文档内容
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第 3 节 与圆有关的计算
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点1 弧长与扇形面积的计算 轮考
内容 公式 备注
圆周长 C=2πr (1)r为圆半径;
弧长 l=① (2)n°为弧所对的圆心角
的度数;
圆面积 S=πr2
(3)l是扇形的弧长
nπr2
扇形面积 S= =②
360
技巧提示
nπr
使用弧长公式l= 时,n和180都不需要带单位.
180
知识点2 圆柱、圆锥的有关计算
名称 公式 备注
S
圆柱侧
=③ ; (1)侧面展开图为矩形;
圆柱
S =2πr2+2πrh (2)r为底面圆半径,h为圆柱高
圆柱全
S
底面圆
=④
圆锥 r为底面圆半径
C =2πr
底面圆
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（续表）
(1)圆锥的轴截面是等腰三角形,圆锥的母线l和底面圆半径r,圆锥的高h,
满足r2+h2=l2;
展开图与圆锥各量 (2)圆锥的侧面展开图是⑤ ;
间的关系
(3)圆锥底面的周长等于其侧面展开图扇形的⑥ ;
(4)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的⑦
【基础演练】
1.若扇形的半径是4,圆心角为120°,则扇形的弧长为 ,扇形的面积为 ,围成圆锥底面
圆半径为 ,圆锥的高为 .
2.若扇形的半径是4,弧长是4π,则扇形的圆心角度数为 ,扇形的面积为 .
3.在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O交AC于点D.
(1)如图1,若AD=CD=2,则图中阴影部分的面积是 .
(2)如图2,若D是 ⏜ 的中点,AB=6,则图中阴影部分的面积是 .
AB
真题精粹·重变式
考向1 与弧长有关的计算
1.(2022·福建)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,
连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF.
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(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求 ⏜ 的长.(结果保留π)
AC
考向2 与阴影面积有关的计算
2.(2023·福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆
的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则
与圆周合体而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为
3.1416.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π
3√3
的估计值为 ,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为 ( )
2
A.√3
B.2√2
C.3
D.2√3
3.(2020·福建)若一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为 .(结果保留π)
4.(2019·福建)如图,若边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是
AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
热点训练
⏜
5. 如图,热点训练在扇形AOB中,∠AOB=80°,半径OA=3,C是 AB 上一点,连接OC,D是OC上一
⏜
点,且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则 AC 的长为 ( )
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π π
A. B.
6 3
π
C. D.π
2
6.如图,正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为4,过圆心O的两条直线l、l 的夹角为60°,则
1 2
图中的阴影部分的面积和为 ( )
16 16
A. π-4√3 B. π-2√3
3 3
8 8
C. π-4√3 D. π-2√3
3 3
7. 如图,在矩形ABCD中,BC=√2AB,O为BC的中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为 .
8.如图,在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8,过AO的中点E作AB的垂线交☉O于点C和D,P是
⏜
BC上一动点.连接PA,PB,PC,PD.
⏜
(1)求
AC
的长度.
(2)延长AP到点F,连接BF,使得FB2=FA·FP.求证:BF是☉O的切线.
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9.如图,AB是☉O的直径,C,D为☉O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且
CE=CF.
⏜
(1)求证:C是
BD
的中点.
(2)若∠EAB=60°,OA=6,求图中阴影部分的面积.
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参考答案
回归教材·过基础
考点清单
nπr 1
① ② rl ③2πrh ④πr2 ⑤扇形 ⑥弧长
180 2
⑦半径
基础演练
8 16 4 8√2
1. π π 2.180° 8π
3 3 3 3
π
3.(1)3- (2)9
2
真题精粹·重变式
1.解析:(1)证明:∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形,∴∠B=∠D.
∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF,∴AC=AF.
(2)如图,连接AO,CO,
由(1)得∠AFC=∠ACF.
180°−30°
∴∠AFC= =75°,
2
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
150×π×3 5π
⏜
∴ 的长l= = .
AC
180 2
2.C 3.4π 4.π-1 5.B 6.C 7.4π
8.解析:(1)如图,连接OC,AC.
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∵CE垂直平分AO,
∴AC=OC.
又∵OA=OC,
∴△ACO是等边三角形,
∴∠AOC=60°.
又∵AB=8,
1
∴OA= AB=4,
2
60π×4 4π
⏜
∴ 的长度= = .
AC
180 3
(2)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠APB=90°,
∴∠FPB=180°-∠APB=90°.
∵FB2=FP·FA,
FB FP
∴ = .
FA FB
∵∠F=∠F,
∴△FBP∽△FAB,
∴∠FBA=∠FPB=90°,
∴FB⊥AB于点B,且OB是☉O的半径,
∴BF是☉O的切线.
9.解析:(1)证明:∵CF⊥AB,CE⊥AD,CE=CF,
∴∠DAC=∠BAC,∴ ⏜ = ⏜ ,
DC BC
∴C是 ⏜ 的中点.
BD
(2)如图,连接OD.
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∵∠EAB=60°,OD=OA=6,
∴△OAD是等边三角形,∴∠AOD=60°,
60π×62 √3
∴扇形OAD的面积= =6π,△OAD的面积= OA2=9√3,
360 4
∴阴影部分的面积=扇形OAD的面积-△OAD的面积=6π-9√3.
8
