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类型一 与切线相关的证明与计算
(2024·龙岩模拟)如图,在锐角∠MON内部取一点A,过点A分别作AB⊥OM于点B,作
AC⊥ON于点C,以AB为直径作☉P,CA的延长线与☉P交于点D,连接BD.
(1)求证:∠MON+∠ABD=90°.
(2)若OB=BD,点D在OP的延长线上,求证:ON是☉P的切线.
PF
(3)当tan∠MON=1时,连接OA,若CP⊥OA于点F,求 的值.
CF
1.如图,AB是☉O的直径,P是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线
EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP.
(2)若∠CAB=30°,AB=4,F是弧AC的中点,求CP的长.2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,
且BF是☉O的切线.
(1)求证:∠BAC=2∠CBF.
2
(2)若☉O的半径为5,sin∠CBF= ,求CD的长.
5类型二 圆的综合探究
(2024·福建)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于
点D,AE⊥OC,垂足为E,BE的延长线交 ⏜ 于点F.
AD
OE
(1)求 的值.
AE
(2)求证:△AEB∽△BEC.
(3)求证:AD与EF互相平分.
3.(原创)已知△ABC内接于☉O,D是 ⏜ 的中点,连接AD,CD,BD,AD与BC交于点P.
BC
图1 图2
(1)如图1,若∠DBC=28°,∠ACB=74°,求∠APB和∠ABC的度数.
(2)如图2,当AB为☉O的直径时,过点D的切线与AB的延长线交于点E,若CD∥AB,求∠BDE的
度数.4.已知四边形ABCD内接于☉O,AC⊥BD,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,交BD于点G,连接AG.
图1 图2
(1)求证:CG=CD.
(2)如图1,若AG=4,BC=10,求☉O的半径.
1 1
(3)如图2,连接DF,交AC于点H,若∠ABD=30°,CH=6,试判断 + 是不是定值.若是,求出该
CD CF
定值;若不是,说明理由.
5.如图,AB是☉O的直径,C,D为☉O上不同于A,B的两点,并且点C,D位于直径AB的两
侧,CA=CD.
图1 图2
(1)如图1,连接BD,求证:∠ABD=2∠BDC.
(2)如图2,AB,CD交于点E,过点E作EF⊥DB于点F,延长FE交AC于点M,求证:CE=CM.
1
(3)在(2)的条件下,若tan∠CDB= ,EB=5,求线段CE的长.
26.【问题呈现】阿基米德折弦定理:阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212年,古希腊)是有
史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,AB和BC是☉O的两
条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是 ⏜ 的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D
ABC
是折弦ABC的中点,即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.
图2
∵M是 ⏜ 的中点,∴MA=MC.
ABC
又∵∠A=∠C,BA=GC,
∴△MAB∴ MCG,∴≌M△B=MG.
又∵MD⊥BC,∴BD=DG,
∴AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.
【理解运用】如图1,AB、BC是☉O的两条弦,AB=4,BC=6,M是 ⏜ 的中点,MD⊥BC于点D,则
ABC
BD的长为 .
图1
【针对训练探究】如图3,若点M是 ⏜ 的中点,【问题呈现】中的其他条件不变,判断CD、DB
AC
与BA之间存在怎样的数量关系,并加以证明.图3
【实践应用】如图4,BC是☉O的直径,A为圆上一定点,D为圆上一动点,且满足∠DAC=45°,若
AB=6,☉O的半径为5,则AD的长为 .
图4参考答案
例1 解析:(1)证明:∵AB是☉P的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.
∵CD⊥ON,
∴BD∥ON,
∴∠MON=∠MBD.
∵AB⊥OM,
∴∠ABD+∠MBD=90°,
∴∠MON+∠ABD=90°.
(2)证明:如图1,连接OD,则点P在OD上,过点P作PE⊥ON于点E.
∵OB=BD,
∴∠1=∠2,
∴∠MBD=∠1+∠2=2∠1.
由(1)可知∠MON=∠MBD=2∠1,
∴OP平分∠MON.
∵PE⊥ON,PB⊥OM,
∴PE=PB,
∴ON是☉P的切线.
(3)解法一:如图2,过点P作PH⊥AD于点H,过点B作BR⊥ON于点R,
则AH=DH,∠PHC=∠CRB=90°.设AH=x,AC=y.
由(1)得∠OCD=∠CDB=90°,
∠COB=∠BAD,
∴四边形CDBR是矩形.
∴BR=CD=
2x+y.
∵tan∠MON=1,
∴tan∠PAH=1,
∴PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.
∵CP⊥OA于点F,
∴∠CFO=∠PHC=90°,
∴∠3+∠5=90°.
∵AC⊥OC,
∴∠4+∠5=90°,
∴∠3=∠4,
∴△OCA∽△CHP,
AC OC y 4x+ y
∴ = ,即 = ,
PH CH x x+ y
∴y=2x,
∴OA= = =2 x,
❑√OC2+C A2 ❑√(6x)2+(2x)2 ❑√10
CP= = = x,
❑√CH2+PH2 ❑√(3x)2+x2 ❑√10
OC·CA 6x·2x 3❑√10
∴CF= = = x,
OA 2❑√10x 5
2❑√10 PF 2
∴PF= x,∴ = .
5 CF 3
解法二:∵∠ACO=∠AFC=90°,
AF AC
cos∠CAO= = ,∴AC2=AF·AO.
AC AO
∵∠ABO=∠AFP=90°,
AF AB
cos∠BAO= = ,∴AP·AB=AF·AO,
AP AO
∴AC2=AP·AB.∵AB=2AP,∴AC2=2AP2,∴AC=❑√2AP.
如图3,过点P作PH⊥AD于点H.
设PA=r,AC=❑√2r,
∵tan∠MON=1,∴∠MON=45°.
❑√2
由(1)可知∠BAD=45°,在Rt△APH中,AH=PH= r,
2
3
∴CH=AC+AH= ❑√2r,PC=❑√PH2+CH2=❑√5r.
2
∵△CAF∽△CPH,
CF
CF CA ❑√2r 3
∴ = ,∴3 = ,CF= ❑√5r,
CH CP ❑√2r ❑√5r 5
2
3 2
PF=CP-CF=❑√5r- ❑√5r= ❑√5r,
5 5
2
❑√5r
PF 5 2
∴ = = .
CF 3 3
❑√5r
5
针对训练 1.解析:
(1)证明:如图,连接OC.
∵DC切☉O于点C,∴半径OC⊥DC,∴∠DCP+∠ACO=90°.
∵PE⊥AB,
∴∠OAC+∠APE=90°.
∵∠DPC=∠APE,∴∠OAC+∠DPC=90°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DCP=∠DPC,∴CD=PD.(2)如图,连接OF,CF.
∵∠CAB=30°,∴∠BOC=2∠CAB=60°,
∴∠AOC=120°.
∵F是 ⏜ 的中点,∴∠FOC=∠FOA=60°.
AC
∵OF=OC,∴△OFC是等边三角形,∴FC=OC=2.
∵∠APE=90°-∠BAC=60°,∴∠DPC=∠APE=60°.
∵DP=DC,∴△DPC是等边三角形.
∵∠CFO=∠AOF=60°,∴CF∥BE.
∵BE⊥DE,∴CF⊥DP.
CF ❑√3 4❑√3
∵sin∠CPF= = ,FC=2,∴PC= .
PC 2 3
针对训练 2.解析:
(1)证明:如图,连接AE.
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.
1
∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC.
2
∵BF是☉O的切线,∴∠CBF+∠ABE=90°,
1
∴∠CBF=∠BAE= ∠BAC,∴∠BAC=2∠CBF.
2
(2)如图,连接BD.
2
∵AB=AC=2OB=10,sin∠CBF= ,
5
2
∴sin∠BAE= ,∴BE=4,∴BC=2BE=8.
5
设CD=x,则AD=10-x.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°,
16 16
∴82-x2=102-(10-x)2,解得x= ,∴CD= .
5 5
例2 解析:(1)∵AB=AC,且AB是☉O的直径,∴AC=2AO,
∵∠BAC=90°,
AC
在Rt△AOC 中,tan∠AOC= =2.
AO
∵AE⊥OC,
AE
在Rt△AOE 中,tan∠AOC= ,
OE
AE
∴ =2,
OE
OE 1
∴ = .
AE 2
(2)证明:如图1,过点B作 BM∥AE,交EO延长线于点M,
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.
∵AO=BO,
∴△AOE≌△BOM(AAS),
∴AE=BM,OE=OM.
OE 1
∵ = ,
AE 2
∴BM=2OE=EM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,
∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,
∠BEC=180°-∠MEB=135°,
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABM=∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE,
∴△AEB∽△BEC.(3)证明:如图2,连接DE,DF.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BC=2BD,∠DAB=45°.
由(2)知,△AEB∽△BEC,
AE AB 2AO AO
= = = ,∠EAO=∠EBD,
BE BC 2BD BD
∴△AOE∽△BDE,
∴∠BED=∠AEO=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠AFB=∠DEF,
∴AF∥DE,
由(2)知,∠AEB=135°,
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°,
∴∠DFB=∠AEF,
∴AE∥FD,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AD与EF互相平分.
针对训练 3.解析:(1)∵∠DBC=28°,∴∠CAD=28°,
∴∠APB=∠CAD+∠ACB=28°+74°=102°.
∵D是 ⏜ 的中点,∴ ⏜ = ⏜ ,
BC CD BD
∴∠DAB=∠CBD=28°.
在△ABP中,∠DAB=28°,∠APB=102°,
∴∠ABC=180°-∠DAB-∠APB=50°,∴∠APB=102°,∠ABC=50°.
(2)如图,连接OD.
∵CD∥AB,
∴∠DCB=∠ABC.
∵D是 ⏜ 的中点,
BC
∴ ⏜ = ⏜ ,∴∠DCB=∠DBC=∠DAB.
CD BD
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC=90°,∴∠DAO=30°.
∵DE为☉O的切线,∴OD⊥DE,
∴∠BDE+∠ODB=90°.
∵∠ADO+∠ODB=90°,∴∠BDE=∠ADO.
∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠BDE=∠DAO=30°.
针对训练 4.解析:(1)证明:如图1.
图1
∵AC⊥BD,CF⊥AB,
∴∠AEB=∠AFC=90°,
∴∠2+∠BAC=90°,∠1+∠BAC=90°,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3.
∵∠DEC=∠GEC=90°,
∴∠3+∠CDE=90°,∠2+∠CGE=90°,∴∠CDE=∠CGE,
∴CG=CD.
(2)如图2,连接CO并延长交☉O于点Q,连接BQ,
图2
由(1)知,CG=CD,∠2=∠3,
∴AC是DG的中垂线,
∴AG=AD.
∵AC⊥BD,
∴∠CED=90°,
∴∠CDE+∠ECD=90°.
∵CQ为☉O的直径,
∴∠CBQ=90°,
∴∠CQB+∠QCB=90°.
∵∠CQB=∠CDB,
∴∠QCB=∠3,
∴BQ=AD,
∴BQ=AD=AG=4.
在Rt△CQB中,根据勾股定理得CQ= =2 ,
❑√42+102 ❑√29
∴☉O的半径为❑√29.
1 1
(3) + 的值是定值.
CD CF
如图3,过点H作HM∥CD交CF于点M,
图3
∴∠CHM=∠3.由(1)知,∠2=∠3,
∴∠CHM=∠2,
∴CM=HM.
∵HM∥CD,
∴△FMH∽△FCD,
FM HM CM
∴ = = .
CF CD CD
FM CM CF
∵ + = =1,
CF CF CF
CM CM
∴ + =1,
CD CF
1 1 1
∴ + = ,
CD CF CM
1
过点M作MN⊥CH于点N,则CN= CH=3.
2
CN 3
在Rt△CMN中,cos∠2= = .
CM CM
∵∠ABD=30°,
∴∠1=∠2=∠3=30°,
3
∴CM= =2❑√3,
cos30°
1 1 ❑√3
∴ + = .
CD CF 6
针对训练 5.解析:(1)证明:如图1,连接OC,OD.
图1
在△OCA和△OCD中,
{OC=OC,
)
CA=CD,
OA=OD,
∴△OCA≌△OCD(SSS),
∴∠ACO=∠DCO.∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
∵∠A=∠CDB,
∴∠CDB=∠OCD,
∴OC∥DB,
∴∠ABD=∠BOC.
∵∠BOC=2∠BDC,
∴∠ABD=2∠BDC.
(2)证明:如图2,连接AD.
图2
∵MF⊥BD,
∴∠MFB=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠EFB=∠ADB,
∴MF∥AD,
∴∠CME=∠CAD,∠CEM=∠CDA.
∵CA=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∴∠CME=∠CEM,
∴CM=CE.
(3)如图3,连接AD,BC,CO,延长CO交AD于点H,
图3
由(1)知,∠ACO=∠DCO.∵CA=CD,
∴CH⊥AD,AH=DH.
∵∠CDB=∠CAO=∠ACH,
∴tan∠CDB=tan∠CAO=
1 4❑√5 8❑√5
tan∠ACH= ,设BC=2a,则AC=4a,AB=2❑√5a,AH= a,CH= a,
2 5 5
3❑√5
∴OH=CH-OC= a,
5
3❑√5
a
OH 5 3
∴tan∠OAH= = = .
AH 4❑√5 4
a
5
∵EF∥AD,
∴∠BEF=∠OAH,
3
∴tan∠BEF= .
4
∵EB=5,
∴BF=3,EF=4.
1 EF
∵tan∠EDF= = ,
2 DF
∴DF=8,DE=4❑√5,BD=11,
4 44 5 55
∴AD= ×11= ,AB= ×11= ,
3 3 3 3
40
∴AE=AB-EB= .
3
∵∠ECB=∠EAD,∠EBC=∠EDA,
∴△ECB∽△EAD,
EC EB
∴ = ,
EA ED
EC
5
∴ 40 = ,
4❑√5
3
10❑√5
∴CE= .
3
针对训练 6.解析:【理解运用】由题意可得CD=DB+BA,即CD=6-CD+AB,
∴CD=6-CD+4,∴CD=5,∴BD=BC-CD=6-5=1.
故答案为1.
【针对训练探究】DB=CD+BA.
证明:如图1,在DB上截取BG=BA,连接MA,MB,MC,MG.
图1
∵M是弧AC的中点,∴ ⏜ = ⏜ ,∴AM=MC,∠MBA=∠MBG.
AM MC
∵MB=MB,∴△MAB≌△MGB(SAS),∴MA=MG,∴MC=MG.
∵DM⊥BC,∴DC=DG,∴AB+DC=BG+DG,即DB=CD+BA.
【实践应用】
如图2,当点D 在BC下方时,过点D 作DG⊥AC于点G.
1 1 1 1 1
图2
∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°.
∵AB=6,☉O的半径为5,∴AC=8.
1
∵∠DAC=45°,∴CG +AB=AG,∴AG= (6+8)=7,∴AD=7❑√2.
1 1 1 1 1
2
当点D 在BC上方时,∠D AC=45°,同理易得AD =❑√2.
2 2 2
综上所述,AD的长为7❑√2或❑√2.
故答案为7❑√2或❑√2.
