心对称图形，有 ①
对称性
条对称轴，对称中心为两条 ② 的交点
(3)矩形的判定
①有一个角是 ③ 的平行四边形是矩形；
角
②有三个角是 ④ 的四边形是矩形
对角
对角线 ⑤ 的平行四边形是矩形
线
2. 矩形面积
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面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长).
练考点
1. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E.
(1)若对角线BD长为4，∠AOB＝60°，则AB的长为 ，BC的长为 ；
(2)若∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为 ；
(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，则AD的长为 .
第1题图
2. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
第2题图
A. AB＝BC B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
3. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为
cm2.
高频考点
考点 与矩形有关的证明及计算 (6年5考，常在几何题中涉及考查)
例 如图①，在 ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线
▱
于点E.
(1)求证：四边形ACED是矩形；
例题图①
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(2)若AB＝13，AC＝12，求四边形ADEB的面积；
(3)如图②，连接BD，若tan ∠ABC＝2，求证BD＝2√2AD；
例题图②
(4)如图③，过点A作CD的垂线，交DE于点G，在(3)的条件下，试判断AB与
AG的数量关系，并说明理由.
例题图③
真题及变式
命题点 与矩形性质有关的计算 (6年5考，常在几何题中涉及考查)
拓展训练
1. (北师八下习题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
M，N分别是BC，OC的中点.若MN＝2，则AC的长为 .
第1题图
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2. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图②操作，将矩形纸
片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再
按图③操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，
则A，H两点间的距离为 .
第2题图
3. (2024广东黑白卷)北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点
作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图①中S
矩形AEOM
＝S )”.问题解决：如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点
矩形CFON
M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，
DF＝2，则MF＝ .
第3题图
4. 如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一
边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S ，Rt△BFC的面积为S ，Rt△DCE的面积为S ，则S
1 2 3 1
S ＋S (用“＞”“＝”或“＜”填空)；
2 3
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.
第4题图
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新考法
5. [代数推理](人教八下习题改编)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝
20，两条对角线相交于点O.以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB C，对
1
角线相交于点A ，再以A B ，A C为邻边作第2个平行四边形A B C C，对角线
1 1 1 1 1 1 1
相交于点O ；再以O B ，O C 为邻边作第3个平行四边形O B B C …依此类推.
1 1 1 1 1 1 1 2 1
则第6个平行四边形的面积为( )
第5题图
A. 6 B. 3
C. 15 D. 12
6. [条件开放](2024贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
第6题图
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考点精讲
①2 ②对角线 ③90°(或直角) ④90°(或直角) ⑤相等
教材改编题练考点
1. (1)2，2√3；(2)30°；(3)2√3
2. C
3. 48
高频考点
例 (1)证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴在Rt△BCD中，BC＝√AB2－AC2＝√132－122＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，
∴四边形ADEC是矩形，
∴BC＝AD＝CE＝5，
∴BE＝2BC＝10，
∵AD∥BE，AC⊥BE，
1
∴S ＝ ×(5＋10)×12＝90，
四边形ADEB 2
∴四边形ADEB的面积为90；
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(3)证明：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.
在Rt△ABC中，
AC
∵tan∠ABC＝ ，
BC
AC
∴ ＝2，即AC＝2BC.
BC
设AD＝BC＝a，则AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，
又∵DE⊥BE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝√2BE＝2√2a，
AD a √2
∴ ＝ ＝ ，
BD 2√2a 4
∴BD＝2√2AD；
(4)解：AB＝2AG，理由如下：
∵AG⊥CD，
∴∠AGD＋∠CDE ＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，
∴△ADG∽△DEC，
AG AD
∴ ＝ .
DC DE
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACED是矩形，
∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，
DE
∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝ ＝2，即DE＝2CE，
CE
AG AD CE 1
∴ ＝ ＝ ＝ ，
DC DE 2CE 2
∴AB＝2AG.
真题及变式
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1
1. 8 【解析】∵M，N分别是BC，OC的中点，∴MN＝ OB，∵MN＝2，
2
∴OB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴AC＝BD＝2OB
＝8.
2. √10 【解析】如解图，连接AH.由折叠性质可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，
∵AB＝5，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3
－2＝1，∴AH＝√AE2＋EH2＝√32＋12＝√10.
第2题解图
3. 6 【解析】如解图，过点M作GH∥AB分别交AD，BC于点G，H，∴四边
形BEMH与四边形DGMF均为矩形，由定理知S ＝S ，∴S ＝
矩形BEMH 矩形DGMF △BEM
1 1
S ，∴ BE·EM＝ DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝
△DFM 2 2
BE·EM 4×3
＝ ＝6.
DF 2
第3题解图
1 1
4. 解：(1)＝；【解法提示】∵S ＝ BD·ED，S ＝BD·ED，∴S ＝ S
1 2 矩形BDEF 1 2 矩形
1
，∴S ＋S ＝ S ，∴S ＝S ＋S .
BDEF 2 3 2 矩形BDEF 1 2 3
(2)答案不唯一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.
选择△BCD∽△DEC.
证明：∵四边形ABCD和BDEF均为矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD
＋∠BDC＝90°，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，
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∴△BCD∽△DEC.
5. B 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S
矩形ABCD
＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB C，
1
1
∴平行四边形OBB C是菱形，∴A B ⊥BC，OB ＝AB＝12，∴S ＝ BC·OB
1 1 1 1 ▱OBB 1 C 2 1
1
＝ ×16×12＝96，易得 AB C C为矩形，∴S ＝A C·A B ＝48，∴第n个
2 ▱ 1 1 ▱A 1 B 1 C 1 C 1 1 1
192 192
平行四边形的面积为 ，∴第6个平行四边形的面积是 ＝3.
2n 26
6. 解：(1)选择①AB∥CD，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
或选择②AD＝BC，
证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)∵AB＝3，AC＝5，四边形ABCD为矩形，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝√AC2－AB2＝√52－32＝4，
∴S ＝AB·BC＝3×4＝12.
矩形ABCD
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