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微专题 40 尺规作图
1. （2024佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）尺规作图：在AC上确定一点D，使点D到CB，AB的距离相等（要求保
留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，若AC＝6，AB＝
10，求△ADE的周长.
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，连接AE，AC.
（1）实践与操作：作BF∥AE交AC于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AE＝3，BE＝√3，∠BFC＝∠ABE，
求BC的长.
第2题图
3. （2024广东黑白卷）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高.
（1）实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交
AB于点M；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，证明CE＝BM.
第 1 页 共 10 页第3题图
4. （2024广州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接
AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形.
第4题图
5. 如图，△ABC为等腰三角形.
（1）实践与操作：求作菱形AEDF，使得∠A为菱形的一个内角，点D，E，F
分别在边BC，AB，AC上；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AB＝AC＝10，BC＝8，求菱形AEDF
的面积.
第5题图
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.
（1）实践与操作：在边AC上取点O，以OC为半径作☉O，使得☉O与AB相切；
（保留作图痕迹，不要求写作法）
OC
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若AO＝BC，求 的值.
OA
第 2 页 共 10 页第6题图
7. （2024香洲区二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°＋∠A，以AB为直径
的☉O交AC于D.
（1）实践与操作：过点B作EB⊥AB，交AC于点E；（保留作图痕迹，不要求
写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，当BE＝OA，BC＝10时，求DE的长度.
第7题图
8. （2024佛山一模）综合与实践
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点
的距离相等.
【动手操作】如图，已知菱形ABCD，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，
C的距离相等.小红同学设计如下作图步骤；
第 3 页 共 10 页①连接BD；
1
②分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径分别在AD的上方与下方作弧；
2
AD上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线MN交BD于点E；
③连接AE，EC，则EA＝ED＝EC.
（1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程.（保留作图痕
迹，不要求写作法）.
【证明结论】
（2）证明：EA＝ED＝EC.
【拓展延伸】
（3）当∠ABC＝72°时，求△EBC与△EAD的面积比.
第 4 页 共 10 页1. 解：(1)如解图，点D即为所求；
第1题解图
(2)如解图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠C＝90°＝∠BED，BD＝BD，
∴△BCD≌△BED(AAS)，
∴CD＝DE，BC＝BE，
∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，
∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8.
2. 解：(1)如解图①或解图②，点F即为所求；(作法不唯一)
第2题解图
(2)∵BF∥AE，
∴∠BFC＝∠EAC，
∵∠BFC＝∠ABE，
∴∠EAC＝∠ABE，
∵∠AEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△CAE，
BE AE √3 3
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
AE CE 3 CE
解得CE＝3√3，
∴BC＝CE－BE＝2√3.
第 5 页 共 10 页3. (1)解：如解图①，△CDE即为所求作的三角形；(答案不唯一)
一题多解法
如解图②，△CDE即为所求作的三角形.
第3题解图
(2)证明：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠ECD＝60°，∴∠B＝∠ECD，
∵∠MDB＝∠EDC，
∴△BMD≌△CED(ASA)，
∴CE＝BM.
4. (1)解：如解图①，线段BO即为所求；
第4题解图①
(2)证明：如解图②，由题可得AO＝CO，由旋转可得BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形.
第4题解图②
5. 解：(1)如解图，菱形AEDF即为所求(作法不唯一，合理即可)；
第 6 页 共 10 页第5题解图
(2)如解图，设AD与EF交于点O，
∵AD是∠BAC的平分线，
1
∴AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝4.
2
在Rt△ABD中，AD＝√AB2－BD2＝√102－42＝2√21，
∵EF⊥AD，
∴EF∥BC.
∵AO＝OD，
∴E，F分别为AB和AC的中点，
1
∴EF＝ BC＝4，
2
1
∴S ＝ AD·EF＝4√21.
菱形AEDF 2
6. 解：(1)如解图①②，☉O即为所求；
第6题解图
(2)如解图③，连接OD，
∵☉O与AB相切，
∴OD＝OC，OD⊥AB，
∵∠ABC＝90°，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
第 7 页 共 10 页OD AO AO
∴ ＝ ＝ .
CB AC AO＋OC
∵AO＝BC，OD＝OC，
OD OC AO
∴ ＝ ＝ ，
BC AO AO＋OC
即AO2＝OC2＋OC·AO，
AO2 OC2 OC·AO
∴ ＝ ＋ ，
AO2 AO2 AO2
OC OC
即1＝( )2＋ ，
AO AO
OC
设 ＝a，则1＝a2＋a，
OA
整理得a2＋a－1＝0，
√5－1
解得a＝ (负值已舍去)，
2
OC √5－1
∴ ＝ .
OA 2
第6题解图③
7. 解：(1)如解图，BE即为所求；
第7题解图
(2)如解图，连接DB.
∵AB⊥BE，
∴∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°＋∠A，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠C＝∠C，
第 8 页 共 10 页∴△CBE∽△CAB，
CB CE BE BE 1
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
CA CB AB 2OA 2
∵BC＝10，
∴CE＝5，CA＝20，
∴AE＝AC－CE＝20－5＝15，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∵∠A＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠DBE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
∴△ADB∽△BDE，
AB DB AD
∴ ＝ ＝ ＝2，
BE DE DB
∴BD＝2DE，AD＝2BD＝4DE，
1
∴DE＝ AE＝3.
5
8. (1)解：根据小红同学设计，完成作图过程如解图所示；
第8题解图
(2)证明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE＝EC，
∵MN垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝EC；
第 9 页 共 10 页(3)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180°－∠ABC＝108°.
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠ADB＝36°，
∴∠EAD＝∠ABD＝36°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
AD DE
∴ ＝ ，即AD2＝BD·DE.
BD AD
∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD＋∠ADE＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB.
设AB＝x＝BE，DE＝a(其中x，a＞0)，
则x2＝(x＋a)·a，
1+√5 1－√5
∴x2－ax－a2＝0，解得x＝ a或x＝ a(舍去)，
2 2
AB 1+√5
∴ ＝ ，
DE 2
设点A到BD距离为h，则点C到BD的距离为h，
1
∴S ＝ DE·h，
△AED 2
1
S ＝ DE·h，
△EDC 2
∴S ＝S ，
△AED △EDC
S S BE AB 1+√5
∴ △EBC＝ △EBC＝ ＝ ＝ .
S S DE DE 2
△EAD △EDC
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