文档内容
微专题 14 函数的实际应用
练考点
1. 汽车油箱中有汽油30 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶
路程x(单位： km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.当0≤x≤300时，y与x
的函数表达式是( )
300
A. y＝0.1x B. y＝－0.1x＋30 C. y＝ D. y＝－0.1x2＋30x
x
2. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明
了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.若某杠
杆的阻力和阻力臂分别为1000 N和0.6 m，则它的动力F和动力臂l之间的函数
图象大致是( )
3. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围一块矩形的地.
已知房屋外墙长40米，则可围成的地的最大面积是 平方米.
第3题图
高频考点
考点 函数的实际应用(6年5考)
例 某工艺品店销售一款摆件，已知每件摆件的成本为30元，销售过程中发
现，在销售单价不低于成本价且不高于40元的试销期间，每周的销售量y(件)与
销售单价x(元)满足反比例函数关系；销售单价高于40元正式售卖时，每周的销
售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，下表是部分销售记录.
销售单价x(元) … 35 40 44 48 50 …
周销售量y(件) … 96 84 80 76 74 …
第 1 页 共 12 页(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象，并求出相应的函数表达式；
例题图
(2) 若计划每件摆件的利润率不低于40％，求该摆件每周的最大销售量；
(3) 在试销期间，当该摆件的销售单价为多少元时周利润最大？
(4) 根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，若该店计划下周该摆件的
销售单价高于40元，且一周内销售单价保持不变，预计下周利润最多为多少？
易错警示
利用函数的增减性解决实际问题中的最值时，要注意实际问题中自变量的取值
范围对最值的影响.特别地，在二次函数中若对称轴的取值不在自变量的取值范
围内，则最值在自变量取值的端点处取得.
真题及变式
命题点 函数的实际应用(6年5考)
类型一 利润(费用)最值问题(6年3考)
1. (2024广东20题9分·北师九下习题改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质
量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.
第 2 页 共 12 页某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平
均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增
加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其
最大值？(题中“元”为人民币)
2. (2020广东23题8分)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A
类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方
米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊
3
位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 .
5
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量
的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
类型二 跨学科问题(6年2考)
3. (2023广东13题3分·人教九下习题改编)某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电
48
池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝ .当R＝12 Ω时，
R
I的值为 A.
3.1 变条件——将一个电阻变为三个串联电阻
第 3 页 共 12 页(2024广州)如图，把R ，R ，R 三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电
1 2 3
压为U，则U＝IR ＋IR ＋IR .当R ＝20.3，R ＝31.9，R ＝47.8，I＝2.2时，U的
1 2 3 1 2 3
值为 .
变式3.1题图
4. (2022广东20题9分)物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂
物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与
所挂物体质量的数量关系.
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量.
拓展类型
5. [图象问题](2024陕西)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王
师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，
该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出.已
知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的
关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出
口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
第 4 页 共 12 页第5题图
6. [抛物线型问题](2024东莞模拟)爱思考的小芳在观看女子排球比赛时发现一个
有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部
分，于是她和同学小华一起进行了实践探究.
经实地测量，可知排球场地长为18 m，球网在场地中央且高度为2.24 m.建立如
图所示的平面直角坐标系，A为击球点.记排球运动过程中距地面的竖直高度为
y(单位：m)，距击球点的水平距离为x(单位：m).小华第一次发球时，测得y与x
的几组数据如下表：
水平距离x/m 0 4.5 6 7.5 12
竖直高度y/m 2 2.75 2.8 2.75 2
(1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距
离x满足的函数表达式；
(2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由；
(3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的形状及对称
轴位置不变，在点O上方击球，既要过球网，又不出边界(排球压线属于没出界)
时，求小华的击球点高度h(单位：m)的取值范围.
第6题图
新考法
第 5 页 共 12 页7. [综合与实践]
科学探究
【主题】利用“浮力称”测量浸入水的深度
【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹
冲的称象思路，制作了一把“浮力称”.
【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成
员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数
据如下.
【实验数据】
物体质量/kg 0 0.3 0.6 0.9 1.2
浸入水中深度/m 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
【问题解决】设放进杯中的物体质量为x kg，杯子浸入水中的深度为 y m.
(1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象；
(2)求放入杯中物体质量在0 kg～1.2 kg范围内时，杯子浸入水中的深度 y 与放
入物体质量x之间的函数表达式；
(3)若量杯的高度为0.15 m，此“浮力称”可以称质量为2 kg的物体吗？
第7题图
第 6 页 共 12 页练考点
1. B 【解析】利用油箱中的油量y＝总油量－耗油量，得出函数表达式是y＝
－0.1x＋30(0≤x≤300).
2. B 【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000 N
600
和0.6 m，∴动力F关于动力臂l的函数表达式为1000×0.6＝Fl，即F＝ ，∴
l
动力F和动力臂l之间的函数图象是反比例函数图象，又∵动力臂l＞0，∴反比
600
例函数F＝ 的图象在第一象限.
l
3. 450 【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(60－2x)
米，∴菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由题意得0＜
60－2x≤40，解得10≤x＜30，∴当x＝15时，菜园的面积最大，最大面积为450
平方米.
高频考点
例 解：(1)画出函数图象如解图；
∵当销售单价不低于成本价且不高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价
x(元)满足反比例函数关系，
k k k
∴设y ＝ 1(30≤x≤40)，将(40，84)代入y ＝ 1中，得84＝ 1，
1 x 1 x 40
解得k ＝3 360，
1
3 360
∴y ＝ (30≤x≤40).
1 x
∵当销售单价高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数
关系，
∴设y ＝k x＋b(x＞40，k ≠0)，将(50，74)，(44，80)代入y ＝k x＋b中，
2 2 2 2 2
{74=50k ＋b {k ＝－1
得 2 ，解得 2 ，
80=44k ＋b b=124
2
∴y ＝－x＋124(x＞40)，
2
{3 360
(30≤x≤40)
∴y与x的函数表达式为y＝ x ；
－x+124(x>40)
第 7 页 共 12 页例题解图
(2)∵每件摆件的成本为30元，计划每件摆件的利润率不低于40％，
x－30
∴ ×100％≥40％，
30
解得x≥42，
由(1)得y ＝－x＋124(x＞40)，
2
∵－1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝42时，y 取得最大值，最大值为82.
2
答：该摆件每周的最大销售量为82件；
3 360
(3)由(1)可知y ＝ (30≤x≤40)，
1 x
设试销期间每周总利润为W 元，
1
3 360 100 800
则W ＝(x－30)y ＝(x－30)· ＝－ ＋3 360，
1 1 x x
100 800
当－ 最大时，W 最大，
x 1
∵－100 800＜0，30≤x≤40，
100 800
∴当x＞0时，－ 随x的增大而增大，
x
100 800
∴当x＝40时，W 取得最大值，为－ ＋3 360＝840.
1 40
答：在试销期间，当该摆件的销售单价为40元时，周利润最大；
(4)设下周总利润为W 元，
2
∵该店计划下周该摆件的销售单价高于40元，
∴销售量与售价满足关系式y ＝－x＋124(x＞40)，
2
∴W ＝(x－30)y ＝(x－30)(－x＋124)＝－x2＋154x－3 720＝－(x－77)2＋2 209，
2 2
第 8 页 共 12 页∵根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，
∴40＜x≤50，
∵－1＜0，
∴当x＜77时，W 随x的增大而增大，
2
∴当x＝50时，W 取得最大值，为1 480.
2
答：预计下周利润最多为1 480元.
真题及变式
1. 解：选择利润最大：
设该果商定价为每吨x万元，利润为W万元，
则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋
450x－700，
450
∵－50＜0，对称轴为直线x＝－ ＝4.5，
2×(−50)
∴当x＝4.5时，W最大，此时W＝(4.5－2)×(350－50×4.5)＝312.5， (8分)
答：该果商定价为每吨4.5万元时利润最大，最大利润为312.5万元. (9分)
或选择销售收入最大：
设该果商定价为每吨x万元，销售收入为y万元，
则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，
350
∵－50＜0，对称轴为直线x＝－ ＝3.5，
2×(−50)
∴当x＝3.5时，y最大，此时y＝3.5×(350－50×3.5)＝612.5， (8分)
答：该果商定价为每吨3.5万元时销售收入最大，最大销售收入为612.5万元.
(9分)
2. 解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积
为(x＋2)平方米，
60 3 60
由题意得 ＝ × ， (2分)
x+2 5 x
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解且符合实际， (3分)
第 9 页 共 12 页∴x＋2＝5.
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米；
(4分)
(2)设建A类摊位a个，则建B类摊位(90－a)个，
由题意得90－a≥3a，解得a≤22.5， (5分)
设建造这90个摊位的费用为y元，
则y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8 100， (6分)
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵a取整数，
∴a的最大值为22，
∴当a＝22时，y取最大值，最大值为110×22＋8 100＝10 520.
答：建造这90个摊位的最大费用为10 520元. (8分)
48
3. 4 【解析】当R＝12 Ω时，I＝ ＝4(A).
12
变式3.1 220 【解析】∵U＝IR ＋IR ＋IR ，当R ＝20.3，R ＝31.9，R ＝
1 2 3 1 2 3
47.8，I＝2.2时，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝
220.
4. 解：(1)将x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15(x≥0)；(4分)
(2)当y＝20时，20＝2x＋15，
解得x＝2.5，(8分)
∴当弹簧的长度为20 cm时，所挂物体的质量为2.5 kg.(9分)
5. 解：(1)设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，
{ 1
{ 80=b k＝－
得 ，解得 5，
50=150k＋b
b=80
第 10 页 共 12 页1
∴y与x之间的关系式为y＝－ x＋80；
5
1
(2)当x＝240时，y＝－ ×240＋80＝32，
5
32
∴该车的剩余电量占“满电量”的百分比为 ×100％＝32％.
100
答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电
量”的32％.
6. 解：(1)由表格可知抛物线顶点坐标为(6，2.8)；
设y与x之间的函数关系式为y＝a(x－6)2＋2.8.
1
将(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－ .
45
经检验，表格中其他数据也满足上述关系.
∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达
1
式为y＝－ (x－6)2＋2.8；
45
(2)能，理由如下：
1
当x＝9时，y＝－ (9－6)2＋2.8＝2.6.
45
∵2.6＞2.24，
∴小华这次发球能过网；
1
(3)设只改变击球点高度后抛物线的表达式为y＝－ (x－6)2＋k，
45
1
把x＝9，y＝2.24代入y＝－ (x－6)2＋k中，
45
解得k＝2.44，
1
∴y＝－ (x－6)2＋2.44，
45
1
把x＝0代入y＝－ (x－6)2＋2.44，解得y＝1.64.
45
1
把x＝18，y＝0代入y＝－ (x－6)2＋k，解得k＝3.2，
45
1
∴y＝－ (x－6)2＋3.2.
45
第 11 页 共 12 页1
把x＝0代入y＝－ (x－6)2＋3.2，解得y＝2.4.
45
∴小华的击球点高度h的取值范围是1.64＜h≤2.4.
7. 解：(1)描出相应点及画出函数图象如解图所示：
第7题解图
(2)观察函数图象可知y与x为一次函数关系，∴设y关于x的函数表达式为y＝
kx＋b(k≠0)，
将x＝0，y＝0.02；x＝1.2，y＝0.10，代入y＝kx＋b(k≠0)，
{ 1
{ 0.02=b k＝
得 ，解得 15 ，
0.10=1.2k＋b
b=0.02
1
∴y关于x的函数表达式为y＝ x＋0.02(0≤x≤1.2)；
15
1
(3)当y＝0.15时， x＋0.02＝0.15，解得x＝1.95 kg，
15
∵2 kg＞1.95 kg，超过了此浮力称的最大量程，
∴若量杯的高度为0.15 m，此“浮力称”不可以称质量为2 kg的物体.
第 12 页 共 12 页
