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专题 03 分式【八大题型】
【人教版】
【题型1 分式有、无意义的条件】..........................................................................................................................2
【题型2 分式的值为0的条件】..............................................................................................................................2
【题型3 分式的基本性质的运用】..........................................................................................................................3
【题型4 分式的运算】..............................................................................................................................................3
【题型5 分式的化简求值】......................................................................................................................................4
【题型6 分式运算的实际应用】..............................................................................................................................4
【题型7 分式中的规律探究】..................................................................................................................................5
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】.....................................................................................................6
【知识点 分式】
1.分式的定义
A
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
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a c a⋅c
⋅ =
①乘法法则：
b d b⋅d
。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
②除法法则：
b d b c b⋅c
。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方： 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： 。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减： ；
②异分母分式的加法： 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
1
【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
√x−2
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x−1 2x+1 2x−1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x−1 2x+1
√x+5
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
1
【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子 +√4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
√x+3
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
【题型2 分式的值为0的条件】
x2−x
【例2】（2023·四川凉山·统考中考真题）分式 的值为0，则x的值是（ ）
x−1
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A．0 B．−1 C．1 D．0或1
x−1
【变式2-1】（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
3x+1
A．1 B．0 C．−1 D．−3
【变式2-2】（2023·浙江金华·统考一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”，
请写出一个这样的分式 ．
|x|−3
【变式2-3】（2023·山东枣庄·校考一模）若分式 的值为0，则 x的值是（ ）
x2−x−6
A．3 B．−3 C．±3 D．3或−2
【题型3 分式的基本性质的运用】
【规律方法】
分式化简的方法：
（1）寻找分子、分母的最大公因式；
（2）根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以（或除以）最大公因式，分式的值不变。
【例3】（2023·河北·统考中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
1
a
a+2 a a−2 a a2 a 2 a
A． = B． = C． = D． =
b+2 b b−2 b b2 b 1 b
b
2
|a| 1
【变式3-1】（2023·湖南·中考真题）若 = ，则a的取值范围是（ ）
a−a2 a−1
A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的
是（ ）
A．2+x B．2y C．2y3 D． 2y2
x−y x2 3x2 (x−y) 2
【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+1＝ ．
1−a2
【题型4 分式的运算】
4
【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
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A．1 B． x2 C． x D． x2
x2−4 x+2 x+2
a+1 1
【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：( x+2 x−1 ) x−4 ．
− ÷ =
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子 x2−9 x ，下列说法正确（ ）
÷
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当0a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是
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边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种
植基地是边长为(a−1)米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的
单位面积产量更高？
【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加
300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，
现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油
价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为(100−ax)
100−ax
千米，乙距离终点为(100−bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满
100−bx
足的条件．
【题型7 分式中的规律探究】
【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：
1 0 1 0
第1个等式： + + × =1，
1 2 1 2
1 1 1 1
第2个等式： + + × =1，
2 3 2 3
1 2 1 2
第3个等式： + + × =1，
3 4 3 4
1 3 1 3
第4个等式： + + × =1，
4 5 4 5
1 4 1 4
第5个等式： + + × =1，
5 6 5 6
……
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按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
2 3 10 15 26
【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,⋯， 根据
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11
其中的规律可得a = （用含n的式子表示）．
n
x 2 2
【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定f (x)= ，例如：f (2)= = ，
1+x 1+2 3
1 1
3 3 (1) 2 1 (1) 3 1
f (3)= = ，f = = ，f = = …利用以上的规律计算：
1+3 4 2 1 3 3 1 4
1+ 1+
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1)
f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)+f (2022)+f (2023)= ．
2023 2022 2021 2
【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：
①12+22+32 ， ②22+32+52 ，
=2 =2
12+22+2 22+32+6
③32+42+72 ， ④42+52+92 ，
=2 =2
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】
A
【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“❑ JX ”，其中A和B是关于x的多项式，
x→+∞ B
A A
当A的次数小于B的次数时．❑ JX =0；当A的次数等于B的次数时，❑ JX 的值为A、B的最高
x→+∞ B x→+∞ B
A 2
次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，❑ JX 不存在，例如：❑ JX =0，
x→+∞ B x→+∞ x−1
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❑ JX x2+2 = 1，若A = ( 2− 3 ) ÷ 4x2−10x，则 ❑ JX A的值为 ．
x→+∞ 2x2+3x−1 2 B x−1 x2−1 x→+∞ B
|a b| a b
【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算： = − ，按照此规定，
c d d c
| x −1|
化简的结果为（ ）
x+1 x+1
x+1 x+1
A．x2 B． C． D．1
x x−1
【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互
为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
【变式8-3】（2023·四川·统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的
x+1 x−1+2 x−1 2 2
和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5 x+1 2x−3
= = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x−1 x+1
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
①x+1 ②2+x ③x+2 ④y2+1
x 2 x+1 y2
a2−2a+3 a2−2a+3
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =
a−1 a−1
_____________+________________；
(3)应用：先化简3x+6 x−1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x+1 x x2+2x
7
