文档内容
微专题 26 菱 形
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 菱形的性质与判定(6年3考)
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
边 对边平行，四条边①
角 对角②
对角 对角线互相 ③ ，并且每一条对角线 ④
线 一组对角(人教独有)
既是轴对称图形又是中心对称图形，有 ⑤ 条对称
对称
轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条
性
对角线的交点
(3)菱形的判定
①有一组 ⑥ 的平行四边形是菱形(定义)；
边
② ⑦ 相等的四边形是菱形
对角
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
线
第 1 页 共 11 页2. 菱形面积
mn
面积计算公式：S＝ah＝ (a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对
2
角线的长).
练考点
1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为
BC的中点，连接OE，已知OE＝1.
第1题图
(1)∠ABD＝ °，∠BAD＝ °；
(2)菱形ABCD的周长为 ；
(3)△BOE的形状为 ；
(4)AC＝ ，BD＝ ；
(5)菱形ABCD的面积为 .
2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且互相平分，添加下列条
件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
第2题图
A. BC＝CD
B. AB＝AC
C. AC⊥BD
第 2 页 共 11 页D. ∠ABD＝∠CBD
高频考点
考点1 与菱形有关的证明及计算 (6年3考)
例 如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC边上的点，EF与
BD相交于点O，且EF⊥BD，连接BE，DF，BE＝DF.
例题图①
(1)求证：四边形BEDF为菱形；
(2)核心设问 若∠ABE＝30°，且四边形BEDF的面积为4√3，求四边形BEDF
的周长；[2022广东13题考查]
(3)若∠ADB＝30°，EF＝2，求AD的长；
DF
(4)若AD＝6，AB＝4，求 的值.
DB
第 3 页 共 11 页(5)如图②，连接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan ∠OCB的值.
例题图②
真题及变式
命题点 与菱形性质有关的计算 (6年3考)
1. (2022广东13题3分)菱形的边长为5，则它的周长为 .
2. (2024广东15题3分)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点
F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 .
第2题图
2.1 变图形——将菱形背景变为矩形
如图，矩形ABCD的面积为36，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为
AD上任一点，则图中阴影部分的面积为 .
变式2.1题图
第 4 页 共 11 页3. (2017广东21题7分)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角.
第3题图
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数.
拓展训练
4. (2024辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负
3
半轴上，顶点B在直线y＝ x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为( )
4
第4题图
A. (－1，6)
B. (－2，6)
C. (－3，6)
D. (－4，6)
新考法
5. [注重过程性](2024重庆A卷)
第 5 页 共 11 页在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，
过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这
条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.
根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂
线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点
O，且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴ ① ，∠FCO＝∠EAO.
∵点O是AC的中点，
∴ ② .
∴△CFO≌△AEO (AAS).
∴ ③ .
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你
猜想的结论： ④ .
第5题图
第 6 页 共 11 页考点精讲
①相等 ②相等 ③垂直平分 ④平分 ⑤2 ⑥邻边相等 ⑦四条边
教材改编题练考点
1. (1)30，120 (2)8 (3)等腰三角形 (4)2，2√3 (5)2√3
2. B
高频考点
例 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
{BE＝DF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴AE＝CF.
∵AD＝BC，
∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；
(2)解：∵∠ABE＝30°，
∴∠EBF＝60°.
由(1)知四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BF，∠EBO＝30°，
∴△BEF为等边三角形，OB＝√3OE，即BD＝√3EF，
∴BE＝EF，
∵S ＝4√3，
四边形BEDF
1 1
∴ BD·EF＝ ×√3EF2＝4√3，
2 2
解得EF＝2√2(负值已舍去)，
第 7 页 共 11 页∴BE＝BF＝DE＝DF＝EF＝2√2，
∴四边形BEDF的周长＝BE＋BF＋DE＋DF＝8√2；
(3)解：∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝DF.
∵BD⊥EF，∠ADB＝30°，
∴∠EDF＝2∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BF＝2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
1
∴在Rt△CDF中，CF＝ DF＝1，
2
∴AD＝BC＝BF＋CF＝2＋1＝3；
(4)解：∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF.
∵AD＝BC＝6，
设CF＝x，则DF＝BF＝BC－CF＝6－x.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CD2＋CF2＝DF2，
即42＋x2＝(6－x)2，
5
解得x＝ ，
3
5
∴CF的长为 ，
3
13
∴DF＝6－CF＝ .
3
在Rt△BCD中，由勾股定理，得DB＝√BC2＋CD2＝2√13，
第 8 页 共 11 页13
DF √13
∴ ＝ 3 ＝ ；
DB 6
2√13
(5)解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BF＝DF＝5，BO＝DO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴在Rt△BCD中，O为BD中点，
1
∴OC＝ BD＝BO，
2
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵CD＝AB＝4，
∴CF＝√DF2－CD2＝3，
∴BC＝3＋5＝8，
CD 4 1
∴tan∠OCB＝tan∠OBC＝ ＝ ＝ .
BC 8 2
真题及变式
1. 20 【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.
1 1
2. 10 【解析】如解图①，连接BD，∵E是AB的中点，∴S ＝ S ＝ S
△AED 2 △ABD 4
2
＝6，连接EC，同理可得S ＝S ＝6，∵S ＝4，∴S ＝ S ，
菱形ABCD △BEC △AED △BEF △BEF 3 △BEC
1 1 1
∴FC＝ BC，∴S ＝ S ＝ S ＝4，∴S ＝S －S －S －
3 △DFC 3 △BCD 6 菱形ABCD 阴影 菱形ABCD △AED △BEF
S ＝24－6－4－4＝10.
△DFC
第2题解图①
一题多解法
第 9 页 共 11 页如解图②，延长DE，CB交于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BG，
∴∠GBE＝∠DAE，∵E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠GEB＝∠DEA，
∴△AED≌△BEG(ASA)，∴GE＝DE，∴E为DG中点，∴S ＝S ＝S ＋
△DEF △FGE △BEF
1
S ＝4＋S ＝4＋24× ＝10.
△BEG △AED 4
第2题解图②
变式2.1 18 【解析】如解图，连接CH，在矩形ABCD中，设AD＝a，AB＝
1 1 1
b，则AE＝ b＝GC，BF＝ a，∴S ＝S －S －S －S ＝36－
2 2 阴影 长方形ABCD △AEH △HFC △HCG 2
1 1 1 1 1
AE·AH－ FC·AB－ HD·CG＝36－ AD·AE－ FC·AB＝36－ ab＝18.
2 2 2 2 2
变式2.1题解图
3. (1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF； (3分)
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
又∵BF＝BC，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAF＝60°， (5分)
第 10 页 共 11 页∵∠BAD＝∠FAD，∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°. (7分)
3
4. B 【解析】∵菱形AOBC的顶点B在直线y＝ x上，且点B的横坐标为
4
8，∴当x＝8时，解得y＝6，∴点B的坐标为(8，6)，由勾股定理得OB＝10，
∵四边形AOBC为菱形，∴OA∥BC，BC＝OB＝10，∵点A在x轴负半轴上，∴
点C的坐标为(－2，6)，故选项B正确.
5. 解：(1)作图如解图；(画法不唯一)
(2)①∠CFO＝∠AEO
②OC＝OA
③OF＝OE
④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边
相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
第5题解图
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