文档内容
2012 年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2012•衡阳）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
﹣
2．（2012•衡阳）2012年我省各级政府将总投入594亿元教育经费用于“教育强省”战略，将594亿元用于科学记数
法（保留两个有效数字）表示为（ ）
A．5.94×1010 B．5.9×1010 C．5.9×1011 D．6.0×1010
3．（2012•衡阳）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a=5a2 B．（2a）3=6a3 C．（x+1）2=x2+1 D．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
4．（2012•衡阳）函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
5．（2012•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（ ）
A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2
6．（2012•衡阳）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形
7．（2012•衡阳）为备战2012年伦敦奥运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩为（单位：环）
甲：9 10 9 8 10 9 8
乙：8 9 10 7 10 8 10
下列说法正确的是（ ）
A．甲的中位数为8 B．乙的平均数为9 C．甲的众数为9 D．乙的极差为2
8．（2012•衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（ ）
A．70° B．90° C．110° D．80°9．（2012•衡阳）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2012•衡阳）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
11．（2012•衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛
球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽
毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（ ）
A． B．
C． D．
12．（2012•衡阳）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
13．（2012•衡阳）计算 ﹣ × = ________ _ ．
14．（2012•衡阳）分式方程 的解为x= ________ _ ．
15．（2012•衡阳）如图，反比例函数y= 的图象经过点P，则k= ________ _ ．16．（2012•衡阳）某校为了丰富学生的课外体育活动，欲增购一批体育器材，为此该校对一部分学生进行了一次题为
“你喜欢的体育活动”的问卷调查（每人限选一项）
根据收集到的数据，绘制成如图的统计图（不完整）：
根据图中提供的信息得出“跳绳”部分学生共有 ________ _ 人．
17．（2012•衡阳）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧 的
长为 ________ _ cm．
18．（2012•衡阳）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb=
_________ ．
19．（2012•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD= ，则菱形ABCD的面积为 ________ _ cm2．
20．（2012•衡阳）观察下列等式
①sin30°= cos60°=②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ________ _ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分60分）
21．（2012•衡阳）计算：（﹣1）2012﹣（﹣3）+ + ．
22．（2012•衡阳）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
23．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
24．（2012•衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）
25．（2012•衡阳）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，
每次实验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的
概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方
案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
26．（2012•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若
AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．27．（2012•衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，
速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位
长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜ ）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则新坐标（x ﹣x ，y ﹣y ）称为“向量PQ”的坐标．当S取最
1 1 2 2 2 1 2 1
大值时，求“向量PQ”的坐标．
28．（2012•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，
交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．2012 年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．
考点：绝对值。
分析：根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝对值就是表示﹣3的点与原
点的距离．
解答：解：|﹣3|=3，
故选：C．
点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝
对值是0．
2．
考点：科学记数法与有效数字。
分析：学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后
面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答：解：根据题意先将594亿元写成594×108=5.94×1010元．再用四舍五入法保留两个有效数字即得5.9×1010元．
故选B．
点评：把一个数M记成a×10（n 1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．同时考查近似数及有
效数字的概念．
【规律】
（1）当|M|≥1时，n的值为M的整数位数减1；
（2）当|M|＜1时，n的相反数是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
3．
考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式。
专题：计算题。
分析：根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案．
解答：解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；
B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；
D、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法
则是关键．
4．
考点：函数自变量的取值范围。
专题：常规题型。
分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故选A．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
5．
考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体。
分析：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，利用圆的面积公式即可求解．
解答：解：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，
则此圆锥的底面积为：π（ ）2=25πcm2．
故选B．
点评：本题考查了圆锥的三视图，正确理解三视图得到：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm是
关键．6．
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即
可判断出．
解答：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是掌握掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．
考点：极差；算术平均数；中位数；众数。
分析：分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．
解答：解：甲：9，10，9，8，10，9，8
A．∵排序后为：8，8，9，9，9，10，10
∴中位数为：9；故此选项错误；
C.9出现了3次，最多，
∴众数为9，故此选项正确；
乙：8，9，10，7，10，8，10，
B．（8+9+10+7+10+8+10）÷7= ≠9，故此选项错误；
D．极差是10﹣7=3，故此选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及极差后找到
正确的选项即可．
8．
考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角；直角三角形的性质。
分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角
相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．
解答：解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，
∴a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠3=∠2，
∴∠2=∠1=70°．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．
9．
考点：列表法与树状图法。
分析：首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为11的情况，然后利用概率公式求
解即可求得答案．
解答：解：列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12∴所得点数之和为11的概率为： = ．
故选A．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
10．
考点：直线与圆的位置关系。
分析：首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若d＜r，则直线与圆相
交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，
进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案．
解答：解：根据题意，得
该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，
故直线l与⊙O的交点个数为2．
故选：C．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，这里要特别注意12是圆的直径；掌握直线和圆的位置关系与数量之间
的联系是解题的关键．
11．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组。
专题：应用题。
分析：分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副
同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．
解答：
解：由题意得， ．
故选B．
点评：此题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，属于基础题，关键是仔细审题得出两个等量关系，建立
方程组．
12．
考点：二次函数图象与系数的关系。
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的
关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
解答：解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x= =1，则有﹣ =1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选C．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程
之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
13．
考点：二次根式的混合运算。
分析：首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解．
解答：解：原式=2 ﹣ = ，
故答案是：
点评：本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的特点是关键．
14．
考点：解分式方程。
分析：观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：去分母得：2（x+1）=3x，
去括号得：2x+2=3x，
移项得：2x﹣3x=﹣2，
合并同类项得：﹣x=﹣2，
把x的系数化为1得：x=2，
检验：把x=2代入最简公分母x（x+1）=6≠0，
故原分式方程的解为：x=2．故答案为：2．
点评：此题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解
分式方程一定注意要验根．
15．
考点：待定系数法求反比例函数解析式。
分析：首先根据图象写出P点坐标，再利用待定系数法把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．
解答：解：根据图象可得P（3，﹣2），
把P（3，﹣2）代入反比例函数y= 中得：
k=xy=﹣6，
故答案为：﹣6．
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式．
16．
考点：条形统计图；扇形统计图。
分析：先求得总人数，然后用总人数减去其他各个小组的频数即可．
解答：解：∵从条形统计图知喜欢球类的有80人，占40%
∴总人数为80÷40%=200人
∴喜欢跳绳的有200﹣80﹣30﹣40=50人，
故答案为50．
点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
17．
考点：弧长的计算；等边三角形的判定与性质；切线的性质。
专题：数形结合。
分析：根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度
数，代入弧长公式即可得出答案．
解答：解：∵直线AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
又∵∠A=30°，
∴∠BOA=60°，
∵弦BC∥AO，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
即可得∠BOC=60°，
∴劣弧 的长= =2πcm．
故答案为：2π．
点评：此题考查了弧长的计算公式、切线的性质，根据切线的性质及圆的性质得出△OBC是等边三角形是解答本题
的关键，另外要熟练记忆弧长的计算公式．
18．
考点：两条直线相交或平行问题。
分析：根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b值，再代入代数式
进行计算即可．
解答：解：∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，
∴k=2，
∵y=kx+b的图象经过点A（1，﹣2），
∴2+b=﹣2，
解得b=﹣4，
∴kb=2×（﹣4）=﹣8．
故答案为：﹣8．
点评：本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的k值相等求出k=2是解题的关键．
19．
考点：菱形的性质；解直角三角形。
专题：数形结合。
分析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长
为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
解答：解：连接AC交BD于点O，
则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
设BO=3x，AO=4x，
则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴4×5x=20cm，
解得：x=1，
故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，
故可得 AC×BD=24cm2．
故答案为：24．
点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是
解答本题的关键．
20．
考点：互余两角三角函数的关系。
专题：规律型。
分析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．
解答：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；
sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；
故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是
个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
三、解答题（本大题共8小题，满分60分）
21．
考点：实数的运算；负整数指数幂。
专题：计算题。
分析：分别计算负整数指数幂、二次根式的化简，然后合并即可得出答案．
解答：解：原式=1+3﹣2+3=5．
点评：此题考查了实数的运算，关键是掌握各部分的运算法则，属于基础题，注意细心运算．
22．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
专题：探究型。
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答：解：∵由①得，x＞﹣1；由②得，x≤4，
∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，
在数轴上表示为：
点评：本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
23．
考点：全等三角形的判定。
专题：开放型。
分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件
EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．
解答：解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即：AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中， ，
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．
24．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析：作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即
可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．
解答：解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4m，
在直角△ABF中，AF= = =3m，
在直角△CED中，根据i= ，
则ED= = =4 m．
则AD=AF+EF+ED=3+4.5+4 =（7.5+4 ）m．
答：坝底宽AD为（7.5+4 ）m．
点评：本题考查了坡度坡角的问题，把梯形的计算通过作高线转化成直角三角形的计算是解决本题的基本思路．
25．
考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法。
分析：（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即
可求得答案；
（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率
公式即可求得答案；
（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．
解答：解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为： = ；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为： = ；
（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（3，4），（4，3）共4种情况，
∴P（甲胜）= = ，P（乙胜）= ，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公
平．
26．
考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。
分析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线
的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由
全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵ ，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，
∴四边形ACBD是正方形．
点评：本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点．要证某线是圆的切
线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
27．考点：平行线分线段成比例；二次函数的最值；勾股定理；三角形中位线定理。
专题：代数几何综合题；动点型。
分析：
（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式 ，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线
PD∥BO，由线段比例关系 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，
利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的
纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x
2
﹣x ，y ﹣y ），即可求解．
1 2 1
解答：解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB= = =10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴ ，即 ，解得t= ，
∴当t= 秒时，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴ ，即 ，解得PD=6﹣ t．
S= AQ•PD= •2t•（6﹣ t）=6t﹣ t2=﹣ （t﹣ ）2+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣ （t﹣ ）2+5（0＜t＜ ），
当t= 秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t= ，
∴PD=6﹣ t=3，∴PD= BO，又PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD= OA=4，
∴P（4，3）．
又AQ=2t= ，∴OQ=OA﹣AQ= ，∴Q（ ，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（ ﹣4，0﹣3），即（ ，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（ ，﹣3）．点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性
质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新
定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识．
28．
考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题；数形结合。
分析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到
A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较
即可得证；
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF
表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）
∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；
由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：
4a=﹣1，a=﹣
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2．
（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣ a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），则：
则：PF= = = a2+1，PR= =
a2+1．
∴PF=PR．
②由①得：RF= ；
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=FR，得：
= a2+1，即： a4﹣ a2﹣3=0，得：
a2=﹣4（舍去），a2=12；
∴a=±2 ，﹣ a2=﹣3；
∴存在符合条件的P点，坐标为（2 ，﹣3）、（﹣2 ，3）．
③同①可证得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1= （180°﹣∠SQF）；
同理，在等腰RPF中，∠2= （180°﹣∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°∴∠1+∠2= （360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．
点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在解答题
目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论．
