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专题三 阅读与思考
阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象:
等边半正多边形
研究思路:
类比三角形、四边形,按“概念-性质-判定”的路径,由一般到特殊进行研究.
研究方法:
观察(测量、实验)-猜想-推理证明
研究内容:
【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数),若其各边都相等,且相间的角相等、
相邻的角不相等,我们称这个凸多边形为等边半正多边形.
如图1,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形,
类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形……
【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下:
概念理解:
如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么
AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B.
性质探索:
根据定义,探索等边半正六边形的性质,得到如下结论:
内角:等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°.
对角线:……
任务:
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容: .
(2)如图3,六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线AD,猜想∠BAD与∠FAD的数量关系,
并说明理由.
(3)如图4,△ACE是正三角形,☉O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF.(要
求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)1.阅读材料:
1
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α,∠FAD为β,若tan α= ,则
2
1
tanβ= .
3
图1
证明:设BE=k.
1
∵tan α= ,∴AB=2k.
2
易证△AEB∴ EFC(AAS),∴≌E△C=2k,CF=k,
DF k 1
∴FD=k,AD=3k,∴tan β= = = .
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°,则当tan α= 时,tan β= ,
2 3
1 1
同理,若α+β=45°,则当tan α= 时,tan β= .
3 2
根据上述材料,完成下列问题:m
如图2,直线y=3x-9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A
x
顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,
已知OA=5.
图2
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求tan∠BAM,tan∠NAE的值.
(3)求直线AE的解析式.
2.阅读与思考
数学是一个不断观察,不断归纳和不断思考的过程.下面是小明五一游玩后,写在日记中的一个
数学小片段.
图1为某游乐场摩天轮.五一休息之际,小明妈妈带着小明和小刚乘坐摩天轮,图2和图3是摩天
轮的平面示意图,小明乘坐A车厢,小刚乘坐B车厢,∠AOB=90°,妈妈站在摩天轮正下方C处(人
的身高忽略不计),OC⊥MN于点C.当摩天轮转动后到达图2的位置,妈妈发现,A,B两处车厢刚
好在同一视线上,此时仰角∠ACN=60°;当摩天轮转动到图3的位置时,妈妈看小明的视线CA
刚好与☉O相切于点A,且CA平分∠OCM.点M,N,O,A,B,C在同一平面内.图1 图2 图3
在图2中,小明发现OC=❑√2OB.
理由:如图,过点O作OH⊥AB于点H,
∴∠OHB=90°.
∵OA=OB,∠OHC=90°,∴AH=BH(依据1).
1
∵∠AOB=90°,∴OH= AB(依据2).
2
在Rt△OAB中,由勾股定理,得AB=❑√OA2+OB2=❑√2OB.
∵OC⊥MN于点C,∠NCA=60°,
∴∠OCA=∠NCO-∠NCA=30°.
OH
在Rt△OCH中,sin∠OCH= ,
OC
1
∴OH= OC,∴OC=AB,∴OC=❑√2OB.
2
(1)任务一:直接写出小明推理中的依据1和依据2.
(2)任务二:若摩天轮的半径为80 m,求图3中小明与妈妈之间的距离AC.参考答案
例 解析:(1)240.
(2)∠BAD=∠FAD.
理由:如图1,连接BD,FD.
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E,
∴△BCD∴ FED,∴≌B△D=FD.
在△ABD和△AFD 中,
{AB=AF,
)
BD=FD,
AD=AD,
∴△BAD∴ FAD,∴∠△∴∠BAD=∴F≌AD.
(3)答案不唯一,
作法一(如图2):
作法二(如图3):
如图,六边形ABCDEF即所求.
针对训练 1.解析:(1)设A(t,3t-9),∴OM=t,AM=3t-9.
∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,∴A(4,3)或(1.4,-4.8)(此时A在第四象限,不符合题意,舍去),
m m
把A(4,3)代入y= (x>0),得3= ,解得m=12,
x 4
12
∴反比例函数的解析式为y= (x>0).
x
(2)在y=3x-9中,令y=0,得0=3x-9,解得x=3,∴B(3,0),∴OB=3.
由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM-OB=4-3=1,
BM 1
∴tan∠BAM= = .
AM 3
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°.
∵∠BAE=45°,∴∠BAM+∠NAE=45°.
1 1 1
由若α+β=45°,当tan α= 时,则tan β= 可得tan∠NAE= .
3 2 2
1 NE 1
(3)由(2)知tan∠NAE= ,∴ = .
2 AN 2
NE 1
∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴ = ,∴NE=2,
4 2
∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1).
设直线AE的解析式为y=kx+b.
把A(4,3),E(0,1)代入,得{4k+b=3,)解得 { k= 1 ,)
2
b=1,
b=1,
1
∴直线AE的解析式为y= x+1.
2
针对训练 2.解析:(1)依据1:垂径定理.
依据2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)如图,连接AC.
∵AC与☉O相切于点A,∴∠OAC=90°.
∵OC⊥MN,∴∠OCM=90°.∵CA平分∠OCM,
∴∠OCA=ACM=45°,
∴∠AOC=45°,∴AC=OA=80 m,
∴小明与妈妈之间的距离AC是80 m.
