2025年中考数学总复习31微专题三种方法求阴影部分面积学案（含答案）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考二轮数学总复习微专题学案（含答案）

微专题 31 三种方法求阴影部分面积 一阶 方法训练 方法解读 1. 公式法 所求阴影部分的面积是规则图形，例如三角形、特殊四边形、扇形时，直接用 面积公式计算. S ＝S 阴影 △ABE S ＝S 阴影 正方形ABCO S ＝S 阴影 扇形MEN 方法一 公式法[6年2考：2023.15、22(2)②，2022.15] 例1 如图，在 ABCD中，BC＝8，点E在AD边上，连接BE，CE，若点A到 ▱ 直线BC的距离为4，则图中阴影部分的面积为 . 例1题图 变式1 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝√3，以点B为圆心，BA长为半 径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形ABE的面积为 . 第 1 页 共 13 页变式1题图 变式2 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的☉O 交BC于点D，连接OD，则图中阴影部分的面积为 . 变式2题图 方法解读 2. 和差法 (1)直接和差法 所求不规则阴影部分的面积若可以看成几个规则图形，则面积直接相加减. S ＝S －S －S －S 阴影 ▱ABCD △AEF △BCE △CDF S ＝S －S 阴影 扇形AOB △AOB S ＝S －S 阴影 △ABC 扇形CAD (2)构造和差法 所求不规则阴影部分的面积需要添加辅助线构造规则图形，然后进行相加减. S ＝S ＋S 阴影 △ACE △ACF 第 2 页 共 13 页S ＝S ＋S 阴影 △OBD 扇形DOC S ＝S －S －S 阴影 △ABC △BOD 扇形DOC 方法二 和差法[6年2考：2021.13，2019.22(2)] 一、直接和差法 例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AB，AD上， 连接CE，CF，EF.若AE＝2BE，AF＝DF，则图中阴影部分的面积为 . 例2题图 变式3 如图，△ABC内接于☉O，连接OA，OB，若OA＝10，∠ACB＝45°， 则图中阴影部分的面积为 . 变式3题图 ⏜ 变式4 如图，四边形AOBC是边长为1的正方形，以O为圆心的 交OA的延 CD 长线于点D，则图中阴影部分的面积等于 . 变式4题图 第 3 页 共 13 页二、构造和差法 例3 如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，点D在CE上，其中正方形 ABCD的面积为16 cm2，正方形CEFG的面积为36 cm2，则图中阴影部分的面 积为 cm2. 例3题图 变式5 如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D， ⏜ ☉O的半径为2.若点D是 的中点，则图中阴影部分的面积为 . AB 变式5题图 变式6 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4√2，以点B为圆心，分别以 AB，BC的长为半径画弧，与BC，AD分别交于点E，F，则图中阴影部分的面 积为 . 变式6题图 方法解读 3. 等积转化法 所求阴影部分的面积无法直接计算时，可利用等积转化法将所求阴影部分的面 积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差. (1)直接等面积转化(AB∥CD) 第 4 页 共 13 页S ＝S 阴影 △ABC S ＝S 阴影 扇形COD (2)全等转化 S ＝S ( ABCD) 阴影 △AOB ▱ S ＝S (D为AB的中点) 阴影 △ACD 方法三 等积转化法 例4 如图，在 ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，若S ＝20，则 ▱ ▱ABCD 图中阴影部分的面积为 . 例4题图 π ⏜ 变式7 如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点， 的长为 ， CD 3 则图中阴影部分的面积为 . 变式7题图 第 5 页 共 13 页变式8 如图，AB为☉O的直径，BC与☉O相切，连接AC，与☉O交于点D， ☉O的半径为2，若∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 . 变式8题图 二阶 综合应用 1. 如图，AB是☉O的直径，OC＝6，∠BAC＝40°，则图中阴影部分的面积 为 . 第1题图 2. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，AF交于 点P，连接CE，BF交于点Q，若四边形EPFQ的面积为15，则图中阴影部分的 面积为 . 第2题图 3. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切 于点E，连接BD，则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π) 第3题图 第 6 页 共 13 页4. 如图，将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形 A'BC'D'，点A，C，D分别对应点A'，C'，D'，则图中阴影部分的面积为 . 第4题图 5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AD，BC的中点，分别 以点A，B为圆心，AE长为半径作弧，两弧交AB于点G，以EF为直径在EF 的右侧作半圆，则图中阴影部分的面积为 . 第5题图 6. 如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE，CE＝√7，则图中阴影部分的 面积为 . 第6题图 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，点G，H 1 分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF＝ AD，则图中阴影部分的 2 面积为 . 第7题图 第 7 页 共 13 页第 8 页 共 13 页一阶 方法训练 例1 16 【解析】∵AD∥BC，点A到直线BC的距离为4，∴点E到直线BC 1 的距离为4，∴S ＝ ×8×4＝16. 阴影 2 2π 变式1 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝ 3 CB √3 BE＝2，BC＝√3，∴cos∠CBE＝ ＝ ，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°－ BE 2 60π×22 2π 30°＝60°，∴S ＝ ＝ . 扇形ABE 360 3 2π 变式2 【解析】∵AB＝AC＝4，∠C＝30°，AB为☉O的直径，∴∠B＝ 3 1 60π×22 ∠C＝30°，OA＝OB＝ AB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴S ＝ ＝ 2 阴影 360 2π . 3 2 例2 20 【解析】∵AE＝2BE，AF＝DF，AB＝6，BC＝8，∴AE＝ AB＝4， 3 1 1 1 BE＝ AB＝2，AF＝DF＝ AD＝ BC＝4，∴S ＝S －S －S －S 3 2 2 阴影 矩形ABCD △AEF △BCE △CDF 1 1 1 ＝6×8－ ×4×4－ ×8×2－ ×6×4＝20. 2 2 2 变式3 25π－50 【解析】∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，又 nπr2 1 90π×102 1 ∵OA＝OB＝10，∴S ＝S －S ＝ － OA·OB＝ － 阴影 扇形AOB △AOB 360 2 360 2 ×10×10＝25π－50. π 1 变式4 － 【解析】∵四边形AOBC是边长为1的正方形，∴AC＝AO＝ 4 2 1，∠OAC＝90°，∴OC＝√2，∠AOC＝45°，∴S ＝S －S ＝ 阴影 扇形COD △AOC 45π×(√2)2 1 π 1 － ×1×1＝ － . 360 2 4 2 例3 10 【解析】∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，且面积分别为16 1 cm2，36 cm2，∴BC＝CD＝4 cm，CG＝CE＝6 cm，∴S ＝S －S ＝ 阴影 △BEG △BDG 2 1 ×(4＋6)×6－ ×(4＋6)×4＝10 cm2. 2 第 9 页 共 13 页⏜ 变式5 2＋π 【解析】如解图，连接OD，∵点D是 的中点，∴∠AOD＝ AB ∠DOB＝90°，△AOD是等腰直角三角形，∵☉O的半径为2，∴S ＝S ＋S 阴影 △AOD 1 90π×22 ＝ ×2×2＋ ＝2＋π. 扇形DOB 2 360 变式5题解图 变式6 8 【解析】如解图，连接BF，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝ ∠BAD＝90°，∵AB＝4，BF＝BC＝4√2，∴AF＝√BF2－AB2＝4，∴△ABF是等 腰直角三角形，∠ABF＝∠CBF＝45°，∴S ＝S ＋S －S ＝ 阴影 扇形CBF △ABF 扇形ABE 45π×(4√2)2 1 90π×42 ＋ ×4×4－ ＝8. 360 2 360 变式6题解图 例4 10 【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形， 1 ∴AD∥BC，S ＝ S ＝10，∴S ＝S ＝10. △BCD 2 ▱ABCD 阴影 △BCD 例4题解图 π 变式7 【解析】如解图，连接CD，OC，OD，∵C，D是以AB为直径的 6 半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC ＝OD，∴△OAC，△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB， 1 60πr 1 ⏜ ∴S ＝S ，∵ 的长为 π，设半圆O的半径为r，∴ ＝ π，解得r＝ △ACD △OCD CD 3 180 3 60π×12 π 1，∴S ＝S ＝ ＝ . 阴影 扇形COD 360 6 第 10 页 共 13 页变式7题解图 变式8 4 【解析】如解图，连接BD，OD.∵BC与☉O相切，∴∠ABC＝ 90°，∵∠C＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠ADB＝ 90°，∴点D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∵BC⊥AB， ∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠BOD＝90°，∴扇形AOD的面积与扇形BOD的面积 1 1 相等，易得S ＝S ，∴在Rt△BDC中，S ＝ BD·CD＝ ×(√2AO)2＝4， 阴影 △BDC △BDC 2 2 即S ＝4. 阴影 变式8题解图 二阶 综合应用 1. 8π 【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OA＝OB，∴线段 CO是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴S ＝S ，∴S ＝S ，∵∠BAC △AOC △COB 阴影 扇形BOC 80π×62 ＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∵OC＝6，∴S ＝ ＝8π，∴S 扇形BOC 360 ＝8π. 阴影 2. 15 【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∴△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等，∴S ＝S ，∴S － △EFC △BCF △EFC S ＝S －S ，∴S ＝S ，同理，S ＝S ，∴S ＝S ，∵S △FQC △BCF △FQC △EFQ △BQC △EFD △ADF △EFP △APD 四边 ＝S ＋S ＝15，∴S ＝S ＋S ＝S ＝15. 形EPFQ △EFP △EFQ 阴影 △APD △BQC 四边形EPFQ 第2题解图 第 11 页 共 13 页3. π 【解析】如解图，连接OE交BD于点F，∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∴∠FBE＝∠FDO，又∵AD为圆O的直径，半圆O与BC相切于点 1 E，∴OE⊥BC，易得BF＝DF，BE＝OD＝ BC＝2，∴△BEF≌△DOF(SAS)，∴S 2 1 1 ＝S ＝ πr2＝ π×22＝π. 阴影 扇形EOD 4 4 第3题解图 4. 3－√3 【解析】如解图，设AD，C'D'交于点E，连接BE，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由旋转的性质，得 ∠CBC'＝30°，BC'＝BC，∠C'＝∠C＝90°，∴∠A＝∠C'＝90°，AB＝C'B， 1 1 又∵BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△C'BE，∴∠ABE＝∠C'BE＝ ∠ABC'＝ (90°－ 2 2 ∠CBC')＝30°，S ＝S ，在Rt△ABE中，AE＝AB·tan∠ABE＝1，∴S ＝ △C'BE △ABE 阴影 1 S －S ＝√3×√3－2× ×1×√3＝3－√3. 正方形ABCD 四边形ABC'E 2 第4题解图 5. 8 【解析】如解图，设EF的中点为O，连接GO并延长，交CD于点H， ∵E为AD中点，AG＝AE，AD＝AB，∴点G为AB的中点，易得OE＝OF＝ DE，扇形EOH与扇形GBF面积相等，扇形HOF与扇形EAG面积相等，可得S ＝S ，∵点E是AD的中点，AB＝AD＝4，∴AE＝2，∴S ＝S 阴影 矩形ABFE 阴影 矩形ABFE ＝4×2＝8. 第5题解图 第 12 页 共 13 页7 6. 【解析】如解图，过点D作DF⊥CE于点F，∴∠DFC＝90°， 2 ∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°，∴∠DFC＝∠CEB，∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠DCF＋∠BCE＝90°，∵∠CBE＋∠BCE＝ 1 90°，∴∠DCF＝∠CBE，∴△DCF≌△CBE，∴DF＝CE＝√7，∴S ＝ CE·DF 阴影 2 7 ＝ . 2 第6题解图 35 7. 【解析】如解图，连接GH，过点M作MN⊥GH于点N，交AD于点 2 Q，∵在矩形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，∴四边形GHDA是矩 MN GH 形，∴GH＝AD＝BC＝10，GH∥AD，∴△GMH∽△FME，∴ ＝ ＝2， MQ EF 1 1 1 ∵MN＋MQ＝ AB＝3，∴MN＝2，MQ＝1，∴S ＝ GH·MN＝ ×10×2＝ 2 △GHM 2 2 1 1 5 10，∴S ＝ EF·MQ＝ ×5×1＝ ，S ＝3×10＝30，∴S ＝S △EFM 2 2 2 矩形GHDA 阴影 矩形GHDA 5 35 －S －S ＝30－10－ ＝ . △GHM △EFM 2 2 第7题解图 第 13 页 共 13 页