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专题 20 圆的综合
考点 0 1 点与圆
1．（2025·云南·中考真题）已知 的半径为 ，若点 在 上，则点 到圆心 的距离为 ．
2．（2024·广东广州·中考真题）如图， 中，弦 的长为 ，点 在 上， ，
． 所在的平面内有一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A．点 在 上 B．点 在 内 C．点 在 外 D．无法确定
3．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，对角线 、 相交于点 ．点
在线段 上．连接 ，作 于点 ，交 于点 ．给出下面四个结论：
① ；
② ；
③当 时， ；
④点 与点 之间的距离的最小值为 ．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
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4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，C同时
出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的
垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为
圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
考点 0 2 圆的切线的性质
1．（2025·湖南·中考真题）如图， 的顶点 ， 在 上，圆心 在边 上， ，
与 相切于点 ，连接 ．
(1)求 的度数；
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(2)求证： ．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，在 中， 是直角， 为 的中点， 为 的切线交 的
延长线于点 ．连接 ， ．
(1)点 与 的位置关系是 ，线段 与线段 的数量关系是 ；
(2)过 点作 ，与 的延长线交于点 ．根据题意补全图形，判断 的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 的半径为 ，求 的长．
3．（2025·广东·中考真题）如图，点 是 斜边 边上的一点，以 为半径的 与边 相切
于点 ．求证： 平分 ．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图， 是 的切线，点 为切点，连接 ， ，若
，则 ．
5．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图， 是 的直径，弦 平分 ，过点 的切线交 于
点 ， ．
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(1)求证： ；
(2)若 ，求扇形 的面积．
6．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形 中， 分别与扇形 相切于点
．若 ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．9
7．（2025·黑龙江·中考真题）如图， 、 是圆O的切线，A、B为切点， 是直径， ，
8．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形 中， ， 与梯形 的各边
都相切，且 的面积为 ，则点 到 的距离为 ．
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9．（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图 ）的主视图是图 ， 分别与 所在
圆相切于点A，B，若该圆半径是 ，则主视图的面积为 ．
考点 0 3 圆的切线的判定
1．（2025·青海·中考真题）如图，线段 经过圆心 ，交 于点 ， ， 为 的弦，连接 ，
．
(1)求证：直线 是 的切线；
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(2)已知 ，求 的长（结果保留 ）．
2．（2025·云南·中考真题）如图， 是五边形 的外接圆， 是 的直径．连接 ， ，
， ．
(1)若 ，且 ，求 的度数；
(2)求证：直线 是 的切线；
(3)探究，发现与证明：已知 平分 ，是否存在常数 ，使等式 成立？
若存在，请直接写出一个 的值和一个 的值，并证明你写出的 的值和 的值，使等式
成立；若不存在，请说明理由．
3．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形 的顶点A，B，C在 上， ，直径 与
弦 相交于点F、点D是 延长线上的一点且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若四边形 是平行四边形， ．求 的长．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知 是 的直径， 是 上一点，过 作直线 与 的
延长线交于 点，过点A作 于 点，连结 、 ，且 ．
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(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 与 的长度；
(3)在（2）的条件下，若 为 上的一动点，且 在直线 上方，连结 ．当四边形
面积最大时，求 的长度．
5．（2024·西藏·中考真题）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，连接 ， ， 平分
， ，交 延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为5， ，求 的长．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将 沿过点 的直线翻折并展开，点 的对应点 落在边
上，折痕为 ，点 在边 上， 经过点 、 ．若 ，判断 与 的位置关系，并说
明理由．
考点 0 4 圆与三角形
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1．（2023·江西·中考真题）如图，点 ， ， ， 均在直线 上，点 在直线 外，则经过其中任意三个
点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023·四川攀枝花·中考真题）已知 的周长为 ，其内切圆的面积为 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几
何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内
切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．
用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这
个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
4．（2023·山东·中考真题）在 中， ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 内切圆的半径 D．当 时， 是直角三角形
5．（2024·宁夏·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 是 的内心，连接
并延长交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
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(1)求证： ；
(2)连接 ，若 的半径为2， ，求阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．
6．（2023·广东广州·中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，若
的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
7．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片， ， ， 为
直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
考点 0 5 圆与四边形
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆
（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
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只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有
．（ ）
(2)如图1，已知四边形 内接于 ，四条边长满足： ．
①该四边形 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若 的平分线 交 于点E， 的平分线 交 于点F，连接 ．求证： 是 的
直径．
(3)已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 分别相切于点E，
F，G，H．
①如图2．连接 交于点P．求证： ．
②如图3，连接 ，若 ， ， ，求内切圆 的半径r及 的长．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则
的度数是 ．
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3．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接
于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出 ，使 ．
(2)在图②中找一个格点E，画出 ，使 ．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， 的半径为
6，则 的长为 ．
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6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点 0 6 圆中的最值
1．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 的对角线 上取一点 ，使
，连结 并延长至点 ，连结 ，使 ， 与 相交于点 ．有下列结论：①
；② ；③ ；④点 是 边上一动点，连结 ，将 沿
翻折，点 落在点 处，连结 交 于点 ，连结 ，则 的最小值为 其中正确的结
论有 ．（填序号）
2．（2023·山东·中考真题）如图，在四边形 中， ，点
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E在线段 上运动，点F在线段 上， ，则线段 的最小值为 ．
3．（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿
运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
的运动过程中，线段 的最小值为 ．
4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且 ，
点 是 的内心， 的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则 的最小
值为 ．
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为原点， ，点 为平面内
一动点， ，连接 ，点 是线段 上的一点，且满足 ．当线段 取最大值时，
点 的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
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