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第 4 节 二次根式
回归教材·过基础
【知识体系】
【考点清单】
知识点 二次根式二次根式
相关概念{二次根式:形如① ❑(a≥0)的式子,其中 a叫作被开方数
最简二次根式:被开方数都不含分母,并且被开方数不含能开得尽方的因数或因式
{
(1)双重非负性:❑√a≥0(a≥0)
{
(2)❑√ab=② ❑(a≥0,b≥0)
(3)(❑√a)2=③ ❑(a≥0)
性质 (4)❑√a2=|a|={④ ❑(a≥0),
⑤ ❑(a<0)
√a
(5)❑ =⑥ ❑(a≥0,b>0)
b
加减法:先把各个二次根式分别化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并
{ ❑√a
乘除法:❑√a·❑√b=⑦ ❑(a≥0,b≥0); =⑧ ❑(a≥0,b>0)
❑√b
1 1·❑√a ❑√a 1
{ = = ,如 =⑨ ❑
算法 ❑√a ❑√a·❑√a a ❑√5
1 ❑√a-b ❑√a-b 1
分母有理化 = = ,如 =⑩ ❑
❑√a+b (❑√a+b)·(❑√a-b) a−b2 ❑√5+1
1 (❑√a+b) ❑√a+b 1
= = ,如 =⑪ ❑
❑√a-b (❑√a-b)·(❑√a+b) a−b2 ❑√5-1
{(1)确定二次根式在哪两个连续整数之间,如2<❑√5<3
估算 (2)较小的整数即为❑√a的整数部分,如❑√5的整数部分为2
(3)❑√a的小数部分为❑√a与其整数部分的差,如❑√5的小数部分为❑√5-2
【基础演练】1.已知式子:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ .
❑√5 √ 3 -27 ❑√2x−1 ❑√x2+1 ❑√x2-1 ❑√x2+2x+2
(1)以上式子中,一定是二次根式的是 .(填序号)
(2)若式子❑√2x−1有意义,则x的取值范围是 .
(3)若 = ,则x的取值范围是 .
❑√x2-1 ❑√(x+1)❑√(x-1)
(4)若x=2,则 的整数部分是 .
❑√x2+2x+2
√1
(5)化简:√ 3 -27= ;❑ = .
5
2.计算:(❑√3+❑√2)2-❑√3×(❑√3-❑√2).
真题精粹·重变式
考向1 二次根式的概念和性质
热点训练
1.代数式❑√x−3在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3
2.下列根式是最简二次根式的是 ( )
√1
A.❑√8 B.❑√a2b C.❑ D.❑√a−2
2
3.化简:❑√8= .
考向2 二次根式估值
热点训练
4.已知m=❑√4+❑√3,以下对m的估算正确的是 ( )
A.2<m<3 B.3<m<4
C.4<m<5 D.5<m<6
变设问——求最接近的整数
5.❑√4+❑√5最接近的整数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
变条件——“+”变“×”
6.已知m=❑√4×❑√5,则m在整数 和 之间.
考向3 二次根式的运算7.(2021·福建)计算: +| -3|- 1 -1.
❑√12 ❑√3
3
热点训练
8.下列各式计算正确的是 ( )
A.❑√2+❑√3=❑√5 B.4❑√3-3❑√3=1
C.❑√2×❑√3=❑√6 D.❑√12÷2=❑√6
√1
9.计算❑√18×❑ 的结果为 .
2
10.计算:❑√2×❑√3-❑√24.
11.计算:(❑√5+3)(❑√5-3)-(❑√3-1)2.参考答案
回归教材·过基础
考点清单
❑√a
①❑√a ②❑√a·❑√b ③a ④a ⑤-a ⑥
❑√b
√a ❑√5 ❑√5-1 ❑√5+1
⑦❑√ab ⑧❑ ⑨
b 5 4 4
基础演练
1 ❑√5
1.(1)①④⑥ (2)x≥ (3)x≥1 (4)3 (5)-3
2 5
2.解析:原式=(❑√3)2+2❑√6+(❑√2)2-3+❑√6
=3+2❑√6+2-3+❑√6
=3❑√6+2.
真题精粹·重变式
1.A 2.D 3.2❑√2 4.B 5.B 6.4 5
7.解析:原式=2❑√3+3-❑√3-3=❑√3.
8.C 9.3
10.解析:原式=❑√6-2❑√6
=-❑√6.
11.解析:原式=5-9-(3-2❑√3+1)
=-4-4+2❑√3
=-8+2❑√3.
