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专题 16 相似三角形
课标要求 考点 考向
1.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形
考向一 相似三角形的判定
相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例
的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。
相 似 考向二 相似三角形的判定与综合
2.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等 三 角
于相似比;面积比等于相似比的平方。 形 考向三 相似三角形的性质
3.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或
缩小。 考向四 相似三角形的实际应用
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
考向一 位似图形
5.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数
位似
(sinA， cos A, tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数
考向二 坐标系与位似图形
值。
考点一 相似三角形
►考向一 相似三角形的判定
解题技巧/易错易混
相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且
夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2024·广西·中考真题）如图1， 中， ， ． 的垂直平分线分别交 ， 于
点M，O， 平分 ．
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(1)求证： ；
(2)如图2，将 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ．连接 ，
①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由；
②当 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；② 或
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出 ，利用等边对等角得出 ，结合角平分
线定义可得出 ，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先求出 ，然后利用含 的直角三角形性质求出 ， ， ，
利用勾股定理求出 ， ，取 中点 ，连接 ， ，作 于N，由旋
转的性质知 ， 为 旋转 所得线段，则 ， ，
，根据点到直线的距离，垂线段最短知 ，三角形三边关系得出 ，
故当M、O、 三点共线，且点O在线段 时， 取最大值，最大值为 ，此时 ，最
后根据三角形面积公式求解即可；
②先利用三角形三边关系判断出 ， ，则当 为直角三角形时，只有 ，
然后分A和 重合， 和C重合，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
又 ；
∴ ；
（2）解：①∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
取 中点 ，连接 ， ，作 于N，
由旋转的性质知 ， 为 旋转 所得线段，
∴ ， ， ，
根据垂线段最短知 ，
又 ，
∴当M、O、 三点共线，且点O在线段 时， 取最大值，最大值为 ，
此时 ，
∴ 面积的最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
同理
∴ 为直角三角形时，只有 ，
当A和 重合时，如图，
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∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、O、M三点共线，
∴ 为直角三角形，
此时旋转角 ；
当 和C重合时，如图，
同理 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、O、M三点共线，
又
∴ 为直角三角形，
此时旋转角 ；
综上，旋转角 的度数为 或 时， 为直角三角形．
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【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，
明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正
方形的性质，得出 ， ，进而得出 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似即可证明．
【详解】解： ， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
又 ，
．
►考向二 相似三角形的判定与性质综合
解题技巧/易错易混
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似
比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角
形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相
似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，已知菱形 的面积是24，E，F分别是菱形 的边 的中
点，连结 与 交于点G，则 的面积为（ ）
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A． B． C．3 D．9
【答案】A
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键
是正确的作出辅助线，技巧性较强．
延长 交 延长线于点 ，则 ，证明 ，即可得出
，根据菱形 的面积，求出 的面积，然后可得出 的面积．
【详解】解：如图，延长 交 延长线于点 ，
∵点F是边 的中点，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵点 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 的面积为24，
∴ 的面积为6，
∴ 的面积为 ，
故选：A．
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4．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，
交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段
中点定义可得出 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：B．
5．（2024·湖南·中考真题）如图，在 中，点 分别为边 的中点．下列结论中，错误的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断 ；
由相似三角形的判定和性质可判断 ，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的
关键．
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【详解】解：∵点 分别为边 的中点，
∴ ， ，故 正确；
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
故选： ．
6．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于点
H，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明 ，利用相似三角形
的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形 ， ，
∴ ，
∵正方形 ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故选：B．
7．（2024·安徽·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 是边 上的高．
点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且 ．设 ，四边形 的面积为y，则
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y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作
于点H，由勾股定理求出 ，根据等面积法求出 ，先证明 ，由相似三角形的
性质可得出 ，即可求出 ，再证明 ，由相似三角形的性质可得出 ，
即可得出 ，根据 ，代入可得出一次函数的解析式，
最后根据自变量的大小求出对应的函数值．
【详解】解：过点E作 于点H，如下图：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是边 上的高．
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ．
故选：A．
8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱 经过 的中点O， 与地面 垂直于点
M， ，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
【答案】80
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作 交 的延长线于N，求得
，得到 ，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：过点B作 交 的延长线于N，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴另一端B离地面的高度为 ．
故答案为：80．
9．（2024·辽宁·中考真题）如图， ， 与 相交于点 ，且 与 的面积比是 ，
若 ，则 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
可得 ，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
10．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点F
是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到 ，
，再证明 ，进而可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，即
．
【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于点O，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
►考向三 相似三角形的性质
11．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是 ，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的相似比是 ，则这两个相似三角形的面积比是 ，
故选：D．
12．（2024·四川内江·中考真题）已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的周
长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
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【详解】解：∵ 与 相似，且相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ，
故选B．
13．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为 ，则它们的周长的比为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形
的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为 ，
∴它们的周长的比为 ，
故答案为： ．
►考向四 相似三角形的实际应用
14．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯
光下的影长 米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，根
据题意得到 ，证明 ，得到 ，由
推出 ，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，
根据题意得到 ，
，
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，
，
，
，
米，
，
返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
15．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图
像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ．设
， ．小孔 到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得 ， ，过 作 于
点 ， 交 于点 ，利用已知得出 ，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练
掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得： ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ， 交 于点 ，
∴ ， ，
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∴ ，即 ，
∴ （ ），
即小孔 到 的距离为 ，
故答案为： ．
16．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得 地与树 相距10米，眼睛 处观测树 的顶端 的仰角为 ：
方案二：如图（2），测得 地与树 相距10米，在 处放一面镜子，后退2米到达点 ，眼睛 在镜
子 中恰好看到树 的顶端 ．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树 的高度．（结果保留整数， ）
【答案】树 的高度为8米
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．
方案一：作 ，在 中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【详解】解：方案一：作 ，垂足为 ，
则四边形 是矩形，
∴ 米，
在 中， ，
∴ （米），
树 的高度为 米．
方案二：根据题意可得 ，
∵ ，
∴
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∴ ，即
解得： 米，
答：树 的高度为8米．
考点二 位似
►考向一 位似图形
17．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面
时，在点光源 的照射下形成的投影是 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射下
形成的投影是 ， ，
∴ ，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ，
∵三角形硬纸板的面积为 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选：D．
►考向二 坐标系与位似图形
解题技巧/易错易混
位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标的比等于k或–k．
18．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点 ．
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若点 的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点 的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变
换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 是位似图形，点 的对应点为 ，
∴ 与 的位似比为 ，
∴点 的对应点 的坐标为 ，即 ，
故选： ．
19．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形 各顶点的坐标分别为O(0,0)， ， ，
，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意 横纵的坐标乘以 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限
对应点的坐标是
故选：D．
20．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内， 与 关于原点O位似，
相似比为 ，点A的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
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【答案】
【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的
性质是解题关键．
【详解】解：根据题意， 与 关于原点 位似，且相似比为 ，
则 ，
∵点A的坐标为 ，
则 的坐标为
故答案为： ．
1．（2024·广东·模拟预测）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离
为 时，标准视力表中最大的“E”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“E”字高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．根据
条件可得 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：由题意可得： ， ， ，
，
，
当测试距离为 时，最大的“E”字高度为 ，
，
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，
解得： ，
∴当测试距离为 时，最大的“E”字高度为 ；
故选：C．
2．（2024·重庆·三模）如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，
的面积为1，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式求
解即可．
【详解】解：∵ 与 是以点 为位似中心的位似图形，
∴ ，
∴ ，
故选C．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图， 中， 是 的中点，过点 作 ，交 于点 ，则
与四边形 的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 并且根据相似三角形面积的比等于
相似比的平方求出 与 的面积比是解题的关键．设 的面积为 ，由 证明
，再由 是 的中点证明 与 的面积的比为 ，再用含 的式子分别表示
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的面积与四边形 的面积，再求出它们的比即可得到问题的答案．
【详解】解：如图，设 的面积为 ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
与四边形 的面积比是 ，
故选：C．
4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知 ，添加下列条件后，能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据 求出 ，再根据相似三角形的判定
方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两
边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
、添加 ，不能判定 ，此选项不符合题意；
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、添加 ，不能判定 ，此选项不符合题意；
、添加 ，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定 ，此选项符合题意；
、添加 ，不能判定 ，此选项不符合题意．
故选：C．
5．（2024·河北唐山·二模）将 的各边按如图所示的方式向内等距缩 ，得到 ，有以下结论：
I 与 是相似三角形；
Ⅱ 与 是位似三角形．下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确
C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行或共线．
先利用平行线的判定方法得到 ， ， ，再根据平行线的性质得到 ，
，从而可判断 ；分别延长 、 、 ，它们相交于一点，根据位似的
定义可判断 与 是位似三角形．
【详解】解： 的各边按如图所示的方式向内等距缩 得到 ，
， ， ，
∴ ，
，
同理可得： ，
，所以Ⅰ正确；
分别延长 、 、 ，它们相交于一点 ，如图，
与 是位似三角形，所以Ⅱ正确．
故选：A．
6．（2024·浙江·二模）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 投影到与胶片
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平行的屏幕上，形成影像 ．已知 ，点光源到胶片的距离 长为 ， 长为 ，
则胶片与屏幕的距离 为（ ）
A．86 B．84 C．80 D．78
【答案】C
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质
解决问题．证明 ，推出 ，构建方程求出 即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．（2024·广西·模拟预测）若两个等边三角形的边长比是 ，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两个等边三角形的边长比是 ，根据相似三角形的性质计算周长之比即可．本题考查了三
角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个等边三角形的边长比是 ，
∴两个三角形三边对应成比例，
∴两个等边三角形相似，
∴它们的周长比是 ，
故选B．
8．（2024·云南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以坐标原点O为位似中心的位
似图形，若 ，且 ，则线段 的长度为（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查坐标与位似，根据两个位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，进行求解即可．
【详解】解：∵ 与 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选A．
9．（2024·山西·模拟预测）如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于 ， ， ，
， 五点，若线段 ，则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，证明
，根据相似三角形的相似比等于相似三角形高线的比可得 ，代入计算即可解答．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
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∴ ，
∵作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴
故选：B．
10．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰 中， ，顶点A为反比例函数 （其中 ）
图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作 ，交反比例函数 的图像于点C，连接 交
于点D，若 ， ，则 的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】C
【分析】过点A作 轴于点H， 交 于点E，进而求出 ，而求出反比例函数的解析
，根据 易证 ，由相似三角形的性质求出 ，设
，则 ， ，进而求出面积即可．
【详解】解：过点A作 轴于点H， 交 于点E，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
， ，
，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与
性质，熟练识记这些知识是解题的关键．
11．（2024·陕西西安·二模）如图，在 中， 分别为 的中点，连接
为 的中点，过点H作 ，交 于点D，连接 ，则与 相似（不含 ）的
三角形个数为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
由三角形中位线定理可得 ，可得 ，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证
，可得结论．
【详解】解：∵ 、 分别为 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
12．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时
候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，
若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米
【答案】D
【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对
应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质
构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点 为光源， 表示小明的手， 表示小狗手影，则 ，过点 作 ，
延长 交 于 ，则 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米， 米，则 米，
∴ ，
， ，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即 ， ， ，
∴ ，
则 米，
∴光源与小明的距离减少 （米），
故选：D．
二、填空题
13．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．
如图，已知小红的身高是 米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地
面的高度是 米．
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【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出
即可．
【详解】解：结合题意画出图形得： ， ，
，
，
小红的身高为 米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米，
， ， ，
，
解得： ，
则路灯灯泡距地面的高度是 米．
故答案为： ．
14．（2024·云南·模拟预测）如图 ， ， ，则 为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据 的比，可得 的比，利用面积比是
相似比的平方，可得 ，从而可得答案．
【详解】 ，
，
相似比为 ，即 ，
，
；
故答案为：3．
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15．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作 的位似图形 ．已知 的面积
为3， ，则 的面积为 ．
【答案】27
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
【详解】解：由题意， ， ，
∴ ，
∵ 的面积为3，
∴ 的面积为：27．
故答案为：27．
16．（2024·北京·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学
校操场边一棵树的高度，如图，点 在同一水平线上， 与 相交于点
D．测得 ，则树高 m．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
根据题意可得 ，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 和 均为直角，
，
，
，
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，
，
故答案为： ．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，某工厂有一块形如四边形 的铁皮，其中 ，
， ， ．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮 （阴影部分）
备用，点 分别在 上，设矩形铁皮的边 ，矩形 的面积为 ，要使矩
形 面积的最大．则 的取值为 ．
【答案】15
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，设 ，证明 ，得到
，根据矩形面积公式即可得到 与 之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最
大值．
【详解】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ， ，
，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
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∴ ，
∴ ，
∴当 时，矩形 面积最大，最大值为 ．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形
的判定和性质是解题的关键．
18．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ， 绕点A顺时针方向旋转 ，到
，连接 ，交AB于点P，若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ．由勾股定理得 ，由旋转的性质可证 是等腰直角三角
形，再证明 是等腰直角三角形得 ．然后证明 ，利用相似三角形的性质得
，然后根据 求出 即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
，
．
将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
，
是等腰直角三角形，
；
又 ，
，
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是等腰直角三角形，
．
，
，
，即 ，
∴ ．
又 ，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
灵活运用各知识点是解答本题的关键．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， 为 中点， 为 上一点，且
，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，以及三角形中位线的性质，证明 是 的中位线是解答本
题的关键．
由 ，得出 ，进而得出 ，然后证明 为 的中位线，进而根据
即可求出结果．
【详解】解： ，
，
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，
，
，
为 的中点， ，
为 的中点，
为 的中位线，
，
，
故答案为： ．
20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形 中， 分别是 上的点（点
分别不与点 重合），且 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】分别以 为边作平行四边形 ，连接 ，过点E作 交 于点G，根据相似
三角形的判定和性质求出 为定值，证明 ，在 中，利用勾股定理求出
，再利用三角形三边关系求出 的最小值为 ，即可求解．
【详解】解：分别以 为边作平行四边形 ，连接 ，过点E作 交 于点G，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 中， ，
，
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，
， ， ，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
的最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三
边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键．
三、解答题
21．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的
高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度 ，标杆与雕塑的水
平距离 ，人的眼睛与地面的高度 ，人与标杆 的水平距离 ，求醒狮雕塑
的高度．
【答案】12.8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求
的长度分成了2个部分， 和 部分，其中 ，剩下的问题就是求 的长度，
利用 ，得出 ，把相关条件代入即可求得 的长度即可．
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【详解】如图所示，设线段 与线段 交于点G．
∵ ，
∴ ，四边形 、 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
答：醒狮雕塑 的高度为 ．
22．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，
如图，先测得井口的直径 ，然后在D处立一根 长的铁管 ，用聚光笔从铁管的
顶端E点照射井底B点，光线 与直径 交于点O，测得 ．求填平这口井需要的泥土的体积
（参考数据： ）．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质及圆柱体积计算，先证明 ，求出枯井的深，
进而求出结论．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
∴
∴
解得 ，
∴圆柱形枯井的体积为 ，
∴填平这口井需要的泥土的体积大约是 ．
23．（2024·浙江·模拟预测）具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主
题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之
形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践
活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量
示意
图
测量
在点 处放一面镜子，他站在 的位置通过，镜子反射
方案 在点 处用距离地面高度为 的测
刚好看到大门顶端 处，同时他还测自己眼睛到地面的距
与测 角仪测出大门顶端 的仰角
离是 ，他到大门的距离是 ，
量
参考 ， ，
， ， ，
数据 ，
计算
大门
高度
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为
的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到
0.1米；若不能，请说明理由．
【答案】(1)小明
(2)能，理由见详解
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【分析】（1）小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，由此可判断存在问题的是小明的方案，修改建议
只要再测量出测角仪与大门的距离即可；
（2）先利用三角函数关系用 表示出 和 ，再利用 即可求出大门的高度．
本题是一道综合实践问题，考查解直角三角形 仰角俯角问题，解答中涉及相似三角形的判定和性质，理
解题意，利用直角三角形的边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解： 小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，
小明的测量方案存在问题，
修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与大门的距离为____m，”即可；
故答案为：小明；
（2）解：能．
作出线段 ， ，
由题意，知 ， ， ，
设
在 中，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ， ，
，
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解得 ，
答：中华文字博物馆大门的高度约为 ．
24．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正五边形 中，连结 交 于点F
(1)求 的度数．
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据五边形 是正五边形，判断出 ，
，求出 ，进而可求出 的度数；
（2）证明 得 ，设 ，则 ，列出方程，解方程即可求出
的长．
【详解】（1）解：∵五边形 是正五边形，
， ，
∴ ，
同理可求 ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
同理可证 ，
∴四边形 是菱形，
，
同理 ，
∴ ，
∵ ，
，
，即 ，
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设 ，则 ，
，即 ，
解得 （舍去负值），
的长是 ．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据正五边形的性
质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
25．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形 为正方形， ．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
【答案】(1)见解析
(2)添加 ，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）证明有两对角相等即可判断；
（2）假设 ，可以推出 即可．
【详解】（1）证明： ，
，
又 ，
，
，
，
，
；
（2）解：添加 ，
如果 ，
，
，
，
，
，
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为等腰直角三角形，
，
故添加： ，能证明 ．
26．（2024·上海·三模）如图1，梯形 中， ， ， ．一个动点 从
点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 方向运动，过点 作 ，交折线段 于点 ，
以 为边向右作正方形 ，点 在射线 上，当 点到达 点时，运动结束．设点 的运动时间
为 秒（ ）．
(1)在整个运动过程中，设正方形 与△ 的重合部分面积为 ，请直接写出 与 之间的函数关系
式和相应的自变量 的取值范围；
(2)如图2，当点 在线段 上运动时，线段 与对角线 交于点 ，将△ 沿 翻折，得到△
，连接 ．是否存在这样的 ，使△ 是等腰三角形？若存在，求出对应的 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 或 或 时， 是等腰三角形
【分析】（1）如图所示，作 于点 ， 于点 ，设 与 ， 交于点 ，根据
梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质可计算出出点 运动时，点 的位置，可得
,结合锐角三角函数的计算方法， ，然后进行分类讨论：当 时；当 时；当
时；当 ；图形结合，根据梯形面积的计算方法，直角三角形面积的计算方法列式求解即可；
（2）根据题意可得 ，由（1）可知， ，
且 ， ，图形结合，分类讨论：第一种情况，当 时；第二种情
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况，当 时；第三种情况，当 时；根据等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的
计算方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，作 于点 ， 于点 ，设 与 ， 交于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵梯形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴当 时，点 和点 重合，
第一种情况，当 时， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
；
当正方形 的边恰好经过点 时，点 于点 重合，则此时 ，如图所示，
∴ ， ，
∴ ，即 秒时点 与点 重合，
第二种情况，当 时， ，如图所示，
∴由上述证明可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
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；
当点 与点 重合时，如图所示，
∵ ，
∴ ，
第三种情况，当 时，如图所示， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
；
当点 与点 重合时，如图所示，
∴ ，
第四种情况，当 时，如图所示， ，
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∴ ， ， ，
∴
；
综上所述， 与 之间的函数关系式和相应的自变量 的取值范围为
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴由（1）可知， ，且 ，
∴ ，
第一种情况，当 时，如图所示，
∴ ，
解得， ；
第二种情况，当 时，如图所示，作 于点 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ；
第三种情况，当 时，如图所示，作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得， ；
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，等腰梯形的性质，
分段函数的运用，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握分段函数的计算方法，梯形面积的计算公式，等
腰三角形的判定和性质是解题的关键．
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