文档内容
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第 1 节 与圆有关的概念及性质
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 圆的有关概念及性质 常考
动态:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A
圆的定义
所形成的图形叫作圆,其固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径.
静态:到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆
同心圆 圆心相同、半径不等的圆叫作同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫作等圆(半径相等)
半圆 圆分成两条相等的弧,每一条弧都叫作半圆
圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫作优弧,小于半圆的
弧
弧叫作劣弧
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦
直径 经过圆心的弦叫作直径
弦心距 圆心到弦的距离叫作弦心距
圆心角 顶点在① 的角叫作圆心角
圆周角 顶点在圆上,并且两条边都与圆相交的角叫作圆周角
圆的性质 对称性;旋转不变性
在运用圆周角定理 一条弦对应两条弧,对应 一条弧只一个圆心角,但却
易错警示
时,一定要注意“在
两个圆周角且这两个圆 对应着
同圆或等圆中”的
条件 周角互补 无数个圆周角
知识点2 垂径定理及其推论 轮考
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论:平分弦(不是直径)的直径② 于弦,并且平分弦所对的两条弧.
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知识点3 弧、弦、圆心角之间的关系 常考
1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧③ ,所对的弦④ .
2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.
知识点4 圆周角定理及其推论 常考
1.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的⑤
.
2.圆周角定理的推论
(1)推论一:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
(2)推论二:半圆(或直径)所对的圆周角是⑥ ,90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)推论三:圆内接四边形的对角⑦ .
知识点5 圆的内接多边形 常考
1.定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫作这个圆的内接多边形,
这个圆叫作这个多边形的外接圆.
2.三角形的外心:三角形⑧ 的圆心叫作这个三角形的外心.
3.外心的性质:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.三角形的外心是三角形三
边 ⑨ 的交点.
4.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
5.圆内接四边形的对角互补.
技巧提示
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角).
【基础演练】
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数
是 ( )
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A.50° B.100° C.130° D.150°
2.如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,连接CD,交OB于点E,∠BOC=42°,则
∠OED的度数是 ( )
A.61° B.63°
C.65° D.67°
3.(2024·泉州模拟)如图,在四边形ABCD中,AC=AD,∠ABD=90°,过A,B,D三点的圆与CD交于
点E.
(1)求证:E是CD的中点.
(2)若CD=2BC,求证:∠BCD=2∠ADB.
真题精粹·重变式
考向1 圆周角定理及其推论
1.(2020·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为 ⏜ 的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于
BD
( )
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A.40° B.50° C.60° D.70°
热点训练
2.如图,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,F是弧DE上一点,且与
点D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为 ( )
A.115° B.118° C.120° D.125°
考向2 圆性质综合运用
3.(2019·福建)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E,点F在BD的延长线上,且
DF=DC,连接AF,CF.
(1)求证:∠BAC=2∠DAC.
(2)若AF=10,BC=4√5,求tan∠BAD的值.
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热点训练
4.如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC为直径,DE⊥AB交AB于点E,交☉O于点F.
(1)延长DC,FB相交于点P,求证:PB=PC.
(2)如图2,过点B作BG⊥AD于点G,交DE于点H,连接BD.若AB=√3,DH=1,∠OHD=80°,
求∠EDB的度数.
考向3 垂径定理及其应用
热点训练
1
5.如图,若AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OC= OD,则∠ABD的度数为 ( )
2
A.90°
B.95°
C.100°
D.105°
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
①圆心上 ②垂直 ③相等 ④相等 ⑤一半 ⑥直角
⑦互补 ⑧外接圆 ⑨中垂线
基础演练
1.C 2.B
3.证明:(1)如图,连接AE.
∵A,B,D三点共圆,且∠ABD=90°,∴AD为直径,
∴∠AED=90°,即AE⊥CD.
又∵AC=AD,∴CE=DE,
即E是CD的中点.
(2)如图,连接BE.
∵CD=2BC,CE=DE,∴CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE,
则∠BCD=180°-∠CEB-∠CBE=180°-2∠CEB.
又∵∠AEB=∠AEC-∠CEB=90°-∠CEB,
∴∠BCD=2∠AEB.
∵ ⏜ = ⏜ ,∴∠AEB=∠ADB,
AB AB
∴∠BCD=2∠ADB.
真题精粹·重变式
1.A 2.C
3.解析:(1)证明:∵BD⊥AC,∴∠AED=90°.
在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.
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∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠ADE.
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠ADE=180°-2(90°-∠CAD)=2∠CAD.
(2)∵DF=DC,
1 1
∴∠BFC= ∠BDC= ∠BAC.
2 2
1
由(1)得∠DAC= ∠BAC=∠FBC,
2
∴∠BFC=∠FBC,∴CB=CF.
又∵BD⊥AC,
∴AC是线段BF的中垂线,AB=AF=AC=10.
又∵BC=4√5,
设AE=x,则CE=10-x,∴AB2-AE2=BC2-CE2,100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,
∴AE=6,CE=4,BE=8.
∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,
∴△ADE∽△BCE,
AE·CE 6×4
∴DE= = =3,BD=11,AD=3√5.
BE 8
如图,作DH⊥AB,垂足为H,则
3 33
DH=BD·sin∠ABD=11× = ,
5 5
4 44
BH=BD·cos∠ABD=11× = ,
5 5
44 6
∴AH=AB-BH=10- = ,
5 5
DH 33 11
∴tan∠BAD= = = .
AH 6 2
4.解析:(1)证明:∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°.
又∵DE⊥AB,∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,
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∴∠F=∠PBC.
又∵四边形BCDF是圆内接四边形,
∴∠F+∠DCB=180°.
又∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.
(2)如图,连接OD.
∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.
又∵BC∥DF,DH=1,
∴四边形BCDH为平行四边形,
∴BC=DH=1.
在Rt△ABC中,
AB
AB=√3,tan∠ACB= =√3,
BC
∴∠ACB=60°,
1
∴BC= AC=OD,∴DH=OD.
2
在等腰△DOH中,
∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°,设DE交AC于点N.
∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°.
∠DOC
∵OA=OD,∴∠OAD= =20°,
2
则∠CBD=∠OAD=20°.
∵BC∥DE,
∴∠EDB=∠CBD=20°.
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5.D
9
