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专题 19 圆
考点 01 垂径定理及其应用
1．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图
是研究“割圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切于点
，连接 ， ，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到 ，由垂径定理可得 ，由圆周角定
理可得 ，进而证明 是等边三角形，得到 ，再根据阴影部分的面积
求解即可．
【详解】解： 所在圆的圆心为点O，边 与 相切于点 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
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，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三
角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
2．（2025·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理即可得到 ．
【详解】解：连接 ．
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∵ 是 的直径， 是弦， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形 的顶点都在半圆O上， 是半圆O的直径，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径
定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得 ，则可证明 ，据此可证明 ．
（2）连接 ，交 于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到 ，即 ，
则可证明 ，由垂径定理可得点E为 的中点，则 是 的中位线，即可得到
．设半圆的半径为r，则 ．由勾股定理知 ，解方程即可得到
答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，交 于点E．由题意知，
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∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴点E为 的中点，
又∵O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
设半圆的半径为r，则 ．
由勾股定理知， ，
即 ，
解得 ， （舍去）．
∴ ．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是 的弦，半径 于点 ．若 ， ．则
的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到 的长，再由勾股定理解答即可．
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【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 中， ，
故选：A．
5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高
点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
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∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
故选B
6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在 中，直径 于点E， ，则弦 的
长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得 ，设 的半径为 ，则 ，在 中，由勾股定
理得出方程，求出 ，即可得出 ，在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
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7．（2023·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆， ，垂
足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质及三
角形的周长求解即可．
【详解】解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是
解题关键．
8．（2025·陕西·中考真题）如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为 ．
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【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．先根据 为 的直径， ，则 ，再根据 ，即
，代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
9．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月
洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法
式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞
门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 表示，点O是 所在圆的圆心， 是月洞门的横跨， 是月
洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为 ，拱高
的长度为a．作法如下：
①作线段 的垂直平分线 ，垂足为 ；
②在射线 上截取 ；
③连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点O；
④以点O为圆心， 的长为半径作 ．
则 就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键．
根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求：
10．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明
的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点
，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接 ，在
中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的
直径长．
【详解】解：∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
11．（2023·广西·中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，
主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到 ，再利用勾股
定理列方程求解，即可得到答案．
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【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
考点 02 圆中的角
1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的
外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】方法一∶如图：连接 ，由题意可得： ，
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，然后再根据等腰三角形的性质求得 、 ，最后根据角的和
差即可解答．
方法二∶ 连接 ，由题意可得： ，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接 ，
由题意可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
方法二∶解∶ 连接 ，
由题意可得： ，
根据圆周角定理，知 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度
数的一半是解答本题的关键．
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2．（2024·海南·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且 ，点P在
上，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接 ， ，证明 和 都是等
边三角形，求得 ，利用三角形内角和定理求得 ，据此求解即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵ 是半圆O的直径， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
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B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析
判断，即可求解．
【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正
确，不符合题意；
故选：C．
4．（2024·云南·中考真题）如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接 ，由 可得 ，
进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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故选： ．
5．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在 中，直径 与弦 交于点 ．连接 ，过点
的切线与 的延长线交于点 ．若 ，则 °．
【答案】66
【分析】连接 ，则有 ，然后可得 ，则 ，进而问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 是 的直径，且 是 的切线，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：66．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关
系是解题的关键．
6．（2025·湖北·中考真题）如图， 内接于 ．分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由 是 的垂直平分
线，可得 ，可得 ，再进一步求解即可.
【详解】解：由作图可得： 是 的垂直平分线，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
7．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
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（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出
的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ 且 ，
∴ ，
故选：C．
8．（2025·重庆·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角
定理是解题的关键．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故选：B．
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9．（2025·湖南长沙·中考真题）如图， ， 为 的弦，连接 ， ， ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出 ，即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，四边形 内接于 ，点 在 的延长线上．若
，则 度．
【答案】140
【分析】首先根据圆内接四边形的性质得 ，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出
的度数．
【详解】解：∵四边形 内接于 ， ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
∴ °．
故答案为：140．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对
角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键．
11．（2025·山西·中考真题）如图， 为 的直径，点 是 上位于 异侧的两点，连接
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，连接 ，由 为 的直径可得 ，进而由
得 ，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
12．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ， ，连接BD，若 ，
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则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质．
根据圆的内接四边形对角互补可得 的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
13．（2025·青海·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所
对的圆周角相等是解题的关键．根据 是 的直径得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
14．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得
，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，进而根据 为 的直径，得出
，进而得出 即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴
故选：B．
15．（2024·青海西宁·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为直径 延长线上一点， ，
，则 ．
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【答案】 / 度
【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角
的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
连接 ，根据圆内接四边形性质求得 ，结合弧、弦、圆心角的关系推出 ，进而得到
，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到 ，最后根据
求解，即可解题．
【详解】解：连接 ，
四边形 内接于 ， ，
，
，
，
，
为直径，
，
；
故答案为： ．
16．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ．将射线 绕点C顺时
针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，使得 面积为24，连结 ，则 的最大值是
1
．
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【答案】
【分析】先整理得 ，过点C向上作线段 ，使得 ，则 ，结合
整理得 ，证明 ，即 ，运用即定角
定弦，故点D在以 为直径的圆上，连接 ，并延长与 交于一点，即为 ，运用勾股定理得
，即可作答．
【详解】解：∵射线 绕点C顺时针旋转 到 ，在射线 上取一点D，连结 ，
1
∴
∵ 面积为24，
∴
∴ ，
过点C向上作线段 ，使得 ，
∵
∴
即
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
故点D在以 为直径的圆上，
∵ ，
记圆心为直径 的中点 ，
即 的半径
连接 ，并延长与 交于一点，即为 ，
此时 为 的最大值，
故
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在
以 为直径的圆上是解题的关键．
17．（2023·重庆·中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留 ）
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【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ；
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
考点 03 正多边形与圆
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心，
轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等
等，过点E作 轴于H，连接 ，可证明 是等边三角形，则 ， ，
进而得到 ，设 ，则 ，则 ， ，即可得到点
在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到 ，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作 轴于H，连接 ，
∵原点 为正六边形 的中心，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，
∴点 在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故选：A．
2．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
【答案】18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
3．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的度数
为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形 内接于 ，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键．
4．（2025·青海·中考真题）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点
儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全
相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图 每个内角度
能否整除 能否密铺
形 数
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正三角
能
形
正方形 ①________ ②________ 能
正五边
不能
形
正六边
能
形
正七边
不能
形
正八边
③________ ④________
形
．．． ．．． ．．． ．．．
（1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内
切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现 是正三角形 的内切圆，与 切于点 ， ， ， ，在
中， ，则 的周长为 ．
（2）如图2，正方形 的周长为__________；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边
形的面积为__________．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
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【答案】（1）① ，② ，③ ，④不能；（2）8；（3） ；（4） ， ，
【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答；
（2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长；
（3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为 ，即得正六边形周长；
（4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为 ，积为 ；正方形的边长为3，
面积为9；正六边形的边长为2，边心距为 ，面积为 ．
【详解】（1）∵正方形每个内角为 ，
∴ ，
∴能密铺；
∵正八边形的每个内角为 ，
∴ ，
∴不能密铺；
故答案为：① ；② ；③ ；④不能；
（2）设 切 于点E，连接 ，
则 交于点O， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴正方形 的周长为8；
故答案为：8；
（3）设 切 于点G，连接 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴正六边形周长为 ；
（4）三角形：
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
正方形：
∵ ，
∴ ，
正六边：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30
度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
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5．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是
该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如 ，弦为 时，
此时 恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即 交 的两边，
截取的两条弦为 时，进行求解即可．
【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如 交 的两边，截取的两条弦为 ，此时
恰好是正五边形的一个内角，
∴ ；
当角的顶点在圆外部，即 交 的两边，截取的两条弦为 时，
则： ，
∴ ，
∴ ；
综上：这个角的大小是 或 ；
故答案为： 或 ．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上， ，
则 ．
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【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理
得 ，再根据正 边形的边数 中心角，即可得出结论．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：10．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形 和正五边形 内接于 ， 和 相交于点
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角
形的性质，连接 ，设 与 相交于点 ，由圆的内接正多边形的性质可得 ，
，即得 ，即可由圆周角定理得 ，进而由三
角形内角和定理得 ，再由直角三角形两锐角互余得到 ，正确作
出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，设 与 相交于点 ，
∵正四边形 和正五边形 内接于 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切圆半径为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定理求
出 即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，作 于G，
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∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
9．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正多边
形的边心距，由 可得 ，可得 ，而 ，可得 为等边三角形，从而可
得答案．
【详解】解：如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正
多边形的边心距，
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∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴多边形的边数为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
考点 0 4 弧长及扇形面积
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形 中 ，以宽 为边在其内部作正方形
，得到四边形 是黄金矩形，依此作法，四边形 ，四边形 也是黄金矩形．依次以
点E，G，L为圆心作 ， ， ，曲线 叫做“黄金螺线”．若 ，则“黄金螺线”
的长为 ．（结果用 表示）
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【答案】
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式 ．先根据黄金矩形 中 ，
且 ，求出 ，进而求出 ， ，再根据弧长公
式即可求出“黄金螺线” 的长．根据黄金矩形的定义求出 的长，以及熟练掌握弧长的公式是解
题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形 中 ，且 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
，
，
∵四边形 是正方形，
，
，
，
∵四边形 是正方形，
，
∴“黄金螺线” 的长为，
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．
故答案为： ．
2．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处 位于北纬 （即 ），东经 ，三沙市海域
某处 位于北纬 （即 ），东经 ；设地球的半径约为 千米，则在东经 所在经线圈
上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ）
A． （千米） B． （千米）
C． （千米） D． （千米）
【答案】C
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出 的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得， ，
∴劣弧 的长为 千米，
故选：C．
3．（2025·浙江·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线，以点C为圆心，
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长为半径作弧，与 的另一个交点为点E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到 ，进而得到
，三角形的外角得到 的度数，作图可知 ，等边对等角求出 的度数，
再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ， 是斜边 上的中线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ；
故选B．
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在 中，如果 的圆心角所对的弧长是 ，那么 的半径是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式： ，其中 ，
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代入得：
解得：
故选：A．
5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，
将 沿直线 翻折得到 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一点，且
．当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】分点 在矩形内部和点 在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点 在矩形内部时，作
，交 于点 ，证明 ，进而得到 ，进而得到点 在以 为直径
的圆上运动，得到当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，点 的运动轨迹为半圆 ，当点 在
矩形外部时，同法可得，点 在以 为直径的圆上，得到当点 运动到点 时，点 的运动轨迹是圆心
角为 的 ，求出两段路径的和即可得出结果．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
当点 在矩形内部时，作 ，交 于点 ，则： ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上运动，
∴当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，点 的运动轨迹为半圆 ，
∴点 的运动路径长为： ；
当点 在矩形 的外部时，作 ，交 的延长线于点 ，
同法可得： ， ，
∴ ，点 在以 为直径的 上运动，连接 ，
当点 运动到点 时，如图：
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹为圆心角为 的 ，路径长为 ，
∴点 的运动路径总长为： ；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌
握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点 的运动轨迹，是解题的关键．
6．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心， 长为半径
作圆，则该圆被正六边形截得的 的长为 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形 是正六边形，根据正
多边内角和等于 ，求出内角 ，再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
∵
，
∴
，
∴
故答案为： ．
7．（2025·广东·中考真题）如图，在直径 为 的圆内有一个圆心角为 的扇形 ．随机地往圆
内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作 于点D，证明出 是等腰直角三角形，求出
，然后得到 ，然后分别求出 和 ，然后根据概率
公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作 于点D
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∵ 是直径
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴该粒米落在扇形内的概率为 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直
角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形 的边长为4，中心为点 ，以点 为圆心，以
长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 、 、 ，过点O作 于点M，根据正六边形的性质得出 ，
， ，证明 和 为等边三角形，求出
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，证明 ，得出 ，得出
，根据 求出结果即可．
【详解】解：连接 、 、 ，过点O作 于点M，如图所示：
∵六边形 为正六边形，
∴ ， ， ，
∴ 和 为等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形
全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
9．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ．
(1)将 向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到 ，请画出 ．
(2)请画出 关于 轴对称的 ．
(3)将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，求线段 在旋转过程中扫过的面积（结果保留
）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
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【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；
（3）画出旋转后的图形，根据 即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；
（3）将 着原点 顺时针旋转 ，得到 ，
设 所在圆交 于点D，交 于点E，
， ，
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，
， ，
，
，
， ， ，
，
故线段 在旋转过程中扫过的面积为 ．
【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应
点的位置是解题的关键．
10．（2023·四川成都·中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．
该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆 的距离
是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众
同时观看演出．（ 取3.14， 取1.73）
【答案】184
【分析】过点O作 的垂线段，交 于点 ，根据直角三角形的边长关系求出 的角度，阴影面
积即为扇形 的面积减去三角形 的面积，随机可以求出容纳观众的数量．
【详解】解：如图，过点O作 的垂线段，交 于点 ，
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圆心O到栏杆 的距离是5米，
米，
，
， 米，
，
，
，
可容纳的观众
阴影部分面积 （人），
最多可容纳184名观众同时观看演出，
故答案为：184．
【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键．
11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形 中， ，连接 ， ，以点D为圆心、
的长为半径作圆弧 ，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接 ，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，
然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出 长，再根据 解答即可．
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【详解】解：连接 ，
∵ 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（2025·山西·中考真题）如图，在 中， ，分别以点 为圆心、 的
长为半径画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
， ，进而由 解答即可求解，掌握以
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上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
13．（2025·四川成都·中考真题）如图， 的半径为1，A，B，C是 上的三个点．若四边形 为
平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接 ，证明四边形 为菱形，易得
为等边三角形， ，得到 ，根据阴影部分的面积等于弓形 的
面积加上 的面积，即为扇形 的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，则： ，
∵四边形 为平行四边形， ，
∴四边形 为菱形，
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∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ；
故答案为： ．
14．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆
的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面
积公式是关键．
如图：连接 ，作 于点B，得三角形 是等边三角形，求出
，再根据 ，即可解答．
【详解】解：如图：连接 ，作 于点B，
∵ ，
∴三角形 是等边三角形，
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∴ ，
∴
∴ ,
∴ ．
故选：A．
15．（2023·四川资阳·中考真题）如图，边长为6的正三角形 内接于 ，则图中阴影部分的面积是
．
【答案】
【分析】本题考查圆中求不规则图形面积，涉及圆的性质、等边三角形性质、三角形外接圆性质、勾股定
理、含 直角三角形性质、扇形面积公式及三角形面积公式等知识，连接 并延长交 于 ，连接
，如图所示，由等边三角形外接圆性质得到 、 ， 平分 ，再由勾股定理及
含 直角三角形性质求出相关线段长，间接表示出图中阴影部分的面积是 ，求出圆面积及三角
形面积代值求解即可得到答案，熟练掌握圆中不规则图形面积的求法是解决问题的关键．
【详解】解：连接 并延长交 于 ，连接 ，如图所示：
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边长为6的正三角形 内接于 ，
由等边三角形外接圆性质可得 、 ， 平分 ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
在 中， ， ，设 ，则 ，
，
，解得 ，即 的半径为 ，
，
图中阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
16．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为 的正方形 内接于 ，分别过点A，D作⊙O的
切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，证明四边形 是正方形，由勾股定理求得 ，根据阴影部分面积
求解即可．
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【详解】解：如图所示，连接 ， ，
∵ 、 是 的切线，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分面积
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性
质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键．
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