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专题 16 相似三角形
课标要求 考点 考向
1.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形
考向一 相似三角形的判定
相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例
的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。
相 似 考向二 相似三角形的判定与综合
2.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等 三 角
于相似比;面积比等于相似比的平方。 形 考向三 相似三角形的性质
3.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或
缩小。 考向四 相似三角形的实际应用
4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
考向一 位似图形
5.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数
位似
(sinA， cos A, tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数
考向二 坐标系与位似图形
值。
考点一 相似三角形
►考向一 相似三角形的判定
解题技巧/易错易混
相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且
夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
1．（2024·广西·中考真题）如图1， 中， ， ． 的垂直平分线分别交 ， 于
点M，O， 平分 ．
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(1)求证： ；
(2)如图2，将 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ．连接 ，
①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由；
②当 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上， ， ，
．求证： ．
►考向二 相似三角形的判定与性质综合
解题技巧/易错易混
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似
比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角
形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相
似三角形面积的比等于相似比的平方．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，已知菱形 的面积是24，E，F分别是菱形 的边 的中
点，连结 与 交于点G，则 的面积为（ ）
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A． B． C．3 D．9
4．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，
交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·湖南·中考真题）如图，在 中，点 分别为边 的中点．下列结论中，错误的
是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于点
H，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．（2024·安徽·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 是边 上的高．
点E，F分别在边 ， 上（不与端点重合），且 ．设 ，四边形 的面积为y，则
y关于x的函数图象为（ ）
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A． B．
C． D．
8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱 经过 的中点O， 与地面 垂直于点
M， ，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
9．（2024·辽宁·中考真题）如图， ， 与 相交于点 ，且 与 的面积比是 ，
若 ，则 的长为 ．
10．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点F
是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ．
►考向三 相似三角形的性质
11．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是 ，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·四川内江·中考真题）已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的周
长比为（ ）
A． B． C． D．
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13．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为 ，则它们的周长的比为 ．
►考向四 相似三角形的实际应用
14．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯
光下的影长 米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
15．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图
像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ．设
， ．小孔 到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为 ．
16．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得 地与树 相距10米，眼睛 处观测树 的顶端 的仰角为 ：
方案二：如图（2），测得 地与树 相距10米，在 处放一面镜子，后退2米到达点 ，眼睛 在镜
子 中恰好看到树 的顶端 ．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树 的高度．（结果保留整数， ）
考点二 位似
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►考向一 位似图形
17．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面
时，在点光源 的照射下形成的投影是 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
►考向二 坐标系与位似图形
解题技巧/易错易混
位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形
对应点的坐标的比等于k或–k．
18．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点 ．
若点 的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形 各顶点的坐标分别为O(0,0)， ， ，
，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内， 与 关于原点O位似，
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相似比为 ，点A的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
1．（2024·广东·模拟预测）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离
为 时，标准视力表中最大的“E”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“E”字高度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·三模）如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，
的面积为1，则 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2024·安徽·模拟预测）如图， 中， 是 的中点，过点 作 ，交 于点 ，则
与四边形 的面积比是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知 ，添加下列条件后，能判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河北唐山·二模）将 的各边按如图所示的方式向内等距缩 ，得到 ，有以下结论：
I 与 是相似三角形；
Ⅱ 与 是位似三角形．下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确
C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
6．（2024·浙江·二模）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 投影到与胶片
平行的屏幕上，形成影像 ．已知 ，点光源到胶片的距离 长为 ， 长为 ，
则胶片与屏幕的距离 为（ ）
A．86 B．84 C．80 D．78
7．（2024·广西·模拟预测）若两个等边三角形的边长比是 ，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·云南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以坐标原点O为位似中心的位
似图形，若 ，且 ，则线段 的长度为（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
9．（2024·山西·模拟预测）如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于 ， ， ，
， 五点，若线段 ，则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰 中， ，顶点A为反比例函数 （其中 ）
图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作 ，交反比例函数 的图像于点C，连接 交
于点D，若 ， ，则 的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
11．（2024·陕西西安·二模）如图，在 中， 分别为 的中点，连接
为 的中点，过点H作 ，交 于点D，连接 ，则与 相似（不含 ）的
三角形个数为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时
候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，
若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米
二、填空题
13．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．
如图，已知小红的身高是 米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地
面的高度是 米．
14．（2024·云南·模拟预测）如图 ， ， ，则 为 ．
15．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作 的位似图形 ．已知 的面积
为3， ，则 的面积为 ．
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16．（2024·北京·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学
校操场边一棵树的高度，如图，点 在同一水平线上， 与 相交于点
D．测得 ，则树高 m．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，某工厂有一块形如四边形 的铁皮，其中 ，
， ， ．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮 （阴影部分）
备用，点 分别在 上，设矩形铁皮的边 ，矩形 的面积为 ，要使矩
形 面积的最大．则 的取值为 ．
18．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中， ， 绕点A顺时针方向旋转 ，到
，连接 ，交AB于点P，若 ，则 的长为 ．
19．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， 为 中点， 为 上一点，且
，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，则 的值为 ．
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20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形 中， 分别是 上的点（点
分别不与点 重合），且 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
21．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的
高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度 ，标杆与雕塑的水
平距离 ，人的眼睛与地面的高度 ，人与标杆 的水平距离 ，求醒狮雕塑
的高度．
22．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，
如图，先测得井口的直径 ，然后在D处立一根 长的铁管 ，用聚光笔从铁管的
顶端E点照射井底B点，光线 与直径 交于点O，测得 ．求填平这口井需要的泥土的体积
（参考数据： ）．
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23．（2024·浙江·模拟预测）具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主
题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之
形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践
活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量
示意
图
测量
在点 处放一面镜子，他站在 的位置通过，镜子反射
方案 在点 处用距离地面高度为 的测
刚好看到大门顶端 处，同时他还测自己眼睛到地面的距
与测 角仪测出大门顶端 的仰角
离是 ，他到大门的距离是 ，
量
参考 ， ，
， ， ，
数据 ，
计算
大门
高度
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为
的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到
0.1米；若不能，请说明理由．
24．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正五边形 中，连结 交 于点F
(1)求 的度数．
(2)已知 ，求 的长．
25．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形 为正方形， ．
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(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
26．（2024·上海·三模）如图1，梯形 中， ， ， ．一个动点 从
点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 方向运动，过点 作 ，交折线段 于点 ，
以 为边向右作正方形 ，点 在射线 上，当 点到达 点时，运动结束．设点 的运动时间
为 秒（ ）．
(1)在整个运动过程中，设正方形 与△ 的重合部分面积为 ，请直接写出 与 之间的函数关系
式和相应的自变量 的取值范围；
(2)如图2，当点 在线段 上运动时，线段 与对角线 交于点 ，将△ 沿 翻折，得到△
，连接 ．是否存在这样的 ，使△ 是等腰三角形？若存在，求出对应的 的值；若不存在，
请说明理由．
14
