文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 26 几何压轴综合
考点 01 平移
1．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面
上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 与遮阳伞投影 的平面图如图2所示， 在 上， ，
， ， ， ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在
移动过程中， 也随之移动（ 始终在 边所在直线 上），且形状大小保持不变，但落在义卖
区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 移动到 落在 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 的位置．
设遮阳区的面积为 ， 从初始时向右移动的距离为 ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， 随 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的 与 的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至 与 重合，求该过程中 关于 的解析式；
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， 向右移动了多少？（直接写出结果）
2．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 移动到点
称为一次甲方式：从点 移动到点 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 ；若都按乙方式，最终移动
到点 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 ．
(1)设直线 经过上例中的点 ，求 的解析式；并直接写出将 向上平移9个单位长度得到的直线 的
解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 ．其中，按甲方
式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 ；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 ，在图中直接画出 的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线 上分别有一个动点 ，横坐标依次为 ，若A，B，C三点始终
在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形
硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为 ， ， 的中点，G，H分别
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为 ， 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的
四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．
考点 02 轴对称
1．（2025·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，在 纸片中， ，点D在边 上， ．沿过点D的直线折叠该纸片，
使 的对应线段 与 平行，且折痕与边 交于点E，得到 ，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边 的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点 落在射线 上，且折痕与
边 交于点F，然后展平．连接 交边 于点G，连接 ．
①若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长
2．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落在
内，射线 交射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所
示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为
端点的四条线段之间的数量关系；
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程中 存
在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活
动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 、 ，
延长 交 于点Q，连接 ．
(1)如图1，当点M在 上时， ___________度；
(2)改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断 与 的数量关系，并说明
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
理由．
5．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，点 关于 的对称点 在 边上．
①求证： ；
②用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2， 是直角三角形， ， ，垂足为 ，点 关于 的对称点 在 边
上．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值．
6．（2023·重庆·中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求线段 的长．
(2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点
． 若 ，求证： ．
(3)在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将
沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，
当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
此时 的值．
考点 03 旋转
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图1，在 中， ， 沿 方向向左平移
得到 ，A、 对应点分别是 、 ．点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点A逆
时针旋转至线段 ，使得 ，连接 ．
(1)当点 与点 重合时，求 的长；
(2)如图2，连接 、 ．在点 的运动过程中：
① 和 是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；
②当 的长为多少时， 能构成等腰三角形？
2．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 和 拼成“L”形图案，如图①．
试判断： 的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形 不动的条件下，将矩形 绕点 旋转，若 ， ．
探究一：当点 恰好落在 的延长线上时，设 与 相交于点 ，如图②．求 的面积．
探究二：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图③．
求线段 长度的最大值和最小值．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·江苏南通·中考真题）正方形 中，点 在边 ， 上运动（不与正方形顶点重合）．
作射线 ，将射线 绕点 逆时针旋转45°，交射线 于点 ．
(1)如图，点 在边 上， ，则图中与线段 相等的线段是___________；
(2)过点 作 ，垂足为 ，连接 ，求 的度数；
(3)在（2）的条件下，当点 在边 延长线上且 时，求 的值．
4．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 为线段 上一动点，点 为射线
上的一点（点 与点 不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点 与线段 的中点 重合，则 度，线段 与线段 的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 运动过程中，点 在线段 上，且 ，探究线段 与线段
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 运动过程中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，射线 交射线 于点 ，若
，求 的长．
5．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点，点
为边 上一动点，连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
(1)线段 的长为 ；
(2)当 时，求 的长；
(3)当点 在边 上时，求证： ；
(4)当点 到 的距离是点 到 距离的2倍时，直接写出 的长．
6．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展
开探究．
特例研究
在正方形 中， 相交于点O．
（1）如图1， 可以看成是 绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为
________，k的值为________；
（2）如图2，将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 （点O，B的对应点分别为点
E，F），使得点E落在 上，点F落在 上，求 的值
类比探究
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）如图3，在菱形 中， ，O是 的垂直平分线与 的交点，将 绕点A逆时
针旋转，旋转角为α，并放缩得到 （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 上，点
F落在 上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中 ，其余条件不变，探究 之间的数量关系（用含β的式子表示）．
7．（2025·湖北·中考真题）在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点
落在边 上，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；
(3)如图3，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过点 作 的平行线交 于点G， 与
交于点 ．
①求证： ；
②当 时，直接写出 的值．
8．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了 的内接等腰三角形 ， ．并在 边上任取一点 （不与点 ， 重合），连
接 ，然后将 绕点 逆时针旋转得到 ．如图①
小明发现： 与 的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接 ，与 相交于点 ．如图②，小明又发现：当 确定时，线段 的长存在最大值．
请求出当 ． 时， 长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点 分线段 所成的比 与点 分线段 所成的比 始终相
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
等．请予以证明．
9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含 的三角尺 利一个正方形纸板
如图1摆放，若 ， ．将三角尺 绕点 逆时针方向旋转 角，观察图
形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点 交 于点 ．
问题1 和 的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ．求证 ．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角 从 变化到 时，点 经过路线的长度．
10．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在 中， 是 的中位线．连接 ，将 绕点D按逆时针方向旋转，得到
．当点E的对应点 与点A重合时，求证： ．
【数学理解】
（2）如图2，在 中 ， 是 的中位线．连接 ，将 绕点D按逆时针方向旋
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
转，得到 ，连接 ， ，作 的中线 ．求证： ．
【拓展探索】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ．过点D作 ，垂足为E，
， ．在四边形 内是否存在点G，使得 ？若存在，请给出证明；若不
存在，请说明理由．
11．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ， ， ，
求 的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
由旋转的特征得 ， ， ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴___①___．
∴ ．
又∵ ，
∴在 中，___②___．
∵ ， ，
∴ ___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形 的周长的
一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ．探究 的
数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【问题再探】
如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．设 ，
，求y与x的函数关系式．
考点 0 4 四边形
1．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图 ），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形 （数据如图 所示）．作一条直线 ，使 与 所夹的锐角为 ，且将矩
形 分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图3，嘉嘉的思路如下：
如图4，淇淇的方法如下：
①连接 ， 交于点 ；
①在边 上截取 ，连接 ；
②过点 作 ，分别交 ， 于 ②作线段 的垂直平分线 ，交 于
点 ， 点 ；
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③在边 上截取 ，作直线
．
……
(1)图 中，矩形 的周长为______；
(2)在图 的基础上，用尺规作图作出直线 （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图 中的直线 符合要求．
(4)如图 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，分别交边 ， 于点 ， ，过点 作
于点 ，连接 ．
当 时，求 的值；
当 最大时，直接写出 的长．
2．（2025·浙江·中考真题）在菱形 中， ．
(1)如图1，求 的值．
(2)如图2，E是 延长线上的一点，连接 ，作 与 关于直线 对称， 交射线 于点
P，连接 ．
①当 时，求 的长．
②求 的最小值．
3．（2025·上海·中考真题）在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当 是边 中点时，
①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ， ．求 的长．
4．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点 为正方形 内一个动点，过点 作 ，
，矩形 的面积是矩形 面积的2倍，探索 的度数随点 运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线
段，由此可得此图形中 ______ ；
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中 ， ， ，求此图形
中 的度数；
【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中 的度数随点 运动的变化情况，并说明理由．
5．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻
的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平
行四边形”．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ______； ______；
(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂
中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连
接 ，请直接写出 的值．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 中， ， ， ， 为边 上的
▱
动点．连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，过点 作 ， 交直线 于点 ．连接
、 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，交 于点 ．
(1)若点 与点 重合，则线段 的长度为______．
(2)随着点 的运动， 与 的长度是否发生变化？若不变，求出 与 的长度；若改变，请说明
理由．
7．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在 中，点D在边 上．若
，则 ，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在 中， ，点D为边 的中点， ，点E在 上，
连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，
延长 ， 相交于点G．若 ， ，求 的长．
8．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有
．（ ）
(2)如图1，已知四边形 内接于 ，四条边长满足： ．
①该四边形 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若 的平分线 交 于点E， 的平分线 交 于点F，连接 ．求证： 是 的
直径．
(3)已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 分别相切于点E，
F，G，H．
①如图2．连接 交于点P．求证： ．
②如图3，连接 ，若 ， ， ，求内切圆 的半径r及 的长．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在 中， ， ．点 是边 上的一点（点
不与点 、 重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使 ，以 为边作正方形 ，使
点 和点 在直线 同侧．
(1)当点 是边 的中点时，求 的长；
(2)当 时，点 到直线 的距离为________；
(3)连结 ，当 时，求正方形 的边长；
(4)若点 到直线 的距离是点 到直线 距离的3倍，则 的长为________．（写出一个即可）
10．（2023·浙江衢州·中考真题）如图1，点 为矩形 的对称中心， ， ，点 为
边上一点 ，连接 并延长，交 于点 ，四边形 与 关于 所在直线成轴对称，
线段 交 边于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长；
(3)令 ， ．
①求证： ；
②如图2，连接 ， ，分别交 ， 于点 ， .记四边形 的面积为 ， 的面积为
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
.当 时，求 的值．
11．（2023·海南·中考真题）如图1，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 为线段 上的动点（不与点 ， 重合），连接 并延长交边 于点 ，交 的
延长线于点 ．
(1)当点 恰好为 的中点时，求证： ；
(2)求线段 的长；
(3)当 为直角三角形时，求 的值；
(4)如图2，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，在点 的运动过程中，
的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20
