文档内容
微专题 30 与圆有关的计算
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 弧长与扇形面积(6年5考)
圆周长 C＝① r为圆(扇形)的半径；
扇形弧长 l＝② n°为弧所对的圆心角的度数；
圆面积 S＝③ l是扇形的弧长
1
扇形面积 S ＝ ④ ＝ lr
扇形 2
注：阴影部分图形的面积计算，方法讲解详见本书P136～P137微专题 三种
方法求阴影部分面积
2. 圆锥的相关计算(6年2考)
(1)圆锥的侧面展开图是扇形；
(2)圆锥的母线长l为扇形的 ⑤ ；
r为底面圆半径
(3)圆锥底面圆的周长2πr为扇形的 ⑥
l为圆锥的母线长
相关 ；
计算 (4)圆锥的高为h，则r2＋h2＝l2；
(5)圆锥的底面圆周长：C＝2πr；
(6)圆锥的底面圆面积：S＝πr2；
(7)圆锥的侧面积：S＝πrl
3. 正多边形与圆
名称 公式 图例
中心角 正n边形的每个中心角θ为⑦
第 1 页 共 10 页√ a
边心距 正n边形的边心距r＝ R2−( )2
2
周长 正n边形的周长l＝na
R：半径
正n边形的面积S＝ ⑧ rl(l为 r：边心距
面积
正n边形的周长) a：边长
θ：中心角
练考点
1. 已知扇形AOB的半径为4，圆心角为60°，则该扇形的弧长＝ ，面积
＝ .
2. 如图，扇形的半径为6，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，
则所得圆锥的底面半径为 .
第2题图
3. 如图，☉O是正六边形ABCDEF的外接圆.
(1)∠FAO的度数为 ；
(2)若☉O的半径OA为6，则圆心到边AB的距离为 .
第3题图
高频考点
考点1 与弧长、扇形面积有关的计算 (6年5考)
例1 (2024佛山南海区一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以
⏜
CD为直径的圆与AD交于点E，则 的长是( )
CDE
7π
A. 3π B. C. 4π D. 5π
2
第 2 页 共 10 页例1题图
例2 (2024山西)如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是
其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA
＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2.
例2题图
考点2 与圆锥有关的计算 (6年2考)
⏜
例3 (2024珠海金湾区一模)如图，已知一圆在扇形AOB的外部，沿扇形的 ，
AB
从点A滚动一周(无滑动)，恰好到达点 B.如果OA＝24 cm，∠AOB＝60°，
圆的半径为 cm.
例3题图
变式1 (2024烟台)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点 F为圆心，
⏜
以 FB的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
BD
底面半径为 .
变式1题图
考点3 正多边形与圆
第 3 页 共 10 页例4 (2024甘孜州)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，OA＝1，则AB的长为
( )
1
A. 2 B. √3 C. 1 D.
2
例4题图
变式2 (2024佛山顺德区一模)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通
过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周
长.如图，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用圆内接正十二边形来计算圆周
率，则圆周率π约为( )
变式2题图
A. 12sin 30° B. 12cos 30° C. 12sin 15° D. 12cos 15°
真题及变式
命题点1 与圆锥有关的计算 (6年2考)
1. (2020广东16题4分)如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周
角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆
的半径为 m.
第1题图
命题点2 与扇形面积有关的计算 (6年5考)
第 4 页 共 10 页2. (2022广东15题3分)扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结
果保留π)为 .
3. (2021广东13题4分·北师九下习题改编)如图，等腰直角三角形ABC中，
∠A＝90°，BC＝4.分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，
交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为 .
第3题图
4. (2019广东22题7分)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个
⏜
小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的 与
EF
BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.
(1)求△ABC三边的长；
⏜
(2)求图中由线段EB，BC，CF及 所围成的阴影部分的面积.
FE
第4题图
新考法
5. [真实问题情境](2024呼伦贝尔)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某
⏜ ⏜
乡镇计划修建公路.如图， 与 是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆
AB CD
心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边
线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米.(π取3.14，计算结果
精确到0.1)
第 5 页 共 10 页第5题图
6. [综合与实践](2024广东21题9分)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
第6题图①
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
第6题图②
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
第 6 页 共 10 页考点精讲
nπr nπr2
①2πr ② ③πr2 ④ ⑤半径 ⑥弧长
180 360
360° 1
⑦ ⑧
n 2
练考点
4π 8π
1. ，
3 3
2. 2
3. (1)60°；(2)3√3
高频考点
例1 C 【解析】如解图，取CD的中点O，连接OE，∵在菱形ABCD中，
AB＝6，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，∴∠COE＝2∠D＝
240π×3
⏜
120°，OC＝3，∴ 的长是 ＝4π.
CDE
180
例1题解图
π 1
例2 ( － ) 【解析】∵点C，D分别为OA，OB的中点，OA＝1 m，∴OC
4 8
1 1 1 1 90π 1 π
＝ OA＝ m，OD＝ OB＝ m.∴S ＝S －S ＝ － OC·OD＝(
2 2 2 2 阴影 扇形AOB △OCD 360 2 4
1
－ )m2.
8
60π×24
例3 4 【解析】设圆的半径为r cm，2πr＝ ，解得r＝4.
180
变式1 √3 【解析】设圆锥的底面半径为r，∵正六边形边长为6，∴AB＝AF
＝6，∠BAF＝120°，∴∠AFB＝30°，∴BF＝2AF·cos 30°＝6√3，∵∠BFD
60π×6√3
＝∠AFE－2∠AFB＝60°，∴ ＝2πr，解得r＝√3.
180
360°
例4 C 【解析】∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB＝ ＝60°，∵OA＝
6
OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝1.
第 7 页 共 10 页变式2 C 【解析】如解图，连接OA ，OA ，过点O作OM⊥A A ，垂足为点
1 2 1 2
M，设☉O的半径为R，∵十二边形A A …A 是圆内接正十二边形，∴∠A OA
1 2 12 1 2
360°
＝ ＝30°，又∵OA ＝OA ，OM⊥A A ，∴∠A OM＝15°，在Rt△A OM
12 1 2 1 2 1 1
中，∠A OM＝15°，OA ＝R，∴A M＝R·sin 15°，∴A A ＝2A M＝2R·sin
1 1 1 1 2 1
15°，∴正十二边形A A …A 的周长为12A A ＝2R·sin 15°×12，∴2πR＝
1 2 12 1 2
2R·sin 15°×12，解得π＝12sin 15°.
变式2题解图
真题及变式
1
1. 【解析】设圆锥的底面圆半径为R m，根据扇形的弧长等于底面圆周长，
3
120π×1 1
可得到 ＝2πR，解得R＝ .
180 3
90π×22
2. π 【解析】扇形面积为 ＝π.
360
3. 4－π 【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝
√2 1
∠C＝45°，AB＝AC＝ BC＝2√2，∵BC＝4，∴BE＝CE＝ BC＝2，∴S ＝
2 2 阴影
1 45π×22 45π×22
S －S －S ＝ ×2√2×2√2－ － ＝4－π.
△ABC 扇形BDE 扇形CEF 2 360 360
4. 解：(1)根据题图可知AB2＝22＋62＝40，
∴AB＝2√10. (1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝2√10. (2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝4√5； (3分)
(2)如解图，连接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°. (4分)
第 8 页 共 10 页⏜
∵以点A为圆心的 与BC相切于点D，
EF
∴AD⊥BC，
1
∴AD＝ BC＝2√5. (5分)
2
1 1
∵S ＝ BC·AD＝ ×4√5×2√5＝20，
△ABC 2 2
1
S ＝ π×(2√5)2＝5π， (6分)
扇形EAF 4
∴S ＝S －S ＝20－5π. (7分)
阴影 △ABC 扇形EAF
第4题解图
72π·OA 72π·OC
⏜ ⏜
5. 28.7 【解析】根据题意，得 的长为 ， 的长为 ，∵公
AB CD
180 180
72π·OA 72π·OC
路弯道外侧边线比内侧边线多36米，∴ － ＝36，∴
180 180
72π·(OA－OC) 72π·AC 90 90
＝36，即 ＝36，解得AC＝ ≈ ≈28.7.
180 180 π 3.14
6. 解：(1)能，理由如下： (1分)
设圆锥滤纸底面周长为C，半径为r，母线为l，
7
漏斗底面半径为R＝ cm，母线长L＝7 cm，滤纸直径d＝10 cm，
2
1
由题意得 πd＝C＝2πr，
2
5 d
r＝ cm，l＝ ＝5 cm，
2 2
r 1
∴ ＝ ，
l 2
7
R 1
又∵ ＝2＝ ，
L 2
7
r R
∴ ＝ ，
l L
第 9 页 共 10 页∴滤纸可紧贴漏斗内壁； (6分)
(2)设滤纸围成圆锥形的高为h cm，
5√3
由(1)可知h＝√l2－r2＝ cm，
2
1 1 5 5√3 125√3π
∴V ＝ πr2h＝ ×π×( )2× ＝ (cm3). (9分)
圆锥 3 3 2 2 24
第 10 页 共 10 页
