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第 4 节 二次根式
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【知识体系】
【考点清单】
知识点 二次根式二次根式
相关概念{二次根式:形如① ❑(a≥0)的式子,其中 a叫作被开方数
最简二次根式:被开方数都不含分母,并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式
{
(1)双重非负性:❑√a≥0(a≥0)
{
(2)❑√ab=② ❑(a≥0,b≥0)
(3)(❑√a)2=③ ❑(a≥0)
性质 (4)❑√a2=|a|={④ ❑(a≥0),
⑤ ❑(a<0)
√a
(5)❑ =⑥ ❑(a≥0,b>0)
b
加减法:先把各个二次根式分别化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并
{ ❑√a
乘除法:❑√a·❑√b=⑦ ❑(a≥0,b≥0); =⑧ ❑(a≥0,b>0)
❑√b
1 1·❑√a ❑√a 1
{ = = ,如 =⑨ ❑
算法 ❑√a ❑√a·❑√a a ❑√5
1 ❑√a-b ❑√a-b 1
分母有理化 = = ,如 =⑩ ❑
❑√a+b (❑√a+b)·(❑√a-b) a−b2 ❑√5+1
1 (❑√a+b) ❑√a+b 1
= = ,如 =⑪ ❑
❑√a-b (❑√a-b)·(❑√a+b) a−b2 ❑√5-1
{(1)确定二次根式在哪两个连续整数之间,如2<❑√5<3
估算 (2)较小的整数即为❑√a的整数部分,如❑√5的整数部分为2
(3)❑√a的小数部分为❑√a与其整数部分的差,如❑√5的小数部分为❑√5-2
【基础演练】1.已知式子:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ .
❑√5 √ 3 -27 ❑√2x−1 ❑√x2+1 ❑√x2-1 ❑√x2+2x+2
(1)以上式子中,一定是二次根式的是 .(填序号)
(2)若式子❑√2x−1有意义,则x的取值范围是 .
(3)若 = ,则x的取值范围是 .
❑√x2-1 ❑√(x+1)❑√(x-1)
(4)若x=2,则 的整数部分是 .
❑√x2+2x+2
√1
(5)化简:√ 3 -27= ;❑ = .
5
2.计算:(❑√3+❑√2)2-❑√3×(❑√3-❑√2).
真题精粹·重变式
考向1 二次根式的概念和性质
热点训练
1.代数式❑√x−3在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3
2.下列根式是最简二次根式的是 ( )
√1
A.❑√8 B.❑√a2b C.❑ D.❑√a−2
2
3.化简:❑√8= .
考向2 二次根式估值
热点训练
4.已知m=❑√4+❑√3,以下对m的估算正确的是 ( )
A.2
