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专题 07 平面向量
1．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(-2,4)，则|⃑a-⃑b|( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得⃑a-⃑b，然后求得|⃑a-⃑b|.
【详解】
因为⃑a-⃑b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)，所以|⃑a-⃑b|=√42+(-3) 2=5.
故选：D
2．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a-2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=
( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
2
解：∵|⃗a-2⃗b|2=|⃗a|2-4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|，
又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a-2⃗b|=3,
∴9=1-4⃗a⋅⃗b+4×3=13-4⃗a⋅⃗b，
∴⃗a⋅⃗b=1
故选：C.
3．【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记
⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=( )
A．3⃗m-2⃗n B．-2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，BD=2DA，所以⃑BD=2⃑DA，即⃑CD-⃑CB=2(⃑CA-⃑CD)，
所以⃑CB= 3⃑CD-2⃑CA=3⃑n-2⃑m =-2⃗m+3⃗n．
故选：B．
4．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则
t=( )
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
9+3t+16 3+t
解：⃗c=(3+t,4),cos⟨⃗a,⃗c⟩=cos⟨b,⃗c⟩,即 = ,解得t=5,
5|⃗c| |⃗c|
故选：C
5．【2022年北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则⃑PA⋅⃑PB的取值范围是( )
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设P(cosθ,sinθ)，表示出⃑PA，⃑PB，根据数量积的坐标表示、
辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，
因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，
所以⃑PA=(3-cosθ,-sinθ)，⃑PB=(-cosθ,4-sinθ)，
所以⃑PA⋅⃑PB=(-cosθ)×(3-cosθ)+(4-sinθ)×(-sinθ)
=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ
=1-3cosθ-4sinθ
3 4
=1-5sin(θ+φ)，其中sinφ= ，cosφ= ，
5 5
因为-1≤sin(θ+φ)≤1，所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6，即⃑PA⋅⃑PB∈[-4,6]；
故选：D
6．【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________．
3
【答案】- ##-0.75
4
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
3
由题意知：⃑a⋅⃑b=m+3(m+1)=0，解得m=-
.
4
3
故答案为：-
.
4
1
7．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则
3
(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
【答案】11
【解析】
【分析】
1
设⃑a与⃑b的夹角为θ，依题意可得cosθ= ，再根据数量积的定义求出⃑a⋅⃑b，最后根据数量
3
积的运算律计算可得．
【详解】
1 1
解：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为 ，即cosθ= ，
3 3
1
又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ=1×3× =1，
3
所以(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b| 2 =2×1+32=11．
故答案为：11．
8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A A ⋯A 的边A A 上，则
1 2 8 1 2
⃑PA2+⃑PA 2+⋯+⃑PA2
的取值范围是_______．
1 2 8
【答案】[12+2√2,16]
【解析】【分析】
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为
7 3 5 1
y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标
计算公式即可得到⃗PA2+⃗PA2+⋯+⃗PA2=8(x2+ y2 )+8，然后利用cos22.5∘≤|OP|≤1即
1 2 8
可解出．
【详解】
以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图
7 3 5 1
所示：
则
√2 √2 √2 √2 √2 √2
A (0,1),A ( , ),A (1,0),A ( ,- ),A (0,-1),A (- ,- ),A (-1,0)
1 2 2 2 3 4 2 2 5 6 2 2 7
√2 √2
A (- , )，设P(x,y),于是⃗PA2+⃗PA2+⋯+⃗PA2=8(x2+ y2 )+8，
8 2 2 1 2 8
1+cos45∘
因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以 ≤x2+ y2≤1，故⃗PA2+⃗PA2+⋯+⃗PA2 的取值范
2 1 2 8
围是[12+2√2,16].
故答案为：[12+2√2,16]．
1．(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在直角坐标系xOy中的三点 ，， ，若向量 与 在向量 方向上的投影相等，则m与n的关系为
( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.
【详解】
, , ,
向量 在向量 方向上的投影为 ，
向量 在向量 方向上的投影为 ，
由题意可得 ，即 .
故选：A.
2．(2022·山东潍坊·三模)已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ，
， ， ，则 ， ， 三点共线的充要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量共线的充要条件有 且 ，即可得答案.【详解】
由 ， ， 三点共线的充要条件是 且 ，
所以 ，故 .
故选：C
3．(2022·江苏苏州·模拟预测)在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，
且满足 ， 交 于F，设 ， ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平
面向量的加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
设 ， ，因为
所以有 ，
因此 ，
因为 ， ， ，所以 ，
故选：B
4．(2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模(文))若 ， ，下
列正确的是( )
A． B．
C． 方向上的投影是 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定
义判断C.
【详解】
由已知 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 不平行，A错，
因为 ，所以 不垂直，B错，
因为 方向上的投影为 ，C对，
因为 ，所以 不垂直，D错，
故选：C.
5．(2022·内蒙古赤峰·模拟预测(理))若向量 ， 满足 ， ， ，则 与
的夹角为( )A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律得到 ，再根据 计算可得；
【详解】
解：因为 ， ， ，所以 ，
即 ，所以 ，设 与 的夹角为 ，
则 ，因为 ，所以 ；
故选：B
6．(2022·北京·潞河中学三模)已知菱形 的边长为 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将 分别用 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解： ，
则 .
故选：A.7．(2022·湖北·华中师大一附中模拟预测)已知向量 ， ，若 与 反向共线，
则 的值为( )
A．0 B．48 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量反向共线求得 ，再应用向量线性运算及模长的表示求 .
【详解】
由题意 ，得 ，
又 与 反向共线，故 ，此时 ，
故 .
故选：C.
8．(2022·山东淄博·三模)如图在 中， ， 为 中点， ， ，
，则 ( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；
【详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
又 ， ， ，
则 ，
即 ，即 ，
则 ，
则 ， ，
则 ；
故选：C．
9．(2022·河北·石家庄二中模拟预测)数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意
的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出 ，知CD正
误.
【详解】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
， ， ，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
10．(2022·江苏·南京外国语学校模拟预测)已知 均为单位向量，且满足，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过向量的线性运算进行化简求值即可.
【详解】
，同理
．
故选：B.
11．(2022·辽宁沈阳·三模)已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点P是
椭圆上一点，若 的最小值为 ，则 的最大值为( )
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出 ，再根据椭圆的范围利用
二次函数求最值即可得解.
【详解】
设 ，由 可知 ， ，
， ，，
， 时， 的最小值为 ，解得 .
当 时， 的最大值为 .
故选：D
12．(2022·安徽师范大学附属中学模拟预测(理))非零向量 满足 ，则
与 的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出 ，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】
由 得： ，即 ，解得 ，
因此， ，而 ，解得 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：B
13．(2022·浙江省江山中学模拟预测)在 中，E，F分别为 的中点，点D是线段
(不含端点)内的任意一点， ，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定 的关系和范围.
【详解】
因为点D是线段 (不含端点)内的任意一点，
所以可设 ，
因为E，F分别为 的中点，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ， ， ，
所以A，B，D错误，C正确，
故选：C.
14．(2022·安徽·合肥一中模拟预测(文))已知向量 ， ，向量 与 垂直，
则实数 的值为( )
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得 化简即得解.
【详解】
因为 与 垂直，
所以 ，
所以 .
故选：C.15．(2022·海南华侨中学模拟预测)已知不共线的平面向量 两两所成的角相等，且
，则 ( )
A． B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，转化 ，列方程即可求出.
【详解】
由不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等，可设为θ，则 .设| |=m.
因为 ，所以 ，
即 ，
所以
即 ，解得： 或3.
所以| |=2或3
故选：D
16．(2022·贵州贵阳·模拟预测(理))已知 ， ， ，且 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】
由题意 ，又 ，则 ，故 ．故答案为： ．
17．(2022·河北·沧县中学模拟预测)已知向量 的夹角为 ， ， ，则
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 求解即可.
【详解】
，
则 ，
则 ．
故答案为：
18．(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测(文))已知向量 ，向量 ，且
，则向量 的夹角为___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】
由 两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量 的夹角
【详解】
因为 ，所以
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
向量 的夹角为 ,则
所以 ，则 .
故答案为： .
19．(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))已知在平行四边形 中，
，则 值为__________．
【答案】 ##2.25
【解析】
【分析】
由向量加法的几何意义及数量积运算律有 ，再由 结
合数量积运算律，即可得结果.
【详解】
由题设可得如下图： ，而 ，
所以 ，
又 ，所以 ，则 ，
故 ，可得 ，即 .
故答案为：
20．(2022·浙江·镇海中学模拟预测)设 为不共线的向量，满足
，且 ，若 ，则
的最大值为________．
【答案】324
【解析】
【分析】
采用建系法，令 ，将各个点用坐标表示，然后表达出 面积的最
大值，进而求得 的最大值；
【详解】
令 ，又因为 ，
即 ，
则点C为 的外心，因为 ，
设 ，不妨取
则点 在圆 上，
由 ，代入坐标， ，解得 ，
联立 和 ，
解得 ，故
，
当且仅当 即 时取“=”.
故 ，于是
.
故答案为：324
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意
义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
