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2015年广西来宾市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求）
1．（3分）（2015•广西）如图所示是由8个相同的小正方体组成的一个几何体，则这个几何体
的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2015•广西）来宾市辖区面积约为13400平方千米，这一数字用科学记数法表示为（
）
A．1.34×102 B．1.34×103 C．1.34×104 D．1.34×105
3．（3分）（2015•广西）已知数据：2，4，2，5，7．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2 B．2，4 C．2，5 D．4，4
4．（3分）（2015•广西）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到
点N，则点N的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）
5．（3分）（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则
∠C=（ ）
第1页（共19页）A．40° B．60° C．80° D．100°
6．（3分）（2015•广西）不等式组 的解集是（ ）
A．1＜x≤2 B．﹣1＜x≤2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤4
7．（3分）（2015•广西）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a2•a3=a6 C．a8÷a2=a4 D．a6÷a2=a4
8．（3分）（2015•广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， ，
9．（3分）（2015•广西）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别
交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
10．（3分）（2015•广西）已知实数x ，x 满足x +x =7，x x =12，则以x ，x 为根的一元二次方
1 2 1 2 1 2 1 2
程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
11．（3分）（2015•广西）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2015•广西）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图
如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲 2＞S乙 2；②S甲 2＜S乙 2；③甲的射击成绩比乙
稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
第2页（共19页）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
13．（3分）（2015•广西）﹣2015的相反数是 ．
14．（3分）（2015•广西）分解因式：x3﹣2x2y= ．
15．（3分）（2015•广西）分式方程 的根是 ．
16．（3分）（2015•广西）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
17．（3分）（2015•广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，
DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
18．（3分）（2015•广西）已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为 π，则这条弧所对的圆心角是
．
三、解答题：本大题共6小题，满分54分．
19．（12分）（2015•广西）（1）计算：﹣（﹣2）+（1+π）0﹣|﹣ |+ ；
（2）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x+3），其中x=﹣3．
第3页（共19页）20．（8分）（2015•广西）某校有学生2000名，为了了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四
项球类运动中最喜爱的一项球类运动情况，对学生开展了随机调查，丙将结果绘制成如下的
统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）某位同学被抽中的概率是 ；
（3）据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有 名；
（4）将条形统计图补充完整．
21．（8分）（2015•广西）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球
共需180元．
（1）求每个足球和每个篮球的售价；
（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？
第4页（共19页）22．（8分）（2015•广西）如图，在 ▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接
DE、BF，
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．
23．（8分）（2015•广西）过点（0，﹣2）的直线l ：y =kx+b（k≠0）与直线l ：y =x+1交于点P（2，
1 1 2 2
m）．
（1）写出使得y ＜y 的x的取值范围；
1 2
（2）求点P的坐标和直线l 的解析式．
1
24．（10分）（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点
D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
第5页（共19页）（3）如果AB=10，cos∠ABC= ，求AD．
25．（12分）（2015•广西）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点
B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．
（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大
值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线
段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
2015 年广西来宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求）
1．（3分）（2015•广西）如图所示是由8个相同的小正方体组成的一个几何体，则这个几何体
的主视图是（ ）
第6页（共19页）A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
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分析： 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
解答： 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层
在左边一个小正方形，
故选：A．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
2．（3分）（2015•广西）来宾市辖区面积约为13400平方千米，这一数字用科学记数法表示为（
）
A．1.34×102 B．1.34×103 C．1.34×104 D．1.34×105
考点： 科学记数法—表示较大的数．
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分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，
n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于13400有5位，所
以可以确定n=5﹣1=4．
解答： 解：13400=1.34×104，
故选C．
点评： 本题主要考查了科学计数法，掌握原数中整数部分的位数与10的指数的关
系是解决问题的关键
3．（3分）（2015•广西）已知数据：2，4，2，5，7．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．2，2 B．2，4 C．2，5 D．4，4
考点： 众数；中位数．
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分析： 根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或
从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
解答： 解：2出现了2次，故众数为2；
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，4，5，7，
故中位数为4，
故选B．
点评： 本题考查了众数和中位数的定义，此题比较简单，易于掌握，解题的关键是
牢记定义，并能熟练运用．
4．（3分）（2015•广西）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到
点N，则点N的坐标为（ ）
第7页（共19页）A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）
考点： 坐标与图形变化-平移．
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分析： 将点M（2，1）向下平移2个单位长度后，横坐标不变，纵坐标减去2即可得
到平移后点N的坐标．
解答： 解：将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（2，1﹣
2），即（2，﹣1）．
故选A．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移
加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（3分）（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则
∠C=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
考点： 三角形的外角性质．
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分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记
性质并准确识图是解题的关键．
6．（3分）（2015•广西）不等式组 的解集是（ ）
A．1＜x≤2 B．﹣1＜x≤2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x≤4
考点： 解一元一次不等式组．
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专题： 计算题．
分析： 分别解两个不等式得到x＞﹣1和x≤2，然后根据大小小大中间找确定不等
数组的解集．
解答：
解： ，
解①得x＞﹣1，
解②得x≤2，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选B．
第8页（共19页）点评： 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中
各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不
等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到．
7．（3分）（2015•广西）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a2•a3=a6 C．a8÷a2=a4 D．a6÷a2=a4
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数
相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答： 解：A、（a2）3=a6，故错误；
B、a2•a3=a5，故错误；
C、a8÷a2=a6，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要
记准法则才能做题．
8．（3分）（2015•广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， ，
考点： 勾股定理的逆定理．
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分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那
么这个三角形是直角三角形判定则可．
解答： 解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误；
C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误；
D、12+（ ）2=（ ）2，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析
所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的
平方之间的关系，进而作出判断．
9．（3分）（2015•广西）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别
交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
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分析： 首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分
线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
解答： 解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
第9页（共19页）∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线
的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等
角是解答此题的关键．
10．（3分）（2015•广西）已知实数x ，x 满足x +x =7，x x =12，则以x ，x 为根的一元二次方
1 2 1 2 1 2 1 2
程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0
考点： 根与系数的关系．
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分析： 根据以x ，x 为根的一元二次方程是x2﹣（x +x ）x+x ，x =0，列出方程进行
1 2 1 2 1 2
判断即可．
解答： 解：以x ，x 为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
1 2
故选：A．
点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x ，x 为根的一元二次
1 2
方程是x2﹣（x +x ）x+x ，x =0是具体点关键．
1 2 1 2
11．（3分）（2015•广西）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象．
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分析： 根据题意得出y是x的反比例函数，容易得出函数的图象．
解答： 解：根据题意得：xy=10，
∴y= ，
即y是x的反比例函数，图象是双曲线，
∵10＞0，x＞0，
∴函数图象是位于第一象限的曲线；
故选：C．
点评： 本题考查了矩形面积的计算、反比例函数的性质以及图象；熟练掌握反比例
函数的性质是解决问题的关键．
12．（3分）（2015•广西）在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图
如图所示，对于本次训练，有如下结论：①S甲 2＞S乙 2；②S甲 2＜S乙 2；③甲的射击成绩比乙
稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）
第10页（共19页）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
考点： 方差；折线统计图．
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分析： 从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
解答： 解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
\overline{x}甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，
\overline{x}乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，
甲的方差S甲 2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）
2 ÷10=0.85，
乙的方差S乙 2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）
2]
÷10=1.35
∴S2
甲
＜S2
乙
，
]
∴甲的射击成绩比乙稳定；
故选C．
点评： 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，
1 2 n
则方差S2= （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2 ，它反映了一组数据的波动
1 2 n
大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
]
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
13．（3分）（2015•广西）﹣2015的相反数是 201 5 ．
考点： 相反数．
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分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
解答： 解：﹣2015的相反数是2015，
故答案为：2015．
点评： 本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，掌
握相反数的定义是解答此题的关键．
14．（3分）（2015•广西）分解因式：x3﹣2x2y= x 2 （ x﹣2 y ） ．
考点： 因式分解-提公因式法．
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专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式即可得到结果．
解答： 解：原式=x2（x﹣2y），
故答案为：x2（x﹣2y）．
点评： 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的
第11页（共19页）关键．
15．（3分）（2015•广西）分式方程 的根是 x=﹣ 2 ．
考点： 解分式方程．
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专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即
可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x=2x+2，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解，
故答案为：x=﹣2．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方
程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．（3分）（2015•广西）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
考点： 多边形内角与外角．
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专题： 计算题．
分析： 根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
解答： 解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
17．（3分）（2015•广西）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，
DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 4 ．
考点： 角平分线的性质．
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分析： 首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据
DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方
法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×
高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
解答： 解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
（AAS）
第12页（共19页）∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S =BC×DF÷2
△BCD
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
点评： （1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求
法，要熟练掌握．
18．（3分）（2015•广西）已知一条圆弧所在圆半径为9，弧长为 π，则这条弧所对的圆心角是
50° ．
考点： 弧长的计算．
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分析：
把弧长公式l= 进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案．
解答：
解：∵l= ，
∴n= = =50°，
故答案为：50°．
点评： 本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关
键．
三、解答题：本大题共7小题，满分54分．
19．（12分）（2015•广西）（1）计算：﹣（﹣2）+（1+π）0﹣|﹣ |+ ；
（2）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（x+3），其中x=﹣3．
考点： 整式的混合运算—化简求值；实数的运算；零指数幂．
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分析： （1）原式第一项利用去括号法则变形，第二项利用零指数幂法则计算，第三
项利用绝对值的代数意义化简，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到
结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计
算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）原式=2+1﹣ +2 =3+ ；
（2）原式=x2﹣4﹣x2﹣3x=﹣4﹣3x，
当x=﹣3时，原式=﹣4+9=5．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
20．（8分）（2015•广西）某校有学生2000名，为了了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四
项球类运动中最喜爱的一项球类运动情况，对学生开展了随机调查，丙将结果绘制成如下的
统计图．
第13页（共19页）请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 40 0 ；
（2）某位同学被抽中的概率是 ；
（3）据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有 80 0 名；
（4）将条形统计图补充完整．
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．
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分析： （1）用篮球的人数除以篮球的百分比，即可解答；
（2）根据概率公式即可解答；
（3）根据样本估计总体，即可解答；
（4）计算出乒乓球的人数，即可解答．
解答： 解：（1）160÷40%=400（人），
即本次调查的样本容量是400．
故答案为：400．
（2）400÷2000= ．
故答案为： ．
（3）2000×40%=800（人）．
故答案为：800．
（4）乒乓球的人数：400×30%=120（人）．
如图所示：
点评： 本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题
关键．
21．（8分）（2015•广西）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球
共需180元．
（1）求每个足球和每个篮球的售价；
（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
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第14页（共19页）分析： （1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据买1个篮球和2个足球共需180
元，购买1个篮球和1个足球共需130元，列出方程组，求解即可；
（2）设买m个篮球，则购买（54﹣m）个足球，根据总价钱不超过4000元，列
不等式求出x的最大整数解即可．
解答： 解：（1）设每个篮球x元，每个足球y元，
由题意得， ，
解得： ，
答：每个篮球80元，每个足球50元；
（2）设买m个篮球，则购买（54﹣m）个足球，
由题意得，80m+50（54﹣m）≤4000，
解得：m≤10，
∵m为整数，
∴m最大取10，
答：最多可以买10个篮球．
点评： 本题考查了二元一次方程组的一元一次不等式的应用，解答本题的关键是
读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
22．（8分）（2015•广西）如图，在 ▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接
DE、BF，
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）求证：DE∥BF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
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分析： （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，证出内错
角相等∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，由SSS证明△ABC≌△CDA；由SAS
证明△ABF≌△CDE；由SAS证明△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由△ABF≌△△CDE，得出对应角相等∠AFB=∠CED，即可证出DE∥BF．．
解答： （1）解：△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠BAF=∠DCE，∠DAE=∠BCF，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CDE中，
，
第15页（共19页）∴△ABF≌△CDE（SAS）；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：∵△ABF≌△△CDE，
∴∠AFB=∠CED，
∴DE∥BF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四
边形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
23．（8分）（2015•广西）过点（0，﹣2）的直线l ：y =kx+b（k≠0）与直线l ：y =x+1交于点P（2，
1 1 2 2
m）．
（1）写出使得y ＜y 的x的取值范围；
1 2
（2）求点P的坐标和直线l 的解析式．
1
考点： 两条直线相交或平行问题．
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专题： 计算题．
分析： （1）观察函数图象得到当x＜2时，直线l 在直线l 的下方，则y ＜y ；
1 2 1 2
（2）先P（2，m）代入y =x+1可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求
2
直线l 的解析式．
1
解答： 解：（1）当x＜2时，y ＜y ；
1 2
（2）把P（2，m）代入y =x+1得m=2+1=3，则P（2，3），
2
把P（2，3）和（0，﹣2）分别代入y =kx+b得 ，解得 ，
1
所以直线l 的解析式为：y = x﹣2．
1 1
点评： 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直
线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是
平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
24．（10分）（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点
D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
第16页（共19页）（3）如果AB=10，cos∠ABC= ，求AD．
考点： 圆的综合题．
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分析： （1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由
OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，
即BD平分∠ABC；
（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到
∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由
（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根
据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；
（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC= = = ，求出BC=6，根据勾
股定理得到AC= =8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，
∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出
AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出
AD= =2 ．
解答： （1）证明：∵OD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∴∠CBD=∠OBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB=90°，
∴∠CFB+∠CBF=90°．
∵PF=PB，
∴∠PBF=∠CFB，
由（1）知∠OBD=∠CBF，
∴∠PBF+∠OBD=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB是⊙O的切线；
（3）解：连结AD．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，
∴cos∠ABC= = = ，
∴BC=6，AC= =8．
∵OD∥BC，
第17页（共19页）∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，
∴ = = ， = = ，
∴AE=4，OE=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
∴AD= = =2 ．
点评： 本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角
定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定
义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本
题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共
点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方
法，需熟练掌握．
25．（12分）（2015•广西）在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点
B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．
（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大
值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线
段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．
考点： 相似形综合题；二次函数的最值；矩形的性质．
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专题： 综合题．
分析： （1）由四边形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证
∠BAM=∠CMN即可；
（2）根据相似三角形的性质，由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析
式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；
（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条
件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得
y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结
论，就可解决问题．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°．
第18页（共19页）∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△CMN∽△BAM；
（2）∵△CMN∽△BAM，
∴ = ．
∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，
∴ = ，
∴y= （bx﹣x2）=﹣ （x2﹣bx）
=﹣ [（x﹣ ）2﹣
]
=﹣ （x﹣ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ．
（3）由题可知：
当0＜x＜b时，y的最大值为a，即 =a，
解得：b=2a．
∴要同时满足两个条件，b的值为2a．
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值
性，运用配方法是解决第（2）小题的关键．需要说明的是，对于第（3）小题，要
满足条件①，只需 ≤a即可，但 ＜a时，不满足条件②，故要同时满足条
件①和②，只有 =a时才成立．
第19页（共19页）
