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专题 14 三角形
考点 01 三角形中的线段
1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位： ）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
2．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6， 的三条线段能组成一个三角形，则整数 的值可以
是 ．（写出一个即可）
3．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
4．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．（2024·山东德州·中考真题）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，则
的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
6．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
7．（2025·山东威海·中考真题）如图， 的中线 交于点F，连接 ．下列结论错误的是（
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）
A． B．
C． D．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知： ．
(1)尺规作图：画出 的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接 ， ．已知 的面积等于 ，则 的面积是______ ．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点 是 的重心，点 是边 的中点， 交 于点
， 交 于点 ，若四边形 的面积为6，则 的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
考点 02 三角形的内、外角
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图， 中， 是边 上的高，
是 的平分线，则 的度数是 ．
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2．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的动点，
将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为 ．
3．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ，以点C为圆心，适当长为半径
作弧，交 于点M，交 于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长度为半径作弧，两弧相交
于点P，作射线 交 于点D．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
4．（2025·吉林·中考真题）如图，正五边形 的边 的延长线交于点F，则 的大小为
度．
5．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是 ．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得
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到 ．当 落在 上时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在 中， ，垂足为点D， ，交 于点
E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·辽宁·中考真题）如图，点 在 的边 上， ，垂足为 ， ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D．交 于点E．连接
．若 ， ，则 的度数为 ．
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考点 03 等腰、等边三角形的判定与性质
1．（2025·四川凉山·中考真题）如图， ，点E在 上， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该
直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·中考真题）如图，在 中， ， ，按如下步骤作图：①以点B为圆心，
适当长为半径画弧，分别交 ， 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧在 的内部相交于点F，作射线 交 于点G．则 的大小为 度．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形
的周长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
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6．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是 的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方
形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，使 的顶点均
在格点上．
(1)在图①中， 是面积最大的等腰三角形；
(2)在图②中， 是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中， 是面积最大的等腰直角三角形．
7．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在 中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，请直接写出 的形状．
8．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于 ，
两点，一次函数 的图象过点A与反比例函数交于另一点 ．
(1)求反比例函数的解析式；当 时，根据图象直接写出x的取值范围；
(2)在y轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
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由．
9．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习
活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图 角平分线 的 的度 两腰之 两腰之
腰长
序 长 数 和 积
图
1 2 4 4
①
图
1 2
②
图
1 ______ ______ ______
③
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知 的角平分线 ， ， ，用含 的等式写出两腰之和 与两腰之积
之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知 的角平分线 ， ，用等式写出两边之和 与两边之积 之间
的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④， 中， ，点D在边 上， ．以点C为圆心， 长为半径
作弧与线段 相交于点E，过点E作任意直线与边 ， 分别交于M，N两点．请补全图形，并分析
的值是否变化？
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10．（2025·福建·中考真题）如图， 是等边三角形，D是 的中点， ，垂足为C， 是
由 沿 方向平移得到的．已知 过点A， 交 于点G．
(1)求 的大小；
(2)求证： 是等边三角形．
11．（2025·广西·中考真题）如图，点 在 同侧， ，则
．
12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形 中， 是中线，将 绕点 顺
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时针旋转 得到 ，连接 ，则 ．
13．（2024·山东济南·中考真题）如图1， 是等边三角形，点 在边 上， ，动点 以每秒
1个单位长度的速度从点 出发，沿折线 匀速运动，到达点 后停止，连接 ．设点 的运动时
间为 ， 为 ．当动点 沿 匀速运动到点 时， 与 的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
14．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形( ， ， )与中间的小等边三角形
拼成一个大等边三角形 ．连接 并延长交 于点G，若 ，则：
（1） 的度数是 ；
（2） 的长是 ．
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15．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形 中，E是边 上一动点（不与点A，D重合）．
边 关于 对称的线段为 ，连接 ．
(1)若 ，求证： 是等边三角形；
(2)延长 ，交射线 于点G；
① 能否为等腰三角形？如果能，求此时 的度数；如果不能，请说明理由；
②若 ，求 面积的最大值，并求此时 的长．
考点 0 4 直角三角形的判定与性质
1．（2025·四川达州·中考真题）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角
度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行
四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习
方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
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③____________________________________________________________________________．
(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3， ，点D是 的中点，
， ，试帮他判断四边形 的形状，并证明你的结论．
2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点
的对应点分别为 ，延长 交 于点 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若
，则 的长为 m．
6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点O，E是边 的中
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点，过点E作 于点 于点G，若 ，则 的长为 ．
7．（2024·青海·中考真题）如图，在 中，D是 的中点， ， ，则 的长
是（ ）
A．3 B．6 C． D．
考点 0 5 勾股定理及其逆定理
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且
， ，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，
则梯子顶端的高度h为 m．
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3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图， 是坐标原点，菱形 的顶点 在 轴的负半轴上，顶点 的
坐标为 ，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法
对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 ， ， 都是正整数，则 ， ， 为一组“勾
股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
11，60， 15，112， 19，180，
3，4，5 7，24，25
61 113 181
12，35，
4，3，5 8，15，17 16，63，65 20，21，29
37
5，12， 13，84， 17，144，
9，12，15 21，28，35
13 85 145
10，___， 14，48， 22，120，
6，8，10 18，80，82
26 50 122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示 ， ， ，使该组代数式能表示上
表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花
要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 ．如
果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
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5．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗
士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由
此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述
规律，写出第⑤组勾股数为 ．
6．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 ， ，
的计算公式： ， ， ，其中 ， ， 是互质的奇数．下列四
组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
7．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个
正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的
直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图
形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方
形的面积和为 ．
8．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个
直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 的面积等于
四边形 面积的2倍，则 ．
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9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ．直线 交正方形
的两边于点 ， ，记正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ．若 ，
则用含 的式子表示 的值是 ．
10．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，
其示意图如图②，其中 ， 于点C， 尺， 尺．设 的长度为x尺，可
列方程为 ．
11．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横
之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：
有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．
问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
12．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：
水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即 ， ， ，则 （ ）
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A．8 B．10 C．12 D．13
13．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱 中， ，
点M为 的中点，一只小虫从 沿三棱柱 的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于
．
14．（2025·湖南·中考真题）已知， ， ， 是 的三条边长，记 ，其中 为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则 ；
（2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论）
①若 ， ，则 为直角三角形
②若 ， ， ，则
③若 ， ， ， ， 为三个连续整数，且 ，则满足条件的 的个数为7
15．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
线段 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角
形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
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16．（2023·山东·中考真题） 的三边长a，b，c满足 ，则 是
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
考点 0 6 全等三角形的判定
1．（2025·广西·中考真题）如图，已知 是 的直径，点 在 上， ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在 和 中， 在同一条直线上．下面
四个条件：① ；② ；③ ；④ ．
(1)请选择其中的三个条件，使得 （写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证： ．
3．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条 的中点连在一起，记中点为 ，即
．测得 两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上 两点
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之间的距离．图中 与 全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南·中考真题）如图，在 和 中， ， ， ．
求证： ．
5．（2025·云南·中考真题）如图， 与 相交于点 ， ．求证： ．
6．（2025·重庆·中考真题）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的
另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填
空：
第一步：构造角平分线．
小红在 的边 上任取一点E，并过点E作了 的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在 边上
截取 ，过点F作 的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线 即为 的平分线
（不写作法，保留作图痕迹）．
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第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明： ， ，
．
在 和 中，
，
．
③ ．
平分 ．
7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为
半径作弧，分别交 于点 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在
的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是 上一点， ，D、E、F三点共线，
请添加一个条件 ，使得 ．（只添一种情况即可）
9．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点 在 上， ， ，添加一个条件，不能证
明 的是（ ）
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A． B． C． D．
考点 0 7 全等三角形的性质
1．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形 中， ．
(1)求证： ．
(2)求证： ．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 __________°．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图， ，若 ， ，则 的度数
为 ．
4．（2022·新疆·中考真题）在 中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使
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，连接BE．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
5．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图， 是一个任意角，
在边 ， 上分别取 ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 ， 重合，即 ，
过角尺顶点 的射线 便是 的平分线，这种做法的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗
问题：作 的平分线
作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出
了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得 为
的平分线；
讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定
全等的方法是_______；
对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等， ， 或 ，
②_______________；
对丙同学的作法陷入了沉思．
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任务：
(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；
(2)完成对丙同学作法的验证．
已知 ，求证： 平分 ．
7．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G，
， ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，则 与l的位置关系是________．
8．（2023·西藏·中考真题）如图，已知 ， ， ．求证： ．
9．（2025·四川自贡·中考真题）如图， ， ．求证： ．
10．（2025·吉林·中考真题）如图，在矩形 中，点E，F在边 上，连接 ， ．
(1)求证： ．
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(2)当 ， 时，求 的长．
11．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点 ， 分别在 ， 上， ， ，
相交于点 ， ．
求证： ．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．第一步
又 ， ，
∴ 第二步
∴ 第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23
