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2015 年广西省南宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、
（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上
将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）（2015•南宁）3的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）（2015•南宁）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的
主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•南宁）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计
2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全
长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（ ）
A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102
4．（3分）（2015•南宁）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员
年龄的众数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（3分）（2015•南宁）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直
线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（ ）
第1页（共32页）A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（3分）（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（ ）
A B． C． D
． ．
7．（3分）（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数
为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
8．（3分）（2015•南宁）下列运算正确的是（ ）
A．4ab÷2a=2ab B．（3x2）3=9x6 C．a3•a4=a7 D．
9．（3分）（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个
外角等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
10．（3分）（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
是直线x=﹣1，下列结论中：
①ab＞0，②a+b+c＞0，③当﹣2＜x＜0时，y＜0．
正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第2页（共32页）11．（3分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，
∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN
周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（3分）（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表
示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的
解为（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C．1+ 或1﹣ D．1+ 或﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•南宁）分解因式：ax+ay= ．
14．（3分）（2015•南宁）要使分式 有意义，则字母x的取值范围是
．
15．（3分）（2015•南宁）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别
标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是
．
16．（3分）（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED
的度数是 ．
第3页（共32页）17．（3分）（2015•南宁）如图，点A在双曲线y= （x＞0）上，点B在双曲线y=
（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且
∠AOC=60°，则k= ．
18．（3分）（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，
第一次点A向左移动3个单位长度到达点A ，第二次将点A 向右移动6个单位
1 1
长度到达点A ，第三次将点A 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动
2 2
规律移动下去，第n次移动到点A ，如果点A 与原点的距离不小于20，那么n的
n n
最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19．（6分）（2015•南宁）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+ ．
20．（6分）（2015•南宁）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1，其中x= ．
第4页（共32页）四、解答题
21．（8分）（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐
标分别为
A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A BC ，请在图中画出△A BC ，
2 2 2 2
并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
22．（8分）（2015•南宁）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，
为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进
行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图
表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值．
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中
随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰
好选到一男一女的概率．
分组 分数段（分） 频数
第5页（共32页）A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
23．（8分）（2015•南宁）如图，在 ▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且
AE=CF，
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．
第6页（共32页）24．（10分）（2015•南宁）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽
为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成
同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y（元）、y（元）与修建面积x（m2）之
1 2
间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通
道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的
总造价最低，最低总造价为多少元？
25．（10分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且
AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD
于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若 ，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD= ，求AD的长．
第7页（共32页）26．（10分）（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax（2 a＞0）
上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的
解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍
为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，
请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB
交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
2015 年广西省南宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、
（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上
将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）（2015•南宁）3的绝对值是（ ）
第8页（共32页）A．3 B．﹣3 C． D．
考点： 绝对值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 直接根据绝对值的意义求解．
解答： 解：|3|=3．
故选A．
点评： 本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．
2．（3分）（2015•南宁）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的
主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 从正面看几何体得到主视图即可．
解答： 解：根据题意 的主视图为： ，
故选B
点评： 此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）（2015•南宁）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计
2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全
长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（ ）
第9页（共32页）A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将11300用科学记数法表示为：1.13×104．
故选B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2015•南宁）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员
年龄的众数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
考点： 众数；条形统计图．菁优网版权所有
分析： 根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．
解答： 解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，
故众数为14岁，
故选C．
点评： 考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统
计图及了解众数的定义，难度较小．
5．（3分）（2015•南宁）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直
线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（ ）
第10页（共32页）A．30° B．45° C．60° D．90°
考点： 平行线的性质．菁优网版权所有
分析： 由直角三角板的特点可得：∠C=30°，然后根据两直线平行内错角相等，即
可求∠CAE的度数．
解答： 解：∵∠C=30°，BC∥DE，
∴∠CAE=∠C=30°．
故选A．
点评： 此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
6．（3分）（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（ ）
A B． C． D
． ．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
分析： 先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含
2，于是可判断D选项正确．
解答： 解：2x＜4，
解得x＜2，
用数轴表示为：
．
故选D．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要
注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时
要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向
右”．
7．（3分）（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数
为（ ）
第11页（共32页）A．35° B．40° C．45° D．50°
考点： 等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出
∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，
故选：A．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答
此题的关键．
8．（3分）（2015•南宁）下列运算正确的是（ ）
A．4ab÷2a=2ab B．（3x2）3=9x6 C．a3•a4=a7 D．
考点： 整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法．
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专题： 计算题．
分析： A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
解答： 解：A、原式=2b，错误；
B、原式=27x6，错误；
C、原式=a7，正确；
D、原式= ，错误，
第12页（共32页）故选C
点评： 此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二
次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个
外角等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
考点： 多边形内角与外角．菁优网版权所有
分析： 首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，
再再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解答： 解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选B．
点评： 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定
理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
10．（3分）（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
是直线x=﹣1，下列结论中：
①ab＞0，②a+b+c＞0，③当﹣2＜x＜0时，y＜0．
正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点： 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
第13页（共32页）分析： ①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到
ab＞0；故①错误；
②由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故②正确；
③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定
答案即可．
解答： 解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0
∴ab＞0；故①正确；
②∵观察图象知；当x=1时y=a+b+c＞0，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴交于（0，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故③正确；
故选D．
点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求
2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．（3分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，
∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN
周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点： 轴对称-最短路线问题；圆周角定理．菁优网版权所有
第14页（共32页）分析： 作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最
短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的
中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三
角形，由此可得出结论．
解答： 解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．
∵N关于AB的对称点N′，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，
∵N是弧MB的中点，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形，
∴MN′=OM=4，
∴△PMN周长的最小值为4+1=5．
故选B．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要
考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某
直线的对称点．
12．（3分）（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表
示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的
解为（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C．1+ 或1﹣ D．1+ 或﹣1
考点： 解分式方程．菁优网版权所有
专题： 新定义．
第15页（共32页）分析： 根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即
可．
解答： 解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x= ，
去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；
当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x= ，即x2﹣2x=1，
解得：x=1+ 或x=1﹣ （舍去），
经检验x=﹣1与x=1+ 都为分式方程的解．
故选D．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•南宁）分解因式：ax+ay= a （ x+ y ） ．
考点： 因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
专题： 因式分解．
分析： 观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
解答： 解：ax+ay=a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
点评： 此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
14．（3分）（2015•南宁）要使分式 有意义，则字母x的取值范围是 x≠ 1 ．
考点： 分式有意义的条件．菁优网版权所有
分析： 分式有意义，分母不等于零．
解答： 解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式 有意义．
故答案是：x≠1．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
第16页（共32页）（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
15．（3分）（2015•南宁）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别
标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是
．
考点： 概率公式．菁优网版权所有
分析： 首先判断出1，2，3，4，5中的奇数有哪些；然后根据概率公式，用奇数的数
量除以5，求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可．
解答： 解：∵1，2，3，4，5中的奇数有3个：1、3、5，
∴取出的小球标号是奇数的概率是：3÷5= ．
故答案为： ．
点评： 此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．（3分）（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED
的度数是 45 ° ．
考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析： 根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三
角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可
第17页（共32页）得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的
和差，可得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
点评： 本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求
出答案．
17．（3分）（2015•南宁）如图，点A在双曲线y= （x＞0）上，点B在双曲线y=
（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且
∠AOC=60°，则k= ．
考点： 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： 首先根据点A在双曲线y= （x＞0）上，设A点坐标为（a， ），再利
用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，
即可求出k的值．
第18页（共32页）解答： 解：因为点A在双曲线y= （x＞0）上，设A点坐标为（a， ），
因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，
所以OA=2a，
可得B点坐标为（3a， ），
可得：k= ，
故答案为：
点评： 此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B
点坐标，即可算出反比例函数解析式．
18．（3分）（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，
第一次点A向左移动3个单位长度到达点A ，第二次将点A 向右移动6个单位
1 1
长度到达点A ，第三次将点A 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动
2 2
规律移动下去，第n次移动到点A ，如果点A 与原点的距离不小于20，那么n的
n n
最小值是 1 3 ．
考点： 规律型：图形的变化类；数轴．菁优网版权所有
分析： 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数
的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A 表示的数为﹣17
13
﹣3=﹣20，A 表示的数为16+3=19，则可判断点A 与原点的距离不小于20时，n
12 n
的最小值是13．
解答： 解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A ，则A 表示的数，1﹣3=﹣
1 1
2；
第2次从点A 向右移动6个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣2+6=4；
1 2 2
第3次从点A 向左移动9个单位长度至点A ，则A 表示的数为4﹣9=﹣5；
2 3 3
第4次从点A 向右移动12个单位长度至点A ，则A 表示的数为﹣5+12=7；
3 4 4
第19页（共32页）第5次从点A 向左移动15个单位长度至点A ，则A 表示的数为7﹣15=﹣8；
4 5 5
…；
则A 表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A 表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A 表示的数为﹣14
7 9 11
﹣3=﹣17，A 表示的数为﹣17﹣3=﹣20，
13
A 表示的数为7+3=10，A 表示的数为10+3=13，A 表示的数为13+3=16，A 表
6 8 10 12
示的数为16+3=19，
所以点A 与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
n
故答案为：13．
点评： 本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是
解决本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）
19．（6分）（2015•南宁）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+ ．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项
利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果
解答： 解：原式=1+1﹣2×1+2
=2．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）（2015•南宁）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1，其中x= ．
考点： 整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先利用乘法公式展开，再合并得到原式=2x，然后把x= 代入计算即可．
解答： 解：原式=1﹣x2+x2+2x﹣1
=2x，
第20页（共32页）当x= 时，原式=2× =1．
点评： 本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把
对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘
除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
四、解答题
21．（8分）（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐
标分别为
A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A BC ，请在图中画出△A BC ，
2 2 2 2
并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
考点： 作图-旋转变换；作图-轴对称变换．菁优网版权所有
专题： 作图题．
分析： （1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A B C 即可；
1 1 1
（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A BC ，线段BC旋转
2 2
过程中扫过的面积为扇形BCC 的面积，求出即可．
2
解答： 解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A BC ，
2 2
第21页（共32页）线段BC旋转过程中所扫过得面积S= = ．
点评： 此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图
形是解本题的关键．
22．（8分）（2015•南宁）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，
为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进
行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图
表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值．
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中
随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰
好选到一男一女的概率．
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
第22页（共32页）考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．菁优网
分析： （1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
解答： 解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；
m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51﹣56分数段；
（3）如图所示：
将男生分别标记为A ，A ，女生标记为B
1 2 1
A A B
1 2 1
A （A ，A ） （A ，B ）
1 1 2 1 1
A （A ，A ） （A ，B ）
2 2 1 2 1
B （B ，A ） （B ，A ）
1 1 1 1 2
P（一男一女）= = ．
点评： 此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列
表法得出所有情况是解题关键．
23．（8分）（2015•南宁）如图，在 ▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且
AE=CF，
第23页（共32页）（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权
所有
专题： 证明题．
分析： （1）由在 ▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．
（2）由在 ▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF
是矩形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
第24页（共32页）点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判
定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是
平行四边形是关键．
24．（10分）（2015•南宁）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽
为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成
同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y（元）、y（元）与修建面积x（m2）之
1 2
间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通
道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的
总造价最低，最低总造价为多少元？
考点： 一次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
分析： （1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子
即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写
出自变量的取值范围即可．
解答： 解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）= ×60×40，
第25页（共32页）解以上式子可得：a =5，a =45（舍去），
1 2
答：所以通道的宽为5米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，
由已知得y =40x，
1
y = ，
2
则y=y +y = ；
1 2
x =（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；
花圃
x =60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，
通道
当2≤a≤10，800≤x ≤2016，384≤x ≤1600，
花圃 通道
∴384≤x≤2016，
所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，
当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，
解得a =2，a =48（舍去），
1 2
所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．
点评： 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表
示出花圃的长和宽．
25．（10分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且
AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD
于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若 ，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD= ，求AD的长．
第26页（共32页）考点： 圆的综合题．菁优网版权所有
分析： （1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同
圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到
∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到 ， ，
根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3 ，BE=6，在
R△DAH中，AD= = = ．
t
解答： （1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
第27页（共32页）∴ ，
∴ ，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC= OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD= EBD=30°，
∵CD= ，
∴BD=3，DE=3 ，BE=6，
∴AE= BE=2，
∴AH=1，
∴EH= ，
∴DH=2 ，
在R△DAH中，AD= = = ．
t
第28页（共32页）点评： 本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判
定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax（2 a＞0）
上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的
解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍
为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，
请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB
交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
第29页（共32页）分析： （1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于
∠AOB=90°，得到OE= AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入
y=ax2得：a=1得到抛物线的解析式y=x2，A、B两点的横坐标的乘积为x •x =﹣1
A B
（2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°，证出
△AMO∽△BON，得到OM•ON=AM•BN，设A（x ，y ），B（x ，y ），由于A（x ，
A A B B A
y ），B（x ，y ）在y=x2图象上，得到y = ，y = ，即可得到结论；
A B B A B
（3）设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再联
立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b，所以
b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，
由勾股定理求出点P的坐标．
解答： 解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE= AB=1，
∴A（﹣1，1）、B（1，1），
把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式y=x2，
A、B两点的横坐标的乘积为x •x =﹣1
A B
（2）x •x =﹣1为常数，
A B
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴ ，
∴OM•ON=AM•BN，
第30页（共32页）设A（x ，y ），B（x ，y ），
A A B B
∵A（x ，y ），B（x ，y ）在y=x2图象上，
A A B B
∴，y = ，y = ，
A B
∴﹣x •x y y = ，
A B= A• B •
∴x •x =﹣1为常数；
A B
（3）设A（m，m2），B（n，n2），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴ ，即 ，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立 ，得：x2﹣kx﹣b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣
3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=﹣ ，
当a=﹣ 时，﹣2a﹣2= ，
∴P（﹣ ， ）．
第31页（共32页）点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，
勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第
（3）问中，注意根与系数关系的应用．
第32页（共32页）
