文档内容
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第 2 节 分式方程及其应用
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 分式方程及其解法
1.分式方程的概念:分母中含有① 的方程叫作分式方程.
2.解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.(转化思想)
3.解分式方程的步骤:
知识点2 分式方程的应用
1.列分式方程解应用题的一般步骤:
2.列分式方程解实际应用题常见的几种类型
类型 基本数量关系 常见数量关系
工作总量 工作总量
工作总量 - =工作时间
工程问题 =工作时间 工作效率 提高后工作效率
工作效率
差
同一路程 同一路程 同一路程
- =时间差,
路程 甲的速度 乙的速度 慢车速度
行程问题 =时间
速度 同一路程
- =时间差
快车速度
商品总售价 商品总售价
总价 - =数
销售问题 =数量 变化后商品单价 变化前商品单价
单价
量差
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【基础演练】
1 2
1.方程 = 的解是 ( )
x+1 x
A.x=-2 B.x=-1
C.x=1 D.x=2
1 1+x
2.解分式方程 -2= 时,去分母正确的是 ( )
x−2 2−x
A.1-2(x-2)=1+x
B.1-2(x-2)=-1+x
C.1-2(x-2)=-1-x
D.-1+2(2-x)=1+x
3 1
3.解方程: -2= .
x−1 1−x
真题精粹·重变式
考向1 解分式方程 6年1考
3 x
1.(2024·福建)解方程: +1= .
x+2 x−2
热点训练
2 3
2.方程 = 的解为 ( )
x−3 x
A.x=3 B.x=-9
C.x=9 D.x=-3
3−x 1
3.解方程: = -2.
x−4 4−x
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考向2 分式方程的应用 6年1考
4.(2020·福建)我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去
买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意:现请人代买一批椽.这批椽的价钱为6210文.
如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210
文能买多少株椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
6210 6210
A.3(x-1)= B. =3
x x−1
6210 6210
C.3x-1= D. =3
x x
热点训练
5.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球数量的2倍,购买足球用了5000元,购
5000 4000
买篮球用了4000元,篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程 = -30,则方程中的x
2x x
表示( )
A.足球的单价 B.篮球的单价
C.足球的数量 D.篮球的数量
6.今年,某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批
服装,经了解,在甲商店租用的服装比在乙商店租用的服装每套多10元,用500元在甲商店租用服
装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
(1)问在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元?
(2)若租用10套以上服装,甲商店给予每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装,请问在哪家
商店租用服装的费用较少?并说明理由.
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核心突破·拓思维
考点 分式方程的应用
某超市本周开展促销活动,将某种农产品降价20%出售,李叔叔本周和上周都各用了120元
钱购买这种农产品,本周比上周多买了6千克,设上周这种农产品的单价为x元/千克.
(1)请完成表格:
时间 单价/(元/千克) 购买农产品的质量/千克
上周 x
本周
(2)与上周相比,本周这种农产品每千克便宜了多少元?
核心方法
分式方程应用的“两一定”
1.列分式方程解决实际问题时,一定要找准题意中存在的等量关系.
2.列分式方程解应用题一定要验根,既要检验是否为分式方程的根,又要看是否符合实际意
义.
《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题大译如下:如果把一
份文件用慢马送到900里外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,所需的时间比
规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则下列方程正确
的是( )
900 900
A. = ×2
x+1 x+3
900 900
B. ×2=
x+1 x+3
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900 900
C. ×2=
x+1 x−3
900 900
D. = ×2
x+1 x−3
某物流公司有两种货车,已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨,且用
大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车的货
运量分别是多少吨?
无人配送以其高效、安全、低成本等优势,正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园
区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要
配送6 000件包裹,使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天,问1名
快递员平均每天可配送包裹多少件?
2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”,充分发挥科技生产力对企业和产业
发展的作用.某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术,无人机喷洒农药时,平均每700平方米的土
地用药量比常规喷药壶用药量少10 mL,无人机用药300 mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药
450mL喷洒的农田面积相同.
(1)求无人机喷洒农药时,平均每700平方米的土地的用药量.
(2)该镇计划采购A,B两种型号喷药无人机共20台.已知A型号喷药无人机每台15 000元,B型号
喷药无人机每台20 000元,若采购资金不超过360 000元,则最少需采购A型号喷药无人机多少
台?
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①未知数 ②等于0 ③不等于0
基础演练
1.A 2.C
3.解析:去分母,得3-2(x-1)=-1,
去括号,得3-2x+2=-1,
移项,得-2x=-1-3-2,
合并同类项,得-2x=-6,
系数化为1,得x=3,
检验:当x=3时,x-1≠0,
∴分式方程的解为x=3.
真题精粹·重变式
1.解析:去分母,得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理,得3x-10=2x,
解得x=10.
检验:当x=10时,(x+2)(x-2)≠0.
故原方程的解为x=10.
2.C
3.解析:去分母,得3-x=-1-2(x-4),
去括号,得3-x=-1-2x+8,
移项、合并同类项,得x=4,
检验:当x=4时,x-4=0,
∴x=4不是原方程的解,原分式方程无解.
4.A 5.D
6.解析:(1)设在乙商店租用的服装每套x元,则在甲商店租用的服装每套(x+10)元,
500 400
由题意可得 = ,
x+10 x
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解得x=40,
经检验,x=40是该分式方程的解,且符合题意,
∴x+10=50,
∴在甲商店租用的服装每套50元,在乙商店租用的服装每套40元.
(2)在乙商店租用服装的费用较少.
理由如下:在甲商店租用服装的费用为50×20×0.9=900(元),
在乙商店租用服装的费用为40×20=800(元).
∵900>800,
∴在乙商店租用服装的费用较少.
核心突破·拓思维
例 解析:(1)∵上周这种农产品的单价为x元/千克,
120
∴上周购买的质量为 千克,
x
120
∴本周这种农产品的单价为(1-20%)x元/千克,∴本周购买的质量为 千克.
(1-20%)x
120 120
故答案为 ;(1-20%)x; .
x (1-20%)x
120 120
(2)依题意得 - =6,
(1-20%)x x
解得x=5,
经检验,x=5是原方程的解,且符合题意,
∴20%x=1.
答:与上周相比,本周这种农产品每千克便宜了1元.
变式1 C
变式2 解析:设每辆小货车的货运量是x吨,则每辆大货车的货运量是(x+4)吨,
80 60
依题意得 = ,
x+4 x
解得x=12,
经检验,x=12是原方程的解,且符合题意.
∴x+4=12+4=16.
答:每辆大货车的货运量是16吨,每辆小货车的货运量是12吨.
变式3 解析:设1名快递员平均每天可配送包裹x件,则1辆无人配送车平均每天可配送包
裹5x件,
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6000 6000
根据题意得 - =2,
4x 5x
解得x=150,
经检验,x=150是所列方程的解,且符合题意.
答:1名快递员平均每天可配送包裹150件.
变式4 解析:(1)设无人机喷洒农药时,平均每700平方米的土地的用药量为x mL,则用常规
喷药壶喷洒农药时,平均每700平方米的土地的用药量为(x+10)mL,
300 450
根据题意得 = ,
x x+10
解得x=20,
经检验,x=20是所列分式方程的解,且符合题意.
答:无人机喷洒农药时,平均每700平方米的土地的用药量为20 mL.
(2)设采购m台A型号喷药无人机,则采购(20-m)台B型号喷药无人机,
根据题意得15 000m+20 000(20-m)≤360 000,
解得m≥8,
∴m的最小值为8.
答:最少需采购A型号喷药无人机8台.
8
