文档内容
2015 年广西河池市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为A,B,C,D的四个
结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷将选定的答案代号涂黑。
1．（3分）（2015•河池）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
﹣
2．（3分）（2015•河池）如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
3．（3分）（2015•河池）下列计算，正确的是（ ）
A．x3•x4=x12 B．（x3）3=x6 C．（3x）2=9x2 D．2x2÷x=x
4．（3分）（2015•河池）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
5．（3分）（2015•河池）下列事件是必然事件的为（ ）
A．明天太阳从西方升起
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播放“河池新闻”
D．任意﹣个三角形，它的内角和等于180°
6．（3分）（2015•河池）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1＜x≤3
7．（3分）（2015•河池）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0
8．（3分）（2015•河池）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的
解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3
第1页（共26页）9．（3分）（2015•河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大
小是（ ）
A．60° B．48° C．30° D．24°
10．（3分）（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽
略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2
11．（3分）（2015•河池）反比例函数y = （x＞0）的图象与一次函数y =﹣x+b的图象交于A，
1 2
B两点，其中A（1，2），当y ＞y 时，x的取值范围是（ ）
2 1
A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2
12．（3分）（2015•河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．
如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相
切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）请把答案填在答题卷指定的位置上。
第2页（共26页）13．（3分）（2015•河池）计算： = ．
14．（3分）（2015•河池）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=
．
15．（3分）（2015•河池）方程 = 的解是 ．
16．（3分）（2015•河池）某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每个学生
必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A
课程的学生有 人．
17．（3分）（2015•河池）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，
5）的对应点A′的坐标是 ．
18．（3分）（2015•河池）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，
交AD的延长线于N，则 + = ．
第3页（共26页）三、解答题（本大题共8小题，满分66分）请在答题卷指定的位置上写出解答过程。
19．（6分）（2015•河池）计算：|﹣2|+ +2﹣1﹣cos60°．
20．（6分）（2015•河池）先化简，再求值：（3﹣x）（3+x）+（x+1）2，其中x=2．
21．（8分）（2015•河池）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD．
（1）作∠A的平分线交CD于E；
（2）过B作CD的垂线，垂足为F；
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．
22．（8分）（2015•河池）联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场
用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
第4页（共26页）23．（8分）（2015•河池）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10
名学生进行汉字听写测试．计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及
格，得到9分为优秀，成绩如表1所示，并制作了成绩分析表（表2）．
表1
一班 5 8 8 9 8 10 10 8 5 5
二班 10 6 6 9 10 4 5 7 10 8
表2
班级 平均数 中位数 众数 方差 及格率 优秀率
一班 7.6 8 a 3.82 70% 30%
二班 b 7.5 10 4.94 80% 40%
（1）在表2中，a= ，b= ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率均高于一班，所以二班比一班好；但也有人认为一班成绩比
二班好，请你给出坚持一班成绩好的两条理由；
（3）一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女，现从这两班获满分的同学中
各抽1名同学参加“汉字听写大赛”，用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的
概率．
24．（8分）（2015•河池）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．
若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．
（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；
（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过
绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？
25．（10分）（2015•河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，
延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
第5页（共26页）（2）若AF=8，tan∠BDF= ，求EF的长．
26．（12分）（2015•河池）如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物
线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为
S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接
CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落
在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2015 年广西河池市中考数学试卷
参考答案与试题解析
第6页（共26页）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为A,B,C,D的四个
结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷将选定的答案代号涂黑。
1．（3分）（2015•河池）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
﹣
考点：绝对值．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据绝对值的定义直接解答即可．
解答：解：∵﹣3的绝对值表示﹣3到原点的距离，
∴|﹣3|=3，
故选D．
点评：本题考查了绝对值的定义，知道绝对值表示某点到原点的距离是解题的关键．
2．（3分）（2015•河池）如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
考点：平行线的性质；垂线．
菁优网版权所有
分析：先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出
∠ABC的大小．
解答：解：∵CB⊥DB，
∴∠CBD=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠D=65°，
∴∠C=25°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠C=25°．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内
错角相等；两直线平行同旁内角互补．
第7页（共26页）3．（3分）（2015•河池）下列计算，正确的是（ ）
A．x3•x4=x12 B．（x3）3=x6 C．（3x）2=9x2 D．2x2÷x=x
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；整式的除法．
菁优网版权所有
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，整式的除法的法则，
对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、x3•x4=x7，故错误；
B、（x3）3=x9，故错误；
C、正确；
D、2x2÷x=2x，故错误；
故选：C．
点评：本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解
题的关键．
4．（3分）（2015•河池）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
考点：由三视图判断几何体．
菁优网版权所有
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选B．
点评：本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，
同时也体现了对空间想象能力．
5．（3分）（2015•河池）下列事件是必然事件的为（ ）
A．明天太阳从西方升起
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．打开电视机，正在播放“河池新闻”
D．任意﹣个三角形，它的内角和等于180°
第8页（共26页）考点：随机事件．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：必然事件即为一定发生的事件，其概率为1，判断即可得到结果．
解答：解：A、明天太阳从西边升起，是一个不可能事件，不合题意；
B、掷一枚硬币，正面朝上，是一个随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播放“河池新闻”，是一个随机事件，不合题意；
D、任意一个三角形，它的内角和等于180°，是一个必然事件，符合题意，
故选D
点评：此题考查了随机事件，解题的关键是理解必然事件与随机事件的概念．
6．（3分）（2015•河池）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．﹣1＜x≤3
考点：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解： ，
∵由①得，x≤2；
由②得，x＞﹣1，
∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
故选C．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）（2015•河池）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0
考点：根的判别式．
菁优网版权所有
分析：由方程有两个相等的实数根，得到△=0，于是根据△=0判定即可．
解答：解：A、方程x2+x+1=0，∵△=1﹣4＜0，方程无实数根；
B、方程4x2+2x+1=0，∵△=4﹣16＜0，方程无实数根；
C、方程x2+12x+36=0，∵△=144﹣144=0，方程有两个相等的实数根；
D、方程x2+x﹣2=0，∵△=1+8＞0，方程有两个不相等的实数根；
第9页（共26页）故选C．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根
⇔
⇔
8．（3分）（2015•河池）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的
解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3
考点：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
分析：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解
析式．
解答：解：∵将抛物线y=x2向上平移3个单位再向右平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+3．
故选B
点评：此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
9．（3分）（2015•河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大
小是（ ）
A．60° B．48° C．30° D．24°
考点：圆周角定理；垂径定理．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先根据垂径定理得到 = ，然后根据圆周角定理求解．
解答：解：∵直径AB⊥CD，
∴ = ，
第10页（共26页）∴∠BAC= ∠BOD= ×48°=24°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
10．（3分）（2015•河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽
略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2
考点：圆锥的计算．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
解答：
解：这张扇形纸板的面积= ×2π×10×24=240π（cm2）．
故选A．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（3分）（2015•河池）反比例函数y = （x＞0）的图象与一次函数y =﹣x+b的图象交于A，
1 2
B两点，其中A（1，2），当y ＞y 时，x的取值范围是（ ）
2 1
A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
分析：根据函数解析式画出函数的大致图象，根据图象作出选择．
解答：解：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：
第11页（共26页）如图所示，当1＜x＜2时，y ＞y ．
2 1
故选：B．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题利用了双曲线的对称性求得点B
的坐标是解题的关键．
12．（3分）（2015•河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．
如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相
切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
分析：根据直线的解析式求得OB=4 ，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根
据∠OAB=30°，求得PM= PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆
的点P的坐标，从而求得点P个数．
解答：解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
第12页（共26页）∴PM= PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选A．
点评：本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的
关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）请把答案填在答题卷指定的位置上。
13．（3分）（2015•河池）计算： = 3 ．
考点：二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
分析：根据二次根式的乘法法则计算．
解答：
解：原式=
=
=3．
故填3．
点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 = ．
14．（3分）（2015•河池）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=
5 ．
第13页（共26页）考点：三角形中位线定理．
菁优网版权所有
分析：
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE= BC，从而
求出DE的长．
解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵BC=10，
∴DE=5．
故答案为：5．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质
与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应
用．
15．（3分）（2015•河池）方程 = 的解是 x= 9 ．
考点：解分式方程．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出
分式方程的解．
解答：解：去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故答案为：x=9
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
第14页（共26页）16．（3分）（2015•河池）某学校计划开设A，B，C，D四门校本课程供学生选修，规定每个学生
必须并且只能选修其中一门，为了了解学生的选修意向，现随机抽取了部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图，已知该校学生人数为2000人，由此估计选修A
课程的学生有 80 0 人．
考点：用样本估计总体；条形统计图．
菁优网版权所有
分析：根据样本的数据，可得样本中选修A课程的学生所占的比例，利用样本估计总体，用
总人数乘以选修A课程的学生所占的比例，可得答案．
解答：
解：选修A课程的学生所占的比例： = ，
选修A课程的学生有：2000× =800（人），
故答案为：800．
点评：本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．也考查
了条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
17．（3分）（2015•河池）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，
5）的对应点A′的坐标是 A ′ （ 5 ， 2 ） ．
考点：坐标与图形变化-旋转．
菁优网版权所有
分析：由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，
∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得
出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．
第15页（共26页）解答：解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，
∴AO=A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°．
∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC=A′C′，CO=C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2，OC′=5，
∴A′（5，2）．
故答案为：A′（5，2）．
点评：本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，
点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（3分）（2015•河池）如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，
交AD的延长线于N，则 + = ．
第16页（共26页）考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
菁优网版权所有
分析：
根据四边形ABCD是菱形得到BC∥AD，从而得到 = ，根据CD∥AM得到
，从而得到 = =1，代入菱形的边长为2即可求得结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴ = ，
又∵CD∥AM，
∴ ，
∴ = =1，
又∵AB=AD=AC=1，
∴ + = ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定及平行线分线段成比例定理，
根据这个定理可以把线段的比进行转化．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）请在答题卷指定的位置上写出解答过程。
19．（6分）（2015•河池）计算：|﹣2|+ +2﹣1﹣cos60°．
考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
分析：分别根据负整数指数幂的计算法则、数的开方法则、绝对值的性质及特殊角的三角函
数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：
解：原式=2+3+ ﹣
=5．
点评：本题考查的是实数的运算，熟记负整数指数幂的计算法则、数的开方法则、绝对值的性
质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20．（6分）（2015•河池）先化简，再求值：（3﹣x）（3+x）+（x+1）2，其中x=2．
考点：整式的混合运算—化简求值．
菁优网版权所有
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
第17页（共26页）解答：解：（3﹣x）（3+x）+（x+1）2
=9﹣x2+x2+2x+1
=2x+10，
当x=2时，原式=2×2+10=14．
点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题
的关键．
21．（8分）（2015•河池）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD．
（1）作∠A的平分线交CD于E；
（2）过B作CD的垂线，垂足为F；
（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．
考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定．
菁优网版权所有
分析：（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线即可；
（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF即可；
（3）利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．
解答：解：（1）如图所示：AE即为所求；
（2）如图所示：BF即为所求；
（3）如图所示：△ACE≌△ADE，△ACE≌△CFB，
证明：∵AC=AD，AE平分∠CAD，
∴AE⊥CD，EC=DE，
在△ACE和△ADE中
∵ ，
∴△ACE≌△ADE（SAS）．
第18页（共26页）点评：此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是
解题关键．
22．（8分）（2015•河池）联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场
用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．
（1）这两次各购进电风扇多少台？
（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？
考点：分式方程的应用．
菁优网版权所有
分析：（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，根据题意可得，
第一次比第二次单价低30元，据此列方程求解；
（2）分别求出两次的盈利，然后求和．
解答：解：（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，
由题意得， =150+30，
解得：x=60，
经检验：x=60是原分式方程的解，且符合题意，
则x﹣10=60﹣10=50，
答：第一次购买了60台电风扇，则第二次购买了50台电风扇；
（2）第一次获利：（250﹣150）×60+（250﹣150﹣30）×50
=6000+3500=9500（元）．
答：商场获利9500元．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程求解，注意检验．
23．（8分）（2015•河池）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10
名学生进行汉字听写测试．计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及
格，得到9分为优秀，成绩如表1所示，并制作了成绩分析表（表2）．
表1
第19页（共26页）一班 5 8 8 9 8 10 10 8 5 5
二班 10 6 6 9 10 4 5 7 10 8
表2
班级 平均数 中位 众数 方差 及格率 优秀率
数
一班 7.6 8 a 3.82 70% 30%
二班 b 7.5 10 4.94 80% 40%
（1）在表2中，a= 8 ，b= 7. 5 ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率均高于一班，所以二班比一班好；但也有人认为一班成绩比
二班好，请你给出坚持一班成绩好的两条理由；
（3）一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女，现从这两班获满分的同学中
各抽1名同学参加“汉字听写大赛”，用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的
概率．
考点：列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差．
菁优网版权所有
分析：（1）分别用平均数的计算公式和众数的定义解答即可；
（2）方差越小的成绩越稳定，据此求解；
（3）列表或树状图后利用概率公式求解即可；
解答：解：（1）∵数据8出现了4次，最多，
∴众数a=8；
b= =7.5；
（2）一班的平均成绩高，且方差小，较稳定，
故一班成绩好于二班；
（3）列表得：
∵共有6种等可能的结果，一男一女的有3种，
∴P（一男一女）= = ．
点评：本题考查了加权平均数、众数、中位数、方差及列表与树状图的知识，解题的关键是能
第20页（共26页）够列表或树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
24．（8分）（2015•河池）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．
若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．
（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；
（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过
绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？
考点：一次函数的应用．
菁优网版权所有
分析：（1）首先根据总价=单价×数量，求出太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函
数解析式；然后分两种情况：①一次购买的绣球花不超过20盆；②一次购买的绣球花
超过20盆；根据总价=单价×数量，求出绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的
函数解析式即可．
（2）首先太阳花数量不超过绣球花数量的一半，可得太阳花数量不超过两种花数量的
，即太阳花数量不超过30盆，所以绣球花的数量不少于60盆；然后设太阳花的数量
是x盆，则绣球花的数量是90﹣x盆，根据总价=单价×数量，求出购买两种花的总费用
是多少，进而判断出两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元即可．
解答：解：（1）太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y=6x；
①一次购买的绣球花不超过20盆时，
付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y=10x（x≤20）；
②一次购买的绣球花超过20盆时，
付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：
y=10×20+10×0.8×（x﹣20）
=200+8x﹣160
=8x+40
综上，可得
绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：
y=
（2）根据题意，可得太阳花数量不超过：90× ，
所以绣球花的数量不少于：90﹣30=60（盆），
设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是90﹣x盆，购买两种花的总费用是y元，
则x≤30，
第21页（共26页）则y=6x+[8（90﹣x）+40
=760﹣2x
]
因为x≤30，
所以当x=30时，
y =760﹣2×30=700（元），
min
即太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．
答：太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．
点评：（1）此题主要考查了一次函数解析式的求法，以及一次函数的最值的求法，要熟练掌
握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别
注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）此题还考查了单价、总价、数量的关系：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=
总价÷单价，要熟练掌握．
25．（10分）（2015•河池）如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，
延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若AF=8，tan∠BDF= ，求EF的长．
考点：切线的判定．
菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）连结OD，如图，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根据等腰三角形的性质由FE=FD，
OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，则可根据切线的判
定定理得到FD是⊙O的切线；
（2）连结AD，如图，利用圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则
∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，则∠A=∠BDF，易得
△FBD∽△FDA，根据相似的性质得 = ，
再在Rt△ABD中，根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF= = ，于是可计算出
第22页（共26页）DF=2，从而得到EF=2．
解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵CO⊥AB，
∴∠E+∠C=90°，
∵FE=FD，OD=OC，
∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，
∴∠FDE+∠ODC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线；
（2）解：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠A+∠ODB=90°，
∵∠BDF+∠ODB=90°，
∴∠A=∠BDF，
而∠DFB=∠AFD，
∴△FBD∽△FDA，
∴ = ，
在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF= = ，
∴ = ，
∴DF=2，
∴EF=2．
点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证
某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
第23页（共26页）也考查了相似三角形的判定与性质．
26．（12分）（2015•河池）如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物
线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为
S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接
CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落
在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
菁优网版权所有
专题：综合题．
分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待
定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的
解析式为y=﹣2x+6，则P（x，﹣2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=﹣x2+ x
（1≤x≤3），再利用而此函数的性质求S的最大值；
（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，﹣ t+3），N（t，﹣t2+2t+3），利用两点
间的距离公式得到MN=|t2﹣ t|，CM= t，然后证明NM=CM得到|t2﹣ t|= t，再解
绝对值方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．
解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
第24页（共26页）设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），E（4，0）分别代入得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3；
（2）如图（1），当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x =﹣1，x =3，则B（3，0），
1 2
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），D（1，4）分别代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，
则P（x，﹣2x+6），
∴S= •（﹣2x+6+3）•x=﹣x2+ x（1≤x≤3），
∵S=﹣（x﹣ ）2+ ，
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ；
（3）存在．
如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，﹣ t+3），N（t，﹣t2+2t+3），
∴MN=|﹣t2+2t+3﹣（﹣ t+3）|=|t2﹣ t|，
CM= = t，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，
而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2﹣ t|= t，
当t2﹣ t= t，解得t =0（舍去），t =4，此时Q点坐标为（4，0）；
1 2
当t2﹣ t=﹣ t，解得t =0（舍去），t = ，此时Q点坐标为（ ，0），
1 2
第25页（共26页）综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（4，0）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的
性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；能
利用两点间的距离公式计算线段的长．
第26页（共26页）
