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2014 年广西北海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分．在每小题给出的四个选项
中只有一个选项是符合要求的．）
1．（3分）（2014年广西北海）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（3分）（2014年广西北海）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014年广西北海）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，每人各射击20次
他们射击成绩的平均数都是9.1环，各自的方差见如下表格：
甲 乙 丙 丁
方差 0.293 0.375 0.362 0.398
由上可知射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）（2014年广西北海）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则
这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．（3分）（2014年广西北海）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）（2014年广西北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知
DE=5，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（3分）（2014年广西北海）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2014年广西北海）下列命题中，不正确的是（ ）
A．n边形的内角和等于（n﹣2）•180°
B．两组对边分别相等的四边形是矩形
C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9．（3分）（2014年广西北海）已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇
形的弧长是（ ）
A．5π B．6π C．8π D．10π
10．（3分）（2014年广西北海）北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均
速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来
火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． +1.8= B． ﹣1.8=
C． +1.5= D． ﹣1.5=
11．（3分）（2014年广西北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将
△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
12．（3分）（2014年广西北海）函数y=ax2+1与y= （a≠0）在同一平面直角坐标系
中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014年广西北海）已知∠A=43°，则∠A的补角等于 度．
14．（3分）（2014年广西北海）因式分解：x2y﹣2xy2= ．
15．（3分）（2014年广西北海）若一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，
则m的值为 ．
16．（3分）（2014年广西北海）某校男子足球队的年龄分布如图的条形统计图，则
这些足球队的年龄的中位数是 岁．
17．（3分）（2014年广西北海）下列式子按一定规律排列：， ， ， ，…，则第
2014个式子是 ．
18．（3分）（2014年广西北海）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象交Rt△OAB
的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，
AD：OD=1：2，则k的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤
或推理过程）
19．（6分）（2014年广西北海）计算：（ ）﹣1﹣|﹣2|+ ﹣（ +1）0．
20．（6分）（2014年广西北海）解方程组 ．
21．（8分）（2014年广西北海）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能
向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现在两辆汽车经过这个十字路口．
（1）请用“树形图”或“列表法”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求这两辆汽车都向左转的概率．
22．（8分）（2014年广西北海） 已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．
（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，
保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．
23．（8分）（2014年广西北海）如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图
中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，
cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）
24．（8分）（2014年广西北海）某经销商从市场得知如下信息：
A品牌手表 B品牌手表
进价（元/块） 700 100
售价（元/块） 900 160
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品
牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y元．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于 1.26万元，该经销商有哪几种进货
方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？25．（10分）（2014年广西北海）如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点
（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得
EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG=BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；
（3）当 = 时，求sin∠CFE的值．26．（12分）（2014年广西北海）如图（1），抛物线y=﹣ x2+x+c与x轴交于A、B
两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接
CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年广西北海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分．在每小题给出的四个选项
中只有一个选项是符合要求的．）
1．（3分）（2014年广西北海）计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣（2+3）=﹣5．
故选A
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）（2014年广西北海）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视
图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有1个正方形，下面一层有3个正方形．
故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（3分）（2014年广西北海）甲、乙、丙、丁四人参加射击训练，每人各射击20次
他们射击成绩的平均数都是9.1环，各自的方差见如下表格：
甲 乙 丙 丁
方差 0.293 0.375 0.362 0.398由上可知射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差．菁优网版权所有
【分析】根据方差的意义：方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定可得答案．
【解答】解：∵0.293＜0.362＜0.375＜0.398，
∴甲的射击成绩最稳定，
故选：A．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的
量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，
方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数
据越稳定．
4．（3分）（2014年广西北海）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则
这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【考点】圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离，则P＞R+r；外切，
则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
【解答】解：∵⊙O 与⊙O 的圆心距是5cm，它们的半径分别为1cm和4cm，
1 2
1+4=5，
∴两圆外切．
故选C．
【点评】本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和的性质求解．
5．（3分）（2014年广西北海）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（﹣2，1）在第二象限．
故选B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符
号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，
+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（3分）（2014年广西北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知
DE=5，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
BC=2DE．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×5=10．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记
定理是解题的关键．
7．（3分）（2014年广西北海）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】利用关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【解答】解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形．
故选；C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图
形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称
图形．
8．（3分）（2014年广西北海）下列命题中，不正确的是（ ）
A．n边形的内角和等于（n﹣2）•180°
B．两组对边分别相等的四边形是矩形
C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用多边形的内角和定理、矩形的判定、垂径定理及直角三角形的性质逐
一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、n边形的内角和等于（n﹣2）•180°，正确；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故错误；
C、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和定理、
矩形的判定、垂径定理及直角三角形的性质，难度不大．
9．（3分）（2014年广西北海）已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇
形的弧长是（ ）
A．5π B．6π C．8π D．10π【考点】弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】直接利用弧长公式l= 求出即可．
【解答】解：此扇形的弧长是： =10π．
故选：D．
【点评】此题主要考查了弧长计算，正确记忆弧长公式是解题关键．
10．（3分）（2014年广西北海）北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均
速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来
火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． +1.8= B． ﹣1.8=
C． +1.5= D． ﹣1.5=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【分析】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根
据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程
即可．
【解答】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为
1.8x，
由题意得， ﹣1.5= ．
故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
11．（3分）（2014年广西北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将
△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得
∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后
根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有
∠BAE=50°．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离
相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
12．（3分）（2014年广西北海）函数y=ax2+1与y= （a≠0）在同一平面直角坐标系
中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然
后选择答案即可．
【解答】解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），
y= 位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
y= 位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象
的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014年广西北海）已知∠A=43°，则∠A的补角等于 13 7 度．
【考点】余角和补角．菁优网版权所有
【分析】根据补角的和等于180°计算即可．
【解答】解：∵∠A=43°，
∴它的补角=180°﹣4°=137°．
故答案为：137．
【点评】本题考查了补角的知识，熟记互为补角的两个角的和等于180°是解题的
关键．
14．（3分）（2014年广西北海）因式分解：x2y﹣2xy2= x y （ x﹣2 y ） ．【考点】因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式xy，进而得出答案．
【解答】解：x2y﹣2xy2=xy（x﹣2y）．
故答案为：xy（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
15．（3分）（2014年广西北海）若一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，
则m的值为 9 ．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】满足△=b2﹣4ac=0，得到有关m的方程即可求出m的值．
【解答】9解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4m=0，
解得：m=9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
16．（3分）（2014年广西北海）某校男子足球队的年龄分布如图的条形统计图，则
这些足球队的年龄的中位数是 1 5 岁．
【考点】中位数；条形统计图．菁优网版权所有
【分析】根据年龄分布图和中位数的概念求解．【解答】解：根据图示可得，共有：8+10+4+2=24（人），
则第12名和第13名的平均年龄即为年龄的中位数，
即中位数为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
17．（3分）（2014年广西北海）下列式子按一定规律排列：， ， ， ，…，则第
2014个式子是 ．
【考点】单项式．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】根据已知式子得出各项变化规律，进而得出第n个式子是： ，求出即
可．
【解答】解：∵ ， ， ， ，…，
∴第n个式子是： ，
∴第2014个式子是： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
18．（3分）（2014年广西北海）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象交Rt△OAB
的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，
AD：OD=1：2，则k的值为 2 0 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质得出
S =S = k，S = k+5， = ，进而求出即可．
△ODE △OBC △AOB
【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等= ，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积=5+ ，
∵AD：OD=1：2，
∴OD：OA=2：3，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴ =（ ）2，
即 = ，
解得：k=20．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和
坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤
或推理过程）
19．（6分）（2014年广西北海）计算：（ ）﹣1﹣|﹣2|+ ﹣（ +1）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，
第三项利用平方根定义计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣4+2﹣1=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）（2014年广西北海）解方程组 ．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
①+②得：7x=14，解得：x=2，
把x=2代入①得6+y=3，
解得：y=﹣3，
则原方程组的解是 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
21．（8分）（2014年广西北海）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能
向左转或向右转，这三种可能性大小相同，现在两辆汽车经过这个十字路口．
（1）请用“树形图”或“列表法”列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求这两辆汽车都向左转的概率．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）利用树形图”或“列表法”即可求出两辆汽车行驶方向所有可能的
结果；
（2）根据（1）中的列表情况即可求出这两辆汽车都向左转的概率．
【解答】解：（1）两辆汽车所有9种可能的行驶方向如下：
甲汽车
乙汽车 左转 右转 直行
左转 （左转，左转） （右转，左转） （直行，左转）
右转 （左转，右转） （右转，右转） （直行，右转）
直行 （左转，直行） （右转，直行） （直行，直行）
（2）由上表知：两辆汽车都向左转的概率是： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法
适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）（2014年广西北海） 已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．
（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，
保留作图痕迹，不必写作法）
（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．
【考点】作图—复杂作图；切线的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交
点O，进而以AO为半径做圆即可；
（2）连接CO，再利用已知得出∠OCB=90°，进而求出即可．
【解答】解：（1）作图如图1：
（2）证明：如图2，
连接OC，∵OA=OC，∠A=25°
∴∠AOC=50°，
又∵∠C=40，
∴∠AOC+∠C=90°
∴∠OCB=90°
∴OC⊥BC
∴BC是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定利用线段垂直平分线的性质得
出圆心位置是解题关键．
23．（8分）（2014年广西北海）如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图
中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，
cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）
【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】通过解直角△BAE求得BD=AB•tan∠BAE，通过解直角△CED求得
CE=CD•cos∠BAE．然后把相关角度所对应的函数值和相关的线段长度代入进行
求值即可．
【解答】解：由已知有：∠BAE=22°，∠ABC=90°，∠CED=∠AEC=90°
∴∠BCE=158°，
∴∠DCE=22°，
又∵tan∠BAE= ，
∴BD=AB•tan∠BAE，
又∵cos∠BAE= ，
∴CE=CD•cos∠BAE=（BD﹣BC）•cos∠BAE
=（ AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE
=（10×0.4040﹣0.5）×0.9272
≈3.28（m）．
【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算BD的值是
解题的关键．
24．（8分）（2014年广西北海）某经销商从市场得知如下信息：
A品牌手表 B品牌手表
进价（元/块） 700 100
售价（元/块） 900 160
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品
牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y元．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于 1.26万元，该经销商有哪几种进货
方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据利润y=（A售价﹣A进价）x+（B售价﹣B进价）×（100﹣x）列式
整理即可；
（2）全部销售后利润不少于1.26万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的
x的正整数值即可；
（3）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最
大利润即可．
【解答】解：（1）y=（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）
=140x+6000，[700x+100（100﹣x）≤40000，x≤50 ；
（2）令y≥12600，
]
则140x+6000≥12600，
∴x≥47.1，又∵x≤50
∴经销商有以下三种进货方案：
方案 A品牌（块） B品牌（块）
① 48 52
② 49 51
③ 50 50
（3）∵140＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=50时y取得最大值，
又∵140×50+6000=13000，
∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得
出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数
的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
25．（10分）（2014年广西北海）如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点
（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得
EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG=BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；
（3）当 = 时，求sin∠CFE的值．
【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题．【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且
AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等，利用全等三角形的对应
边相等即可得证；
（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性质得到BE=CG，根据FG=BE，等量代
价得到FG=CG，即三角形FCG为等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得证；
（3）如图，作CH⊥EF于H，则△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根据BE与BC的
比值，设出BE，EC，以及EG，FG，利用勾股定理表示出EF，CF，进而表示出HC，
在直角三角形HC中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠CFE的值．
【解答】（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG=BE；
（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC﹣EC=EG﹣EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°= ∠DCG，
∴CF平分∠DCG；
（3）解：如图，作CH⊥EF于H，
∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，∴△EHC∽△EGF，
∴ = ，
根据 = ，设BE=3a，则EC=3a，EG=4a，FG=CG=3a，
∴EF=5a，CF=3 a，
∴ = ，HC= a，
∴sin∠CFE= = ．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握判定与性质是解本题的
关键．
26．（12分）（2014年广西北海）如图（1），抛物线y=﹣ x2+x+c与x轴交于A、B
两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接
CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的
值，则抛物线的解析式即可求解；
（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即
可求解；
②分四边形是 ▱ACGF和四边形是 ▱ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形
的性质即可求解．
【解答】解：（1）由已知有：﹣ （﹣2）2+（﹣2）+c=0，
∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣ x2+x+3，
（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（ ，0），由（1）知C（0，3），
连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴ = ，
∴ = ，
又∵y=﹣ x2+x+3，
∴x= （1± ），
又∵x＞0，
∴x= （1+ ），
∴y= （3+ ），则D点的坐标是：（ （1+ ， （3+ ））．
②假设存在满足条件的点G（a，b）．若构成的四边形是 ▱ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，
∴G点的坐标是：（4，3）；
若构成的四边形是 ▱ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，
又∵﹣ a2+a+3=﹣3，
∴a=2±2 ，
此时G点的坐标是：（2±2 ，﹣3）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性
质，平行四边形的性质，正确求得当CD与⊙M相切时D点的坐标是关键．
