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专题 13 几何图形初步
课标要求 考点 考向
1.了解几何体的基本概念、基本性质和分类。
考向一 几何体的展开图
2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点 常见的
的意义； 几何体 考向二 点、线、面、体
3. 理解角的概念，能比较角的大小．认识度、分、秒，会
直线、
对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差；
射线、 考向一 直线、射线、线段
4. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相
线段
等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的补角相等的性
考向一 角的运算
质；识别同位角、内错角、同旁内角；
5. 理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点
角 考向二 角平分线
画已知直线的垂线；
考向三 余角和补角
考点一 常见的几何体
►考向一 几何体的展开图
1．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关
键．
由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．
【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．
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故选：D．
2．（2024·江西·中考真题）如图是 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构
特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种
展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校 B．安 C．平 D．园
【答案】A
【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 的小正方形，得到
如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高
分别为 的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为 的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样
完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
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【答案】 12 144
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形
（体）的特征，即可解答．
【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，
的最小公倍数是6，
如图，
6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，
需图②的个数： （个）；
同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体，
用 个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，
宽，高为12，12，12的正方体，
此时需要： （个）．
故答案为：12；144．
5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它
制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，
并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1
图2 图3
(1)直接写出 的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开
图图样是（ ）
图4
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A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的正方体
礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张
数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），
给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不
要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考
虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿
用）
【答案】(1)2；
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(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知， ， ，四边形 是正方形，得到 ，即
，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号 卡纸可制作10个正方体，每张型号 卡纸可制作2个正方体，每张型号
卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的值为： ．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间
相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
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所用卡纸总费用（单位：
58
元）
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为 的正方体的展开图形为：
∴型号 卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号 卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号 卡纸2张，型号 卡纸3张，型号 卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
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►考向二 点、线、面、体
6．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．
【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，
故选：C．
考点二 直线、射线、线
段
►考向一 直线、射线、线段
7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推
力 、 ，则 的力臂 大于 的力臂 ．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点 有
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，进而利用垂线段最短得到 即可解题．
【详解】解： 过点 有 ，
，
即得到 的力臂 大于 的力臂 ，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
8．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴
含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
考点三 角
►考向一 角的运算
9．（2024·海南·中考真题）如图，直线 ，把一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式放置，
点B在直线n上， ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线 平行于直线m，易得 ，
根据平行线的性质可得 ，由 可求出 的度数，再由平行线的性质可得 的度
数．
【详解】解：如图，过点C作直线 平行于直线m，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ， ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
10．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角，用 乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12
份，每份是 ，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是 ，
故选：C．
11．（2024·北京·中考真题）如图，直线 和 相交于点 ， ，若 ，则 的
大小为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据 得到 ，再由平角 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺 按如图位置摆放，顶点A落在直线 上，顶点B落在直
线 上，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出 ，又由三角板中 ，根据角的和差即可求出 ．
【详解】解：如图，∵
∴ ，
∵在三角板 中， ，
∴ ．
故选：B
考向二 角平分线
13．（2024·四川·中考真题）如图， ，AD平分 ， ，则 （ ）
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A． B．30° C． D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据 、 即
可求解.
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵AD平分 ，
∴
故选：B
14．（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，若
∠AOD=58o，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据
圆周角定理得到 ，再根据圆周角定理得到 ， ，
然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，∠AOD=58o，
∴ ， ，则 ，
∴ ，
故选：A．
考向3 余角和补角
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解题技巧/易错易混
1.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的
两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．
2.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的
补角可以有很多个
15．（2024·甘肃·中考真题）若 ，则 的补角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据和为 的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】 。
则 的补角为 ．
故选：D．
16．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线 ，点 在直线 上，射线 交直线 于点 ，
则图中与 互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出
，得出结合对顶角的性质 ，根据邻补角的定义得出
，即可求出中与 互补的角，即可求解．
【详解】解∶∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴图中与 互补的角有 ， ， ，共3个．
故选∶C．
17．（2024·甘肃兰州·中考真题）已知∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
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A．100° B．80° C．40° D．10°
【答案】A
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选A．
【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．
一、单选题
1．（2024·贵州·模拟预测）如图所示的长方体的截面是（ ）
A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．三棱柱
【答案】C
【分析】本题考查几何体的截面图形．根据题中图示，可得图中的截面是三角形．
【详解】解：图中沿着长方体的三个顶点截图，其截面是一个三角形．
故选：C．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】C
【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：
射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度．
【详解】A、线段不能向两边延伸，
∴ 与 不会相交，故本选项错误；
B、射线 向右上方方向延伸，
∴ 与 不会相交，故本选项错误；
C、射线 向左下方方向延伸，
∴ 与 会相交，故本选项正确；
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D、射线 向右上方方向延伸，射线 向左下方方向延伸，
∴ 与 不会相交，故本选项错误；
故选：C．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面
上的汉字是( )
A．美 B．丽 C．中 D．国
【答案】B
【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握
正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．
【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，
故选：B．
4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开
（外表面朝上），其展开图可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三
条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．
【详解】
解：观察 ，
∴其展开图可能是 ，
故选：D．
5．（2024·山西·模拟预测）如图，这是某几何体的展开图，则该几何体需要剪开的棱数为（ ）
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A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】D
【分析】此题考查了三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
首先得到这个几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的棱数和展开图中没有剪开的棱数求解即可．
【详解】根据题意的，这个几何体是三棱柱
∵三棱柱共有9条棱，展开图中有4条棱没有剪开
∴该几何体需要剪开的棱数为 （条）．
故选：D．
6．（2024·湖南·模拟预测）媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），
其长度分别为 ， ， ，而两地的直线距离为 ，解释这一现象的数学知识最合理的是
（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段
最短
【答案】C
【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的
关键．
【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短，
故选：C．
7．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，从它的上面看到的平
面图形是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【分析】本题考查从不同方向看几何体．解答本题的关键是掌握从上面看的观察位置．
画出从上向下看得到的平面图形，判断即可．
【详解】解：从上面看，得到的图形为：
故选：C．
8．（2024·上海·三模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）
组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形 就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，
不正确的是（ ）
A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形
B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形
C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形
D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形
【答案】D
【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键．
【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成
正方形
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故选：D．
9．（2024·湖南·模拟预测）如图，在 中， 是 边上一点，若 分别是 的平
分线，若 的周长为18，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到
， ，进而得到 ， ，由平行四边形 的周长 ，即可
求解．
【详解】解：∵ 、 分别是 、 的平分线，
∴ ， ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
平行四边形 的周长 ．
，
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，
故选：C．
10．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段 的两个端点都在格点上，网格内另有A、
B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．A、B、C三点在一条直线上
B．连接 、 ，则 是直角三角形
C．连接 ，
D．连接 、 ，则
【答案】D
【分析】本题考查了直线、三角形的分类、平移的性质，垂直的定义，理解网格的特点，掌握相关知识点
是解题关键．
【详解】解：A、连接 并延长，点 不在直线 上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不
符合题意；
B、连接 、 ，取格点 ， ，而 ，即 是钝角三角形，结论错误，不
符合题意；
C、连接 ，将点 向上平移三个单位，再将点 向上平移三个单位，点 不在直线 上，即
不平行，结论错误，不符合题意；
D、由网格可知， ，结论正确，符合题意；
故选：D．
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二、填空题
11．（2024·广西·二模）从 地到 地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这
是因为 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】此题主要考查了线段的性质，正确记忆线段的性质是解题关键．
根据线段的性质：两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：从 地到 地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，
这是因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
12．（2024·山西·模拟预测）已知直线 ，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m
上， ，另一直角三角板一直角边与直线n重合， ，若 ，则 ．
【答案】 /15度
【分析】】把 分别向两方延长交直线 于点 ，交直线 于点 ，先根据直角三角形的两个锐角互余
可得 ，然后利用平行线的性质可得 ，再利用平行线的性质可得
，最后根据直角三角形的两个锐角互余可得 ，从而利用三角形的外角性质
进行计算即可解答．本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：把 分别向两方延长交直线 于点 ，交直线 于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
是 的一个外角，
，
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故答案为：
13．（2024·全国·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，则
的度数是 ．
【答案】 /100度
【分析】本题考查了三角形的外角和角平分线的定义．通过三角形的外角得出 的度数，再通过角平
分线得出 的度数．
【详解】解： ， ， ，
，
是 的角平分线，
，
，
故答案为： ．
14．（2024·陕西·模拟预测）如图，线段 ，以 为斜边构造等腰直角 和直角 ， 、
在 两侧， 平分 交 于点 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】证出 ， ， ， 共圆， 为 的内心，则 ，故当 为该圆直
径时， 最大 ，即可得出答案．本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、
圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明 是解题的关键．
【详解】解： 以 为斜边构造等腰直角 和直角
， ，
，
， ， ， 共圆，
， ，
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，
平分 ，
平分 ，
为 的内心，
，
， ，
，
，
当 为该圆直径时， 最大 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
15．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E，F分别是 ， 上
的点，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾
股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意构造相似三角形，作 ，取 ，连接 ， ，得到 ，
进而得出 ，当 三点共线时， 的值最小，即 的值最小，最
后利用勾股定理即可解出．
【详解】作 ，取 ，连接 ， ，如图所示，
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在菱形 中，
，
，
，
，
，
当 三点共线时， 的值最小，即 的值最小，
在菱形 中， ，
， 是等腰三角形，
， ，
，
在 中， ，
，
故答案为： ．
16．（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼
出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形 的边长为4，则图2中 的长为 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是
理解图形．
根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作 交 的延长线于点H，算出 ，
，再根据勾股定理即可求解；
【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，
∵正方形 的边长为4，
∴ ，
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过点E作 交 的延长线于点H，
则 ，
，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
17．（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片 以直角边 所在的直线为轴旋转一周得
到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是 的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（
， ）
【答案】
【分析】本题考查圆锥的体积公式，熟练运用圆锥的体积公式是解题的关键．根据题意可知，所得圆锥的
底面半径是 ，设这个圆柱的高是 ，根据题意，得 ，即可求出圆柱的高．
【详解】解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是 ，
高是 ，设这个圆柱的高是 ，根据题意，得 ，
解得 ，
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这个圆柱的高是 ，
故答案为： ．
18．（2024·福建·模拟预测）如图，已知 ， ，AD与 相交于点 ，则 平分
吗？说明理由．
【答案】 平分 ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．掌握全等三角形的判定和性质是关键．
全等三角形的判定条件有四种： ， ， ， ．要说明 平分 ，可证明
或者 ．缺少边的条件，可通过证明 获得．
【详解】解： 平分 ．理由如下：
在 和 中，
∴ （ ）
∴ ，
∴ − − ，即 ．
在 和 中，
∴ （ ）
∴
在 和 中，
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∴ （ ）
∴ ，
∴ 平分 ．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线 交轴于点 ， ，交 轴于点 ，
，点 是线段 上一动点，作 交线段 于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段 交抛物线于点 ，点 是 边中点，当四边形 为平行四边形时，求出
点坐标；
(3)如图2， 为射线 上一点，且 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，交直线 于点 ，连
接 ， 为 的中点，连接 ， ，问： 是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)存在， ．
【分析】（1）用待定系数法解题；
（2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对
边相等的性质，列出m的方程即可；
（3）证明点P在直线 上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题．
【详解】（1）解：∵点 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
把点 ， ， 代入抛物线 中得
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，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图中，连接 ， ，
∵ ， ， ，
，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
把点 的坐标代入 ，
得到， ，解得 或 ，
∴ 或 ．
（3）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，
作点 关于直线 是对称点 ，连接 交直线 于 ，
连接 ，此时 的值最小，
最小值 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求解析式、平行四边形的性质、等边三角形的性
质、勾股定理、利用轴对称求最值问题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
20．（2024·重庆·模拟预测）已知 为等边三角形， ， 分别为线段 ， 上一点， ，
与 交于点 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
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(2)如图2， 为射线 上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ，若
，证明： ；
(3)如图3，在（2）的条件下， ， 为线段 上的动点， ， 随着 的运动而运动，连接 ，
当 取得最大值时，直接写出 的面．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点 作 ，如图所示，由等边三角形性质及全等三角形判定与性质得到
，设 ，则 ，由 ，解得 ，由等腰直
角三角形及含 的直角三角形性质，设 ，则 ， ，列方程求解即可得到答案；
（2）延长 交 于 ，在 上取 ，如图所示，根据等边三角形性质、三角形全等的判定与性
质，通过构造的 、 、 将线段转化到一条线上即可得证；
（3）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，以 为底边，向左作顶角为 的等腰 ，延长
到点 ，使 ，由 ，得到 ，由 ，得到 ，由
， ，得到 ，即： ，在 中， ，此
时 ，点 ， 重合， ， ，得到 ，在 中，求出 的长，
在 中，求出 的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点 作 ，如图所示：
在等边 中， ， ，
在 和 中，
，
，
，
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设 ，则 ，
，
解得 ，
在 中， ， ，则 ，
，
，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
，
，
解得 ，则 ；
（2）证明：延长 交 于 ，在 上取 ，如图所示：
在等边三角形 中， ， ，
在 和 中，
，
，
，
是 的一个外角，
，
， ，
，
将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，
， ，
在 和 中，
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，
，
，
由 知， ，则 ，
，
，即 ，
是 的一个外角，
，
是 的一个外角，
，
是等边三角形，则 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，则 ， ，以 为底边，向左
作顶角为 的等腰 ，则 ，延长 到点 ，使 ，则 ，连
接 ， ， ，
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， ， ，
，
，
， ， ，
，
又 ， ，
，
，
，
，即： ，
，
，
，即： ，
在 中， ，即： ，
当 ， ， 共线时 取得最大值，
此时 ，点 ， 重合， ，即： ， ，
，
，
过点 ，作 ，交 于点 ，
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在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，顶角 的等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似
三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理解三角形，两点之间线段最短，解题的关键是：连接辅助线，
构造比例线段．
21．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一
个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图 ，将军从山脚下的点 出发，到达河岸点 饮马后再回到点
宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图 ，取点 关于河岸线的对称点 ，连接 ， ，当 三点共线时，点 为饮马的地方，
，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（ ）当 三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（ ）如图 ， 两个村庄在河岸CD 的同侧，两村到河岸CD的距离分别为 千米， 千米，
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( 千米，现要在河岸 上建一水厂 ，从 处向 铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管
道长度和最少．
①请在河岸CD上作出水厂 的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为 元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
【答案】（ ）两点之间线段最短；（ ）①作图见解析；② 元．
【分析】本题考查了轴对称 最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短，掌握轴对称的性质是解题的
关键．
（ ）根据两点之间线段最短即可求解；
（ ）①如图，延长 到点 ，使 ，连接 交CD于点 ，点 即为所求；②过点 作
的延长线于点 ，则 ， 千米， 千米，即得
千米，利用勾股定理求出 ，即得到最短路线 的长度，进而即可求解；
【详解】解：（ ）当 三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（ ）①如图，延长 到点 ，使 ，连接 交CD于点 ，点 即为所求；
②过点 作 的延长线于点 ，则 ， 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ 千米，
∴最短路线 千米，
∴铺设水管最节省的总费用为 元．
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