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专题 09 平面直角坐标系与函数基础
课标要求 考点 考向
1. 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标 考向一 有序数对
系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位
考向二 点到坐标轴的距离
置，由点的位置写出它的坐标； 平 面
2. 在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体 直 角 考向三 点所在象限
的位置； 坐 标
考向四 坐标与图形
3. 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、 系
变量的意义； 考向五 点坐标规律探索
4. 结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函
考向六 实际问题中用坐标表示位置
数的实例；
5. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；
考向一 函数解析式
6. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会 函 数
求出函数值； 基 础
考向二 自变量与函数值
7. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间 知识
的关系； 考向三 函数图像
考点一 平面直角坐标系
易错易混提醒
(1).有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用
“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．
(2).确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，根据题中的已知条件，判断
横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．
►考向一 有序数对
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积
表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的
矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和
宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，那么有
序数对记为 对应的田地面积为（ ）
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A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
►考向二 点到坐标轴的距离
易错易混提醒
点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为 ．
2．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系 中，对于点P(x,y)，若x，y均为整数，则称点P为“整
点”．特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点 在第二象
限，下列说法正确的是（ ）
A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大
于10
►考向三 点所在象限
3．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐
标系中点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）点 在第 象限．
►考向四 坐标与图形
5．（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将
“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 ，
，则“技”所在的象限为（ ）
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2,1)，则点Q的
坐标为（ ）
A． B．(0,2) C． D．
7．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点A的坐标为
，点E在边 上．将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点E的坐标为
．
8．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征
值”．如图，矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的
是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
►考向五 点坐标规律探索
易错易混提醒
(1)动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
(2)把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
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9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它
关于点(1,0)中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在函数
图象上，这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0
的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数
为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例 ： “ 和 点 ” 按 上 述 规 则 连 续 平 移 3 次 后 ， 到 达 点 ， 其 平 移 过 程 如 下 ：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
11．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除
以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面
直角坐标系 中，将点 中的 ， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其
中 ， 均为正整数．例如，点 经过第1次运算得到点 ，经过第2次运算得到点 ，以此类
推．则点(1,4)经过2024次运算后得到点 ．
12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 顶点M的坐标为
， 是等边三角形，点B坐标是(1,0)， 在正方形 内部紧靠正方形 的边（方
向为 ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为 ， 的坐标
是(2,0)；第二次滚动后， 的对应点记为 ， 的坐标是(2,0)；第三次滚动后， 的对应点记为 ，
的坐标是 ；如此下去，……，则 的坐标是 ．
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►考向六 实际问题中用坐标表示位置
13．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．
按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为 ，则点C的位置可以表示为 ．
考点二 函数基础知识
►考向一 函数解析式
14．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以 的速度射向目标M， 后测距仪L
收到M反射回的激光束．则L到M的距离 与时间 的关系式为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．
全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开
可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x
尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
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A． B． C． D．
17．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
►考向二 自变量与函数值
考查角度1 求自变量的取值范围
18．（2024·上海·中考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D．
20．（2024·四川内江·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ；
考查角度2 求自变量的值或函数值
21．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为 ，铁的质量 与体积 成正比例．一个体
积为 的铁块，它的质量为 ．
22．（2024·山西·中考真题）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标
与摄氏温标 之间的函数关系为 ，热力学温标 与摄氏温标 之间的函数关系为
．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
23．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知
识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有 mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度 （单位：cm）和2号杯的水面高
度 （单位：cm），部分数据如下：
/mL 0 40 100 200 300 400 500
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/cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这
两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm
（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为
___________cm（结果保留小数点后一位）．
►考向三 函数图象
考查角度1 函数图象的识别
24．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中，温度计的读数 与时
间 的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容
器内水面高度 随时间 变化的大致图象是（ ）
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A． B． C． D．
26．（2024·安徽·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 是边 上的高．
点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且 ．设 ，四边形 的面积为y，则
y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
考查角度2 从函数图象中获取信息
27．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并
发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正
确的是（ ）
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A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加 ，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是 时，净水率达到
28．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源
线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的
电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图
2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当 时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
29．（2024·山西·中考真题）电动汽车的续航里程是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行
驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，科研团队在相同环境及路况下，经过测试得到某型号电动
汽车续航里程 与行驶速度 关系的图象如下，则下列结论正确的是（ ）
A．行驶速度越快，续航里程越短
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B．当行驶速度为 时，续航里程最长
C．当行驶速度为 时，续航里程不足300km
D．若续航里程大于500km，则行驶速度大于
30．（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以 （米/分）的速度步行一段时间
后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距
家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达时
距会议开始还有 分钟．
31．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家 ，文
化广场离家 ．张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后匀速骑行了
到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了 返回家．下面图中 表示时间， 表示
离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
③当 时，请直接写出张华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文
化广场的途中 两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
考查角度3 动点问题的函数图像
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32．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到
点C时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点
时， 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
33．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形 中， ， ，菱形
的顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合， ， ，现将菱形 以
的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形 与矩形
重叠部分的面积 与运动时间 之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·辽宁大连·三模）在化学学习中，我们在研究某物质的性质时，常常会用到“价类二维图”来研究
该物质化合价的变化问题．如下图所示为硫元素化合价的“价类二维图”，则在A、B、E、H四种物质中，
硫元素化合价最低的为（ ）
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A．A B．B C．E D．H
2．（2024·山西·模拟预测）某树苗的初始高度为 ，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数
据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度 与生长月
数 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知点 在第三象限则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数 图象上一点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，
且y的值随x值的增大而减小，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（ ）
（1）已知反比例函数 的图像在第一象限，则k的取值范围是 且 ；
（2）单曲线不是反比例函数
（3）只要满足 且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数
（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定
（5）直线 是常值函数，常值函数不是函数
（6）直线 不是函数
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人
体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（ ） 20 21 22 23
身高h（ ）
已知，世界上被证实最高的人的身高是 厘米，则他的指距约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）若点 关于坐标原点中心对称的点Q在第四象限，则m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）若点 在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上
可表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于
的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
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二、填空题
10．（2024·山西·三模）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标 与摄
氏温标 之间的函数关系为 ，热力学温标 与摄氏温标 之间的函数关系为
．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
11．（2024·全国·模拟预测）在函数 中，自变量 的取值范围是
12．（2024·江苏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，点A，点B的坐标分别为 ，将
线段 沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为 ，则点A的对应点 的坐标为 ．
13．（2024·广西·模拟预测）若点 在第三象限，则实数x的取值范围 ．
14．（2024·重庆·模拟预测）已知点 ，则点 到原点的距离是 ．
15．（2024·重庆·模拟预测）某同学在 时刻静止站在体重秤上，随后完成“下蹲”和“站起”的动作，体重
秤的示数F随时间t的变化情况如图所示，则该同学对力传感器的最小压力约为 N．
16．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在等腰 中， ，点D为 中点，点E在
上，以点D为直角顶点， 为直角边构造等腰 ，其中 交 于G．设 =y，
，则y关于x的函数解析式为 （无需写出自变量的取值范围）．
17．（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平
面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为 ，
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， ， 则点 的坐标为 ．
18．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作 ，点A 、C
分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么 的度数是 ．
19．（2022·山东济南·二模）秤是我国传统的计重工具．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤
钩上所挂物体的重量．称重时，秤钩所挂物重为y（斤）是秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（厘米）的一次
函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（厘米） 1 3 4 6 11 12
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
其中有一个y值记录错误，请排除后，利用正确数据确定当 厘米时，对应的y为 斤．
三、解答题
20．（2024·重庆·模拟预测）如图，四边形 是边长为 的菱形， ，动点 分别以每秒
个单位长度的速度同时从点 出发，点 沿折线 方向运动，点 沿折线 方向运动，
当两点相遇时停止运动．设运动时间为 秒，点 两点间的距离为 ．
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(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点 相距 个单位长度时 的值．（结果保留一位小数）
21．（2024·河北·模拟预测）某班级同学从学校出发去白鹿原研学旅行，一部分坐大客车先出发，余下的
几人 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候， 后小轿车赶了上来，大客车随即开
动，以出发时速度的 继续行驶，小轿车保持原速度不变，最终两车相继到达了景点入口，两车距学校的
路程 单位： 和行驶时间 单位： 之间的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题．
(1)求大客车在途中等候时距学校的路程有多远？
(2)在小轿车到达景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
22．（2024·浙江·三模）欲建一个容积恒定，底面为正方形的无盖长方体蓄水池．设底面正方形的边长为
（单位： ），蓄水池的深度为 （单位： ），当 时， ．
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(1)①求蓄水池的容积；
②求 关于 的函数解析式，并画出函数图象；
③若要求蓄水池深度满足 ，求 的取值范围．
(2)现要在蓄水池内的底部与侧壁上贴瓷砖．请根据函数学习经验，探索 取何值时，所需瓷砖面积最小？
（结果精确到 ）
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校与当地国防大学联合开展红色之旅研学活动，如地图1，上午 ，
国防大学官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路到红军抗战纪念基地进行
研学．上午 ，军车在离营地 的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，国防大学官兵下车领取
研学物资，然后乘坐军车继续按原速前行，最后和师生同时到达基地，图2为军车和大巴离营地的路程
与所用时间 的函数关系．
(1)求国防大学官兵在仓库领取物资所用的时间．
(2)求大巴离营地的路程 与所用时间 的函数表达式及 的值．
(3)请直接写出军车领先大巴4km时对应的大巴离营地的路程．
24．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如 可看做是图一中 的长， 可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在 中有一点 使得 的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将 绕 点向外旋转 得到 ，并连接 易得 是等边三角形、 ，则 ，
则 ，所以 的值最小为 ．
请结合以上两材料求出 的最小值
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