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专题 10 一次函数
课标要求 考点 考向
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确 考向一 正比例函数的定义
正比例
定一次函数的表达式; 考向二 正比例函数的图象和性
函数
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式; 质
3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 考向一 一次函数的定义
y=kx+b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情
考向二 一次函数的图象和性质
况;
4、理解正比例函数; 考向三 求一次函数的解析式
5.体会一次函数与二元一次方程的关系， 一次函
考向四 一次函数与不等式
数
6.能用一次函数解决实际问题，
考向五 一次函数与一元一次方
程
考向六 一次函数的实际应用
考向七 一次函数与几何综合
考点一 正比例函数
►考向一 正比例函数的定义
1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折
扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则 与
关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为 ，根据扇形的面积公式表
示出 ，进一步得出 ，再代入 即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的
关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为 ，
，
∴ ，
∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的正比例函数，
∵ ，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
2．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为 ，铁的质量 与体积 成正比例．一个体
积为 的铁块，它的质量为 ．
【答案】79
【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量 与体积 成正比例，列式计算即可求
解．
【详解】解：∵铁的质量 与体积 成正比例，
∴m关于V的函数解析式为 ，
当 时， ，
故答案为：79．
►考向二 正比例函数的图象和性质
3．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于原点对
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称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
设正比例函数的解析式为：y=kx(k≠0)，把 代入，得： ，
∴ ；
故选A．
4．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当 ，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大
而增大；当 ，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质
得到 ，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴ ，
∴选项A符合题意．
故选：A．
5．（2024·天津·中考真题）若正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、第三象限，则 的
值可以是 （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定 的符号．
【详解】解： 正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、三象限，
．
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∴k的值可以为1，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与 的关系．解答本题注意理解：直线
所在的位置与 的符号有直接的关系． 时，直线必经过一、三象限． 时，直线必经过二、四象限．
6．（2024·上海·中考真题）若正比例函数 的图像经过点 ，则y的值随x的增大而 ．
（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当 时， 随 的增大
而增大；当 时， 随 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出
，结合正比例函数的性质，即可得出 的值随 的增大而减小．
【详解】解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得： ，
又 ，
的值随 的增大而减小．
故答案为：减小．
考点二 一次函数
►考向一 一次函数的定义
7．（2024·湖北·中考真题）铁的密度为 ，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位： ）
之间的函数关系式为 ．当 时， g．
【答案】79
【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键．
将 代入 求出对应m的值即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为：79．
8．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数 ，当自变量 时，函数y的值可以是 （写
出一个合理的值即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据 ，选择 ，此时 ，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择
自变量进行计算是解题的关键．
【详解】根据 ，选择 ，此时 ，
故答案为： ．
►考向二 一次函数的图象和性质
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►考查角度一 一次函数的图像
9．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点
是（ ）
A． B． C．(0,3) D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．
先求出点 的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ，
即 点为 ，
则点A关于y轴的对称点是 ．
故选：A．
10．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．
根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可．
【详解】解：∵由已知，得： ，
∴图象经过第一、二、三象限，
∴图象不经过第四象限．
故选：D．
►考查角度二 一次函数的性质
11．（2024·新疆·中考真题）若一次函数 的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线 中，当 时，y随x的增大而增大；当
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时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵一次函数 的函数值y随x的增大而增大，
∴ ，
而四个选项中，只有D符合题意，
故选：D．
12．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当 时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A.当x=0时， ，即一次函数 的图象与y轴交于点 ，说法正确；
B.一次函数 图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当 时， ，原说法错误；
D.一次函数 的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
13．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点
是解题的关键．
【详解】解：正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为： ．
14．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线 （ 、 是常数）经过点 ，且 随 的增大而减小，
则 的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大；
，y随x的增大而减小”是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出 ，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得
出 ，若代入 ，求出b值即可．
【详解】解：∵直线 （k、b是常数）经过点 ，
∴ ．
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∵y随x的增大而减小，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
15．（2024·江苏镇江·中考真题）点 、 在一次函数 的图像上，则
（用“ ”、“ ”或“ ”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据 ，可知一次函数值y随着x的增大而增大，
再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数 中， ，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
►考向三 求一次函数的解析式
易错易混提醒
1.待定系数法:先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫
做待定系数法，
2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤:①设含有待定系数的函数解析式为y=kx(k≠0).
②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程，③解方程，求出待
定系数k.
④将求得的待定系数k的值代入解析式.
3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:
①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b.
②把两个已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组，③解二元
一次方程组，求出k，b.④将求得的k，b的值代入解析式.
16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数 的图象经过 两点，交 轴于点 ，
则 的面积为 ．
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【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根
据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，得出点C的坐标及 的长，再利用三角形
的面积公式即可求出 的面积．
【详解】解：将 代入 ，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，解得： ，
∴点C的坐标为 ， ，
∴ ．
故答案为：9．
17．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点
.
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本
题的关键．
（1）将(2,1)代入 先求出k，再将(2,1)和k的值代入y=kx+b(k≠0)即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于 的每一个值，直线 的图象
在直线 和直线 的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将(2,1)代入 得： ，
解得： ，
将 ，(2,1)，代入函数y=kx+b(k≠0)中，
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得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴两个一次函数的解析式分别为 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数 的
值，
即当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方，则画
出图象为：
由图象得：当直线 与直线 平行时符合题意或者当 与x轴的夹角大于直
线 与直线 平行时的夹角也符合题意，
∴当直线 与直线 平行时， ，
∴当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线 的上方时，
，
∴m的取值范围为 ．
18．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；
第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，
请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设
计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位
置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
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【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，
记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函
数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：
(2)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知
识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将 代入函数解析式，解方程即可．
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【详解】（1），
解：设函数解析式为： ，
∵当 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为： ，
经检验其余点均在直线 上，
∴函数解析式为 ，这些点在同一条直线上；
（2）解：把 代入 得：
，
解得： ，
∴当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ．
19．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控
点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一
段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀
速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速
度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶的时间 （时）之间的函数
图象如图所示．
(1) 的值为________；
(2)当 时，求 与 之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
【答案】(1)
(2)
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(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数
关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为 行驶时， 小时路程为 千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得： ，解得： ．
故答案为： ．
（2）解：设当 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
则： ，解得： ，
∴ ．
（3）解：当 时， ，
∴先匀速行驶 小时的速度为： ，
∵ ，
∴辆汽车减速前没有超速．
►考向四 一次函数与不等式
易错易混提醒
1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0(或ax+b<0)(a，b为常数，且a≠0)的形式.
2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于(或小于)0的自变量 x的
取值范围;从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b(a≠0)在x轴上(或下)方部分的点的横坐标满足的条
件.
20．（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式 的解集是 ，
∴当 时， ，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
21．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数 和 ，当 时，函数 的图象在
函数 的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，
是解决问题的关键．
可知 过原点，当 过点 时， ；当 与 平行时， ，由函数图象
知， ．
【详解】解：可知 过原点，
∵ 中， 时， ，
∴当 过点 时， ，
得 ；
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当 与 平行时，
得 ．
由函数图象知，当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，a的取值范围为： ．
故答案为： ．
22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金
购买 、 两种电动车．若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购买 种
电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求 、 两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 、 两种电动车 辆，其中 种电动车的数量不
多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
(3)该公司将购买的 、 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间
的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，起步价
元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题．
①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3
（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘
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选择______种电动车更省钱（填写 或 ）．
②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值______．
【答案】(1) 、 两种电动车的单价分别为1000元、 元
(2)当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元
(3)① ② 或40
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，根据题意得出 的范围，进而根据一次函
数的性质，即可求解；
（3）①根据函数图象，即可求解；
②分别求得 的函数解析式，根据 ，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元
由题意得，
解得
答： 、 两种电动车的单价分别为1000元、 元
（2）设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，
由题意得
解得：
设所需购买总费用为 元，则
， 随着 的增大而减小，
取正整数
时， 最少
(元)
答：当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3 ，小刘家到公司的距离为 ，
∴所用时间为 分钟，
根据函数图象可得当 时， 更省钱，
∴小刘选择 种电动车更省钱，
故答案为： ．
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②设 ，将 代入得，
解得：
∴ ；
当 时， ，
当 时，设 ，将 ， 代入得，
解得：
∴
依题意，当 时，
即
解得：
当 时，
即
解得： （舍去）或
故答案为： 或40．
►考向五 一次函数与一元一次方程
23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，
若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，即 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
►考向六 一次函数的实际应用
24．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了 两款新能源电动汽车．如图， 分别表示 款， 款
新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系．当两款新能源电动汽车
的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多
．
【答案】12
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量 剩余电量的减少量 行驶路程”分别计
算 、 两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象 的函数关系式，并计算当 时对应
函数值是解题的关键．
根据“电动汽车每干米的耗电量 剩余电量的减少量 行驶路程”分别计算 、 两款新能源电动汽车每千米
的耗电量，由此写出图象 的函数关系式，将 分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可．
【详解】解： 款新能源电动汽车每千米的耗电量为 ，
款新能源电动汽车每千米的耗电量为 ，
∴ 图象的函数关系式为 ，
图象的函数关系式为 ，
当 时， ，
，
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电
动汽车电池的剩余电量多 ．
故答案为：12．
25（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10
万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万
元．
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【答案】4500
【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设 ，根据题意找出点代入求出解析式，然后把
代入求解即可．
【详解】解：设 ，
把 ， 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
即投入80万元时，销售量为4500万元，
故答案为：4500．
26．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)该商品日销售额不能达到 元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求
出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式；
（2）利用销售额 每件售价 销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将 ， 代入 得
，
解得 ，
与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：该商品日销售额不能达到 元，理由如下：
依题意得 ，
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整理得 ，
∴ ，
∴该商品日销售额不能达到 元．
27．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家 ，文
化广场离家 ．张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后匀速骑行了
到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了 返回家．下面图中 表示时间， 表示
离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
③当 时，请直接写出张华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文
化广场的途中 两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1) ； 0.075； 当 时， ；当 时， ；当
时①， ② ③
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题
意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解， ，可得出 ，当 时， ；当 时，设一次函数解析式
为： ，把 ， 代入 ，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家 ，则 ，当两人相遇时有
，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家 ，张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，
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∴张华的骑行速度为 ，
∴张华离家 时，张华离家 ，
张华离家 时，还在画社，故此时张华离家还是 ，
张华离家 时，在文化广场，故此时张华离家还是 ．
故答案为： .
② ,
故答案为： ．
③当 时，张华的匀速骑行速度为 ，
∴ ；
当 时， ；
当 时，设一次函数解析式为： ，
把 ， 代入 ，可得出：
，
解得： ，
∴ ，
综上：当 时， ，当 时， ，当 时， ．
（2）张华爸爸的速度为： ，
设张华爸爸距家 ，则 ，
当两人从画社到文化广场的途中 两人相遇时，有 ，
解得： ，
∴ ，
故从画社到文化广场的途中 两人相遇时离家的距离是 ．
28．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃
的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下
B樱桃园
表： 第x天的利润 （元）与x的关系可以近似地用二次函数
单价 销售量 刻画，其图象如图：
（元/盒） （盒）
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第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关
系，已知每天的固定成本为745元．
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润 （元）与x的函数关系式；（利润 单价 销售量 固定成本）
(3)① 与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②第10天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润 单价 销售量 固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出 的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式 ，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第 天的单价与 满足的一次函数关系式为 ，
把 代入 中得 ，
∴ ，
∴第 天的单价与 满足的一次函数关系式为 ，
∴A樱桃园第x天的单价是 元/盒，
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故答案为： ；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把 代入 中得： ，
解得 ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴
，
∵ ，且 （x为正整数），
∴当 时， 有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是4800元；
（4）解：当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
29．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务
植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中
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的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包
(2)选用A种食品3包，B种食品4包
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质”列方程组
求解即可；
（2）设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于 ”列不等
式求解即可．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品 包，则选用B种食品 包，
根据题意，得 ．
∴ ．
设总热量为 ，则 ．
∵ ，
∴w随a的增大而减小．
∴当 时，w最小．
∴ ．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
►考向七 一次函数与几何综合
30．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线 （k，b为
常数，且 ）经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为
．
【答案】 /0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出 的解析式，再
根据直线 经过点 ，求出 ，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积
为 为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
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设直线 的解析式为： ，
把 ，B(0,3)代入，
可得出： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 ，
联立两直线方程： ，
解得： ，
∴
∵ ，B(0,3)，
∴ ， ，
根据题意有： ，
即 ，
，
解得： ,
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故答案为： ．
31．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点P在边 上，
过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在点P从点
A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距
离，以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，利用含30度角的直角三角形的性质，
求出点 的坐标，得到点 在直线 上运动，求出点 分别与 重合时，点 的坐标，利用
两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，则： ，
∴ ，
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∵ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
令 ，
则： ，
∴点 在直线 上运动，
当点 与 重合时， ，此时 ，
当点 与 重合时， ，此时 ，
∴点E所经过的路径长为 ；
故答案为： ．
32．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q
在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如
图1， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线
段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
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(1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，______是
图形 的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的“延
长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的
等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，根据直线 上存在点P是图
形 的“延长2分点”，得到直线 与 有交点，进而得到当 过点 时，
值最小，进行求解即可；
（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，得到 与 有交点，求出 与
相切以及 与 相切，两种情况求出 的临近值，即可得出结果．
【详解】（1）解：作线段 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵点 是图形 的“延长2分点”，
∴点 在线段 上，
∵ 在线段 上，
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∴ 是图形 的“延长2分点”；
故答案为： ；
（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，
∴直线 与 有交点，
∴当 过点 时， 值最小，
把 ，代入 ，得： ，
∴ 的最小值为 ；
（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”，
∴当 与 有交点时，满足题意，
当 与 相切时，如图，则： 或 ，
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∴ 时，满足题意；
当 与 相切时，且切点为 ，连接 ，则： ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ， ，
∴ 轴，
∴ ，
∵以 为圆心，半径为1的 ，
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∴ 点在直线 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性
强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
一、单选题
1．（2024·陕西·一模）已知关于 的方程 的解是 ，则一次函数 （ 、 为常数，且
）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程 的解其实就是当 时一
次函数 与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案.
【详解】解：∵关于 的方程 的解是 ，
(1 )
∴一次函数 的图象与x轴的交点坐标是 ,0 ．
2
∴只有选项B的图象符合题意，
故选：B
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2．（2024·湖南·模拟预测）已知一次函数 中 ，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数 （k为常数， ），当 时，
y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数 中 ，y 随x 的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如 （k，b为常数，且 ）的函数称为一次函
数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，符合题意；
B、 不是一次函数，不符合题意；
C、 不是一次函数，不符合题意；
D、 不是一次函数，不符合题意．
故选：A
4．（2024·湖北·三模）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，则关于x，y
的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先求出点P的坐标，再根据两直线的交
点的横纵坐标即为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解进行求解即可．
【详解】解：把 代入 中得， ，
∴
∵在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，
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∴关于x，y的方程组 的解为 ，
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
故选：A．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数 和一次函数 的图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C． D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线的交点，解决问题的关键是掌握一次函数图象和性
质．根据一次函数的性质即可判断A、B；根据两条直线交点的横坐标即可判断C、D．
【详解】解：A．∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ，故A错误；
B．∵一次函数 的图象经过一、二、三象限，
∴ ，故B错误；
C．∵两条直线交点的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故C正确；
D．∵当 时，一次函数 的图象在一次函数 的图象上面，
∴ 时， ，故D错误．
故选：C．
6．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，把点A先向右平移1个单位，再向
下平移2个单位得到点B，则直线 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出 ，再利用待定系数法求解．
【详解】解：点A的坐标为 ，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点 ，
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设直线 的表达式为 ，则
，
解得： ，
，
故选：B．
7．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 向上平移 个单位长度后，与直
线 的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律
求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入 与 ，验证即可．
【详解】解：直线 向上平移 个单位后，得到 ，
A．把 代入 得， ，
∴交点不可能是 ，故A不合题意；
B．把 代入 得， ，
∴交点不可能是 ，故B不合题意；
C．把 代入 得， ，
把 代入 ，求得 ，
∴交点可能是 ，故C符合题意；
D．把 代入 得， ，
把 代入 ，求得 ，
∴交点不可能是(0,3)，故D不合题意；
故选：C．
8．（2024·陕西西安·一模）将一次函数 向左平移 个单位后得到一个正比例函数，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及正比例函数的定义，熟知函数图象“左加右减，上加下
减”的平移法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则求解即可．
【详解】解： 将一次函数 的图象向左平移 个单位后得到一个正比例函数，
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即 ，
，
则m的值为2．
故选：A．
9．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．y随x的增大而减小 D．当 时，
【答案】B
【分析】根据一次函数 ，得到图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点(0,2)，于x轴交点坐
标为 ，y随x的增大而增大，当 时， ，判断即可．
本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 ，
∴图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点(0,2)，于x轴交点坐标为 ，一次函数y随x的增大
而增大，且当 时， ，
故A，C，D都错误，B正确．
故选：B．
10．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线 ， ， ．抛物线与线段 （包
括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、根据一元二次方程
的根的情况求参数，利用待定系数法求得线段 的解析式为 ，联立方程组可得可看作
定抛物线 与过定点 的动直线 有两个交点，画图可得动直线 在直线
、 之间时，定抛物线 与过定点 的动直线 有两个交点，当动直线
过点 时，求得 ，当动直线 为直线 时，定抛物线 与过定点
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的动直线 有一个交点，利用判别式列方程求解即可．
【详解】解：设线段 的解析式为 ，
把 ， 代入得， ，
解得 ，
∴线段 的解析式为 ，
∵抛物线与线段 （包括A、B两点），有两个交点，
联立方程组得， ，即 ，
∵该方程在 时有两个根，
∴可看作定抛物线 与过定点 的动直线 有两个交点，
令 ，得 ；令 ，得 ；
∴定抛物线 过点 、 ，
如图，动直线 在直线 、 之间时，定抛物线 与过定点 的动直线
有两个交点，
当动直线 过点 时， ，
解得 ，
当动直线 为直线 时，定抛物线 与过定点 的动直线 有一个交点，
则 ，即 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
故选：B．
11．（2024·吉林·模拟预测）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中
倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（ ）与油温（ ）对应关系如下表：
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时间（ ） … 10 20 30 40 …
油温（ ） … 30 50 70 90 …
当加热到 时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发
现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把 代入即可．
【详解】解：由表格可知，油温与时间的函数关系是一次函数，油温用y表示，时间用x表示，设油温与
时间的函数关系是 ，
则 ，
解得
∴ ，
当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
故选：C．
12．（2024·安徽·模拟预测）已知 与 是一次函数．若 ，那么如图所示的 个图中正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及
与坐标轴的交点．
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联立方程 ，得出两直线的交点为 ，依次分析选项可得答案．
【详解】解：联立方程 ，可解得 ，故两直线的交点为 ，
选项中交点纵坐标是0，即 ，但根据图象可得 ，故选项 不符合题意；
而选项 中交点横坐标是负数 ，故选项 不符合题意；
选项 中交点横坐标是负数 ，选项 不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即 ，根据图象可得 ，故选项 符合题意；
故选： ．
13．（2024·安徽·模拟预测）从 ， ， 这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作 和 ，则一次函
数 图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下，
一共有 种可能，其中经过第二象限的共有 种可能，分别为 ， ； ， ； ，
； ， ；
∴经过第二象限的概率是 ，
故选： ．
14．（2024·吉林·模拟预测）如图是某函数的图象，当 时，若在该函数图象上可以找到n个不同的
点 ，使得 恒成立，则n的值不可能是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
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设 ，则在该函数图象上n个不同的点， ，也都在正比例
的图象上，画出函数图象，观察正比例函数 与其交点情况即可求解．
【详解】解：设 ，则在该函数图象上n个不同的点， ，
也都在 ，的图象上，画出函数图象观察交点即可求解．
如图1
正比例函数与该函数图象有2个交点，故A不符合；
如图2
正比例函数与该函数图象有5个交点，故B不符合；
如图3
正比例函数与该函数图象有6个交点，故C不符合；
故选：D．
15．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方
式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为 ， ，则关
于 与 的关系，下列说法正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数
图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点 和 ，利用纵坐标的
大小列出不等式，即可判断选项C、D．
【详解】解：由图像可知， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小，
所以 ，故选项A、B错误，不符合题意；
如下图，在两个图像上分别取横坐标为 的两个点 和 （ ），
则 ， ，
∵ ，即
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意．
故选：D
16．（2024·浙江·模拟预测）我们常用 来表示实数a，b，c中最小的数，如 ．已知
x为实数，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌
握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，
根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．
【详解】解：分别作出函数 ， ， 的图象，根据图示，联立方程求交点得，
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① ，解得， ；② ，解得， ；③ ，解得， ；
∴当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ， ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ， ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上所述， 的最大值为 ，
故选：C．
二、填空题
17．（2024·全国·模拟预测）已知点 在正比例函数 的图像上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求正比例函图象上的点的坐标，将点的坐标代入关系式，求出答案即可．
【详解】解：∵点 在正比例函数 的图象上，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
18．（2024·广东·模拟预测）一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起
4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数
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解析式 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度
与落地次数的对应函数关系．
【详解】解：根据题意得，
表示反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数解析式： （n为正整数）；
故答案为： ．
19．（2024·湖北·模拟预测）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则关于
的方程 的解为 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线 与 轴
交于点 即可得出答案．
【详解】解： 直线 与 轴交于点 ，
关于 的方程 的解为 ，
故答案为：2024．
20．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离
青岛崂山景区的路程y（ ）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂
山景区一共用了 小时．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数自变量，根据函
数图像设 的解析式为： ，用待定系数法求出函数解析式，再求出当 时，x的值即可．
【详解】解：根据函数图像可知， 为一次函数，且过点 ， ，
设 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
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∴ 的解析式为： ，
当 时， 则 ，
解得： ，
∴小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时．
故答案为：3．
21．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数 向左平移 个单位，就是向下平移 个单位．
【答案】
【分析】本题考查正比例函数图象的平移，由将正比例函数 向左平移 个单位，得到平移后的解析
式为 ，即 ，从而确定正比例函数图象的另一种平移方式，熟练掌握函数图象的
平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：将正比例函数 向左平移 个单位，则平移后的解析式为 ，即
，
将正比例函数 向左平移 个单位，就是向下平移 个单位，
故答案为： ．
22．（2024·湖北·模拟预测）已知直线 的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的 的
值： ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意可知，该直线不经过第四象限，可知 ，即可求解；
【详解】解：由题意可知， ，
∴ 的值可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）
23．（2024·广西·模拟预测）点A(−m,2m+1)在函数 的图象上，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查的是一次函数的性质，解一元一次方程，先根据点A(−m,2m+1)在函数 的图
象上，即可得出−(−m)+1=2m+1，然后解一元一次方程即可得出m的值．
【详解】解： 点A(−m,2m+1)在函数 的图象上，
∵
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−(−m)+1=2m+1，
解得： ，
∴
故答案为：0．
24．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线 ： ，直线 ： ，直线 与直线 交于
点A，与直线 交于点B，直线 与直线 交于点C，与直线 交于点D，连接 ，当 是等腰
直角三角形时， 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出 的坐标，分 和
两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当 时， ， ，
∴ ， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 是等腰直角三角形时，分两种情况：
①当 时，则： ，解得： ，
②当 时，过点 作 ，则： ，
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∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
25．（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄
水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
注水时间为 时．
1
【答案】 /
5
【分析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解
答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．根据函数图象中的数据可
以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的横坐标，即为所求．
【详解】解：设 为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是 ，
∴ ，
解得： ，即 ，
设 乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是 ，
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∴ ，
解得 ，即 ；
令 ，则 ，
解得： ，
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为 时．
故答案为： ．
26．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式 的解集是 ；关于x的不等式
的解集是 ；当 时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，
是解答本题的关键．
利用直线 与x轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．利用直
线与y轴的交点为 ，然后利用函数图象可得到不等式 的解集．结合两条直线的交
点坐标为 和图象来求得 解集．
【详解】解：∵直线 与x轴的交点是 ，且 随着x的增大而减小，
∴当 时， ，即不等式 的解集是 ；
∵直线 与y轴的交点是 ，且 随着x的增大而增大，
∴当 时， ，即不等式 的解集是 ；
由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是 ，
当函数 的图象在 的上面时，有 ；当 时， ，
所以当 时， ；
故答案为： ； ； ．
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27．（2024·上海·模拟预测）若正比例函数 过第二象限，则反比例函数 的图象在每个象限，
随x的增大而 （选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出 ，从而推出 ，最后
由反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵正比例函数 过第二象限，
∴ ，
∴ ，
∴则反比例函数 的图象在每个象限， 随x的增大而减小，
故答案为：减小．
28．（2024·北京·模拟预测）对于 条直线 ，满足 ，
，则这 条直线最多有 个交点．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
由 ，可知从1到 的 条直线平行，由 ，可知从 到 的30条直线交
于一点，则剩余 条直线最多可以有 个交点，从1到 的 条平行直线可以和
剩余的 条直线最多有 个交点，从 到 的30条直线可以和其他的 条直线最多有
个交点，然后求和计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴从1到 的 条直线平行，
∵ ，
∴从 到 的30条直线交于一点，
∴剩余 条直线最多可以有 个交点，
从1到 的 条平行直线可以和剩余的 条直线最多有 个交点，
从 到 的30条直线可以和其他的 条直线最多有 个交点，
∴这 条直线最多有 个交点，
故答案为： ．
三、解答题
29．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该
科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始
时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为 米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并
切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程
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（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求出线段 和线段 的解析式；
(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇；
(3)当 时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间有多少分钟？
【答案】(1) ；
(2)
(3) 分钟
【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键．
（1）设线段 的解析式为： ，将 代入即可求解；设线段 的解析式为：
，由题意求出 ，将点 代入即可求解；
（2）设甲、乙两个机器人经过 分钟后相遇，由图可知： ，据此即可求解；
（3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间，
即可求解；
【详解】（1）解：由图设线段 的解析式为： ，
将 代入得： ，
解得： ；
∴线段 的解析式为： ；
设线段 的解析式为： ，
由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为： 米/分钟，
∴“全速模式”的速度为 米/分钟，
∴ ，
将点 代入 得： ，
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解得： ，
∴线段 的解析式为： ；
（2）解：设甲、乙两个机器人经过 分钟后相遇，
由（1）可知：甲机器人的速度为 米/分钟，
由图可知： ，
解得： ；
即： 分钟后甲、乙两个机器人相遇；
（3）解： 当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小；
当 时，甲、乙两个机器人的距离为： 米，
设出发两分钟后再过 分钟，甲、乙两个机器人的距离为 米，
则 ，解得： ；
∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间有： 分钟；
当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大；
设相遇后再过 分钟，甲、乙两个机器人的距离为 米，
令 ，解得： ；
∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间有 分钟；
综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间有 分钟；
30．（2024·陕西·模拟预测）2024年4月23 日是世界第29个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某学校准
备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进数量x（本）之间的函数关系如图所示，乙
种图书每本25元．
(1)当 时，求y与x 之间的函数关系式；
(2)学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用是
多少元？
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【答案】(1)当 时，y与x之间的函数关系式是
(2)当购买甲种图书300本，乙种图书100本时，总费用最少，最少总费用是 8500元
【分析】本题考查了一次函数图像，一次函数的实际应用，解本题的关键在利用待定系数法求解析式和熟
练掌握一次函数的性质．
（1）根据图像，再利用待定系数法求解析式，即可得出函数关系式；
（2）设购进甲种图书 本，购进乙种图书 本，总费用为 ，根据（1）中的关系式和总费用 购
进甲种图书的费用 购进乙种图书的费用，列出关系式，再根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时，设y与x之间的函数关系式是 ，根据题意：
得 ，
解得
即当 时，y与x之间的函数关系式是 ；
（2）解：设总费用为w元，设购买x本甲种图书，则购买 本乙种图书，
依题意得： ，
∵两种图书均不少于100本，
则
解得： ，
∵ ，w随x的增大而减小，
∴当 时，w最小，最小值为 ，
∴当购买甲种图书300本，乙种图书100本时，总费用最少，最少总费用是 8500元．
31．（2024·北京·三模）在平面直角坐标 xOy中，函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过点 和 ，
与过点 且平行于x轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 y=kx+b(k≠0)的值且小于5，直接写
出n的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标
即可；
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（2）当 时， ，当 时， ，根据题意可得 ，问题随之得解．
【详解】（1）解：把点 ， 代入y=kx+b(k≠0)得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知：点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，
当 时， ，
∵当 时，函数 的值大于函数 的值且小于5，
∴ ，
解得： ．
32．（2024·北京·模拟预测）如图，
(1)【提出问题】将一次函数 的图象沿着 轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达
式为______；
(2)【初步思考】将一次函数 的图象沿着 轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表
达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点 ， ，
将它们沿着 轴向左平移3个单位长度，得到点 ， 的坐标分别为______，从而求出经过点 ， 的直
线对应的函数表达式为______；
(3)【深度思考】已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
①将一次函数 的图象关于 轴对称，求所得图象对应的函数表达式；
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②如图①，将直线 绕点 逆时针旋转 ，求所得图象对应的函数表达式；
③如图②，将直线 绕点 逆时针旋转 ，求所得图象对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3)① ；② ；③
【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案；
（2）利用点的平移法则得到 、 ，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案；
（3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案．
【详解】（1）解：利用平移规律得：将一次函数 的图象沿着 轴向下平移3个单位长度，所得
到的图象对应的函数表达式为 ，
故答案为： ；
（2）解： ， ，
将它们沿着 轴向左平移3个单位长度，得到点 、点 的坐标分别为 、 ，
设直线 的一次函数解析式为 ，
，解得 ，
过点 、 的直线对应的函数表达式为 ；
（3）解： ，当 时， ，即点 ；当 时， ， ，即点 ，
①如图，
一次函数 的图象关于 轴对称， ，
∴点A关于x轴的对称点 ，
设将一次函数 的图象关于 轴对称所得到的图象对应的函数表达式为 ，
将 代入 得 ，解得 ，
所得到的图象对应的函数表达式为 ；
②设点 绕点 逆时针旋转 到点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
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， ， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
设将直线 绕点 逆时针旋转 所得到的图象对应的函数表达式为 ，
，解得 ，
所得到的图象对应的函数表达式为 ；
③过点 作 交所得到的图象于点 ，过点 作 轴于点 ，如图，
将直线 绕点 逆时针旋转 ，
，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
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，
设将直线 绕点 逆时针旋转 ，所得到的图象对应的函数表达式为 ，
，解得 ，
所得到的图象对应的函数表达式为 ．
【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、
求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图
象表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
33．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩
短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的
长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是 ，单层部分的长度是 ，得到几
组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度
116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为 ．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的
倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为 ；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为
，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
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(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑
曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的
双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【答案】(1)图见解析； ；
(2)
(3)此时双层部分的长度为
【分析】（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出 的最大值和最小值；
（2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和 与 之间的函数关系式，用含 的代数式将
背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将 表示为 的函数的形式即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时 的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸
的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直
高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2
中得到的函数关系式，求出对应 的值即可．
【详解】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量 、 满足一次函数关系．
设 、 为常数，且 ，
将 ， 和 ， 代入 ，
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得 ，
解得 ，
．
当背带都为单层部分时， ；
当背带都为双层部分时， ，即 ，
解得 ，
的取值范围是 ；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为 ，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得 ，
∴ ；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即 ， ，
背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为 ，
手到地面的距离为 ，
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为 ，
小明爸爸一条胳膊的长度为 ，
，
解得 ，
根据任务2，得 ，
解得 ，
此时双层部分的长度为 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数值，理解题意，
利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键．
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