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专题 24 概率
考点 01 列举法求概率
1．（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
2．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无
其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海·中考真题）小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1，2，3，4四张牌，小杰手里有
2，4，6，8四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，
那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为 ．
4．（2025·贵州·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意
摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
5．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有 位女同学和 位男同学，每位同学的名字都被分别写在一
张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名
字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学
的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏南京·中考真题）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球
除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
(1)从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________；
(2)从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
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7．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有 ， ， ，
， ，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
8．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各
点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当
转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
10．（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
11．（2024·四川雅安·中考真题）将 ， ， ，0， ， 这6个数分别写在6张同样的卡片上，从
中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
12．（2024·内蒙古包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒
传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取
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一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵
全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的
笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的
颜色都不匹配的概率是 ．
15．（2023·内蒙古·中考真题）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作 和 ．若点
的坐标记作 ，则点 在双曲线 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·安徽·中考真题）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为
“平稳数”．用 ， ， 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为
（ ）
A． B． C． D．
考点 02 树状图、列表法求概率
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关 中的两个，能让两盏灯泡 同时发光的
概率为 ．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母
卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分
别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ）
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A． B． C． D．
3．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建
筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口
中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
4．（2025·吉林·中考真题）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了
“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能
被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利
被分配到同一组的概率．
5．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历
史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作 ， ， ， ， ）共五个研究方向，并采取小组合作的研
究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀
后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随
机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
6．（2025·江苏扬州·中考真题）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类
活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育
活动．
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(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
7．（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方
法，求2次都摸到白球的概率．
8．（2025·山西·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按
钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连续
点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是 ．
考点 03 公平性问题
1．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年
级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字
分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随
机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明
胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
2．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有
数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字
之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
考点 0 4 频率与概率
1．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同
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学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数
12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
3．（2024·贵州·中考真题）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下
列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次
4．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，
将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球
200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
6．（2023·湖北恩施·中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗
移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
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成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
7．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
8．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率 （精确到
1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
考点 0 5 统计与概率的综合
1．（2025·四川南充·中考真题）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、
C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望
增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图．
(1)求问卷调查的总人数，并补全条形图．
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(2)若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数．
(3)本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求
恰好抽中一男一女的概率．
2．（2025·四川遂宁·中考真题） 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，
开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”
为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调
查
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
主
题
调
查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数
目 据观念，发展应用意识．
的
调
查
某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
对
象
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并整理，将
其分成如下四组：
， ， ， ．
下面给出了部分信息：
其中 组的成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
数
， ， ， ， ， ， ， ， ．
据
收
集
与
表
示
数 根据以上信息解决下列问题：
据
（ ）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在
分
析 扇形统计图中， 组对应圆心角的度数为______；
与
（ ）请补全频数分布直方图；
应
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（ ）请估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数；
用
（ ）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作
经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
3．（2025·四川资阳·中考真题）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体
操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分
学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列
问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
(3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图
或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
4．（2025·青海·中考真题）为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：
．五谷画， ．彩陶， ．剪纸， ．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随
机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的
统计图：根据提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中 __________；
(2)补全条形统计图；
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(3)该校有 人，请你估计该校对课程 感兴趣的学生有多少名？
(4)甲、乙两名同学从 、 、 、 四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程
的概率．
5．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年 月学校举行健美
操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下
表：
单项比赛计分 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平
规则 均数即为该项得分
团体决赛计分 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低
规则 排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为 ， ， ， ， ，求丙班第二个单项的得
分 ；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；
（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有 ， ， 三种图书可供选择，请用列表或画树
状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
10
