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2017 年广西河池市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．√2 C．2 D．4
2．（3分）如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
1
3．（3分）若函数y= 有意义，则（ ）
x-1
A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1
4．（3分）如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a6 C．（a2）3=a6D．a6÷a3=a2
k
6．（3分）点P（﹣3，1）在双曲线y= 上，则k的值是（ ）
x
1 1
A．﹣3 B．3 C．- D．
3 3
7．（3分）在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组7位同学的成绩分别是
92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96
8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）A．18° B．36° C．54° D．72°
9．（3分）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
10．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
11．（3分）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则
▱
AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．（3分）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E
作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．（3分）分解因式：x2﹣25= ．
14．（3分）点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
15．（3分）在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评
委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是 ．
k k
16．（3分）如图，直线y=ax与双曲线y= （x＞0）交于点A（1，2），则不等式ax＞
x x
的解集是 ．17．（3分）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是
．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=√2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是
．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣2sin45°+√8﹣20．
{&2x-1＞0
20．（6分）解不等式组： ．
&x+1＜3
21．（8分）直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；
（2）将直线l向上平移4个单位得到l ，l 交x轴于点C．作出l 的图象，l 的解析式是
1 1 1 1
．
（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l ，l 交l 于点D．作出l 的图象，tan∠CAD=
2 2 1 2
．22．（8分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，
求证：AE=BF；
（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探
究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
23．（8分）九 （1）班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒品”只是竞赛初
赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图（未完成）．
余下8名学生成绩尚未统计，这8名学生成绩如下：60，90，63，99，67，99，99，68．
频数分布表
分数段 频数（人数）
60≤x＜70 a
70≤x＜80 16
80≤x＜90 24
90≤x＜100 b
请解答下列问题：
（1）完成频数分布表，a= ，b= ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中
甲、乙两位同学的概率．
24．（8分）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的
单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于
点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．26．（12分）抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．2017 年广西河池市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•河池）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．√2 C．2 D．4
【考点】26：无理数．菁优网版权所有
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概
念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小
数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：
A、﹣2是整数，是有理数，选项不符合题意；
B、√2是无理数，选项符合题意；
C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；
D、4是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；
开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）（2017•河池）如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（
）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】IF：角的概念．菁优网版权所有
【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数．
【解答】解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的概念以及平角的定义的运用，解题时注意：平角等于
180°．
1
3．（3分）（2017•河池）若函数y= 有意义，则（ ）
x-1
A．x＞1 B．x＜1 C．x=1 D．x≠1
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得x﹣1≠0，
解得x≠1，
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
4．（3分）（2017•河池）如图是一个由三个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图解答．
【解答】解：从正面看，从左向右共有2列，第一列是1个正方形，第二列是1个正方
形，且下齐．
故选D．
【点评】本题考查了三视图，主视图是从正面看得到的视图，要注意分清所看到的正方形
的排列的列数与每一列的正方形的排列情况．
5．（3分）（2017•河池）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a6 C．（a2）3=a6D．a6÷a3=a2
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与
积的乘方．菁优网版权所有
【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进
行判断即可．
【解答】解：A．a3与a2不是同类项不能合并，故A错误；
B．a3•a2=a5，故B错误；
C．（a2）3=a6，故C正确；
D．a6÷a3=a2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是幂的运算性质，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法
则、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解题的关键．
k
6．（3分）（2017•河池）点P（﹣3，1）在双曲线y= 上，则k的值是（ ）
x
1 1
A．﹣3 B．3 C．- D．
3 3
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．
k
【解答】解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y= 上，
x
∴k=﹣3×1=﹣3，
故选：A．
k
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数 y= 图
x
象上的点，横纵坐标的积是定值k．
7．（3分）（2017•河池）在《数据分析》章节测试中，“勇往直前”学习小组 7位同学
的成绩分别是92，88，95，93，96，95，94．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．94，94 B．94，95 C．93，95 D．93，96
【考点】W5：众数；W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据重新排列为：88、92、93、94、95、95、96，
∴这组数据的中位数为94，众数为95，
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次
数最多的数，难度适中．
8．（3分）（2017•河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大
小是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理推出^BC=^BD，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决
问题．
【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴^BC=^BD，
∴∠CAB=∠BAD=36°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=36°，
故选B．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周
角定理，属于中考常考题型．
9．（3分）（2017•河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（
）A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【专题】12 ：应用题．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同
高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并
灵活应用．
10．（3分）（2017•河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出
结论．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，根据根的判别式找出关于 a的一元
一次方程是解题的关键．
11．（3分）（2017•河池）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若
▱
AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分
线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角
1
形的性质可知OA= AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
2
【解答】解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，
1
∴AG⊥DE，OD= DE=3．
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
1
∴OA= AG．
2
在Rt△AOD中，OA=√AD2-OD2=√52-32=4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
12．（3分）（2017•河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC
于点 E，过 E 作 EF⊥BC 于点 F，过 F 作 FG⊥AB 于点 G．当 G 与 D 重合时，AD 的长是
（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到
∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴BE=12﹣CE=4x﹣12，
∴BD=2BE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴x+8x﹣24=12，
∴x=4，
∴AD=4．
故选B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三
角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．（3分）（2017•河池）分解因式：x2﹣25= （ x+ 5 ）（ x ﹣ 5 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
14．（3分）（2017•河池）点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 （﹣ 2 ，
﹣ 1 ） ．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15．（3分）（2017•河池）在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平
均分．各位评委给某位歌手的分数分别是 92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是 9 0
．
【考点】W1：算术平均数．菁优网版权所有
【分析】根据算术平均数的计算公式，把这5个分数加起来，再除以5，即可得出答案．
【解答】解：这位参赛选手在这次比赛中获得的平均分为：
（92+93+88+87+90）÷5=90（分）；
故答案为：90．
【点评】此题考查了平均数的求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的
个数，熟记平均数的公式是解决本题的关键．
k
16．（3分）（2017•河池）如图，直线y=ax与双曲线y= （x＞0）交于点A（1，2），则
x
k
不等式ax＞ 的解集是 x ＞ 1 ．
x【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
k
【解答】解：∵直线y=ax与双曲线y= （x＞0）交于点A（1，2），
x
k
∴不等式ax＞ 的解集是x＞1，
x
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确的识别图象是解题的关键．
17．（3分）（2017•河池）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该
半圆的半径长是 1 0 ．
【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
【解答】解：设该半圆的半径长为x，根据题意得：
2πx÷2=2π×5，
解得x=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆锥的计算，关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周
长．
18．（3分）（2017•河池）如图，在矩形ABCD中，AB=√2，E是BC的中点，AE⊥BD于点
F，则CF的长是 √2 ．
【考点】LB：矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据四边形 ABCD 是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到
∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到 BE=1，求得 BC=2，根据勾股定理得到 AE=
AB⋅BE √6
√AB2+BE2=√3，BD=√BC2+CD2=√6，根据三角形的面积公式得到 BF= =
AE 3
4
，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG= ，根据勾股定理即可得到结论．
3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
AD AB
∴ = ，
AB BE
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE=√AB2+BE2=√3，BD=√BC2+CD2=√6，
AB⋅BE √6
∴BF= = ，
AE 3
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
FG BF BG
∴ = = ，
CD BD BC
√2 2
∴FG= ，BG= ，
3 3
4
∴CG= ，
3
∴CF=√FG2+CG2=√2．
故答案为：√2．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）（2017•河池）计算：|﹣1|﹣2sin45°+√8﹣20．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣1|﹣2sin45°+√8﹣20
√2
=1﹣2× +2√2﹣1
2
=√2
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数
的运算律在实数范围内仍然适用．
{&2x-1＞0
20．（6分）（2017•河池）解不等式组： ．
&x+1＜3
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
{&2x-1＞0①
【解答】解：
&x+1＜3②
∵解不等式①得：x＞0.5，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为0.5＜x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找
出不等式组的解集，难度适中．
21．（8分）（2017•河池）直线l的解析式为y=﹣2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B．
（1）写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象；
（2）将直线l向上平移4个单位得到l ，l 交x轴于点C．作出l 的图象，l 的解析式是
1 1 1 1
y = ﹣ 2x+ 6 ．
（3）将直线l绕点A顺时针旋转90°得到l ，l 交l 于点D．作出l 的图象，tan∠CAD=
2 2 1 2
1
．
2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换；F3：一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l
的解析式；
（2）将直线向上平移4个单位可得直线l，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析
1
式；（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l 的解析式，继而
2
OE
求得其与y轴的交点，根据tan∠CAD=tan∠EAO= 可得答案．
OA
【解答】解：（1）当y=0时，﹣2x+2=0，解得：x=1，即点A（1，0），
当x=0时，y=2，即点B（0，2），
如图，直线AB即为所求；
（2）如图，直线l 即为所求，
1
直线l 的解析式为y=﹣2x+2+4=﹣2x+6，
1
故答案为：y=﹣2x+6；
（3）如图，直线l 即为所求，
2
∵直线l绕点A顺时针旋转90°得到l，
2
∴由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），
设直线l2解析式为y=kx+b，
{&k+b=0
将点A（1，0）、（3，1）代入，得： ，
&3k+b=1
1
{&k=
2
解得： ，
1
&b=-
2
1 1
∴直线l 的解析式为y= x﹣ ，
2 2 2
1
当x=0时，y=﹣ ，
2
1
∴直线l 与y轴的交点E（0，﹣ ），
2 2
1
OE 1
∴tan∠CAD=tan∠EAO= =2= ，
OA 2
1
1
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查一次函数图象与几何变换及一次函数图象，熟练掌握平移变换和旋转变换的性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．（8分）（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，
AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探
究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性
质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线
垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据
同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三
角形的性质，可得答案；
（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的
性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF．
{
&∠BAE=∠CBF
在△ABE和△BCF中， &AB=CB ，
&∠ABE=∠BCF
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
2
（2）解：AB= BC，
3
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
AE AB 2
∴ = = ，
BF BC 32
∴AB= BC．
3
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（8分）（2017•河池）九 （1）班48名学生参加学校举行的“珍惜生命，远离毒
品”只是竞赛初赛，赛后，班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方
图（未完成）．余下8名学生成绩尚未统计，这 8名学生成绩如下：60，90，63，99，
67，99，99，68．
频数分布表
分数段 频数（人数）
60≤x＜70 a
70≤x＜80 16
80≤x＜90 24
90≤x＜100 b
请解答下列问题：
（1）完成频数分布表，a= 4 ，b= 4 ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校共有600名学生参加初赛，估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有多少人？
（4）九 （1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中
甲、乙两位同学的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】（1）将余下的8位同学按60≤x＜70、90≤x＜100分组可得a、b的值；
（2）根据（1）中所得结果补全即可得；
（3）将样本中成绩90≤x＜100范围内的学生所占比例乘以总人数600可得答案；
（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，60≤x＜70的有60、63、67、68这4个数，90≤x＜100的
有90、99、99、99这4个，
即a=4、b=4，
故答案为：4，4；
（2）补全频数分布直方图如下：4
（3）600× =50（人），
48
故答案为：估计该校成绩90≤x＜100范围内的学生有50人．
（4）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况，
2 1
∴甲、乙被选中的概率为 = ．
6 3
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及．利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考
查列表法或画树状图法求概率．
24．（8分）（2017•河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干
个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足
球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：
500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价×
排球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案．
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
500 800
= ，
x x+30
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
8
整理得：m=24﹣ n，
5
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8；
∴有两种方案：
①购买排球5个，购买足球16个；
②购买排球10个，购买足球8个．
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系，列出方程．
25．（10分）（2017•河池）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交
BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题．
【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得
OB⊥ BC ， 则 ∠ BCO+∠ COB=90° ， 由 于 ∠ FEB+∠ FOE=90° ， ∠ COB=∠ FOE ， 所 以
∠FEB=∠ECF；
（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到 CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利
用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根
据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3√5，然后证明△OEF∽△OCB，
利用相似比可计算出EF的长．
【解答】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE=√102-62=8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，
∴OE=8﹣3=5，
在Rt△OBC中，OC=√62+32=3√5，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
EF OE EF 5
∴ = ，即 = ，
BC OC 6 3√5
∴EF=2√5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必
连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与
性质．
26．（12分）（2017•河池）抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与
y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由抛物线解析式可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析
式；
（2）由直线BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，结合二次函数的对称性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，则可求得PE的
长，可求得P点坐标；
（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当∠OCQ=∠OCA时，利用两角的正切值相等可得到关于x的
方程，可求得Q点的横坐标，再结合图形可比较两角的大小．
【解答】解：
（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3；
（2）∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
180°-45° 1
∴∠PBA= =67.5°，∠DPB= ∠APB=22.5°，
2 2
∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DPB=∠DBP，
∴DP=DB，
在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2√2，
∴PE=2+2√2，
∴P（1，2+2√2）；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2√2）；
综上可知P点坐标为（1，2+2√2）或（1，﹣2﹣2√2）；
（3）设Q（x，﹣x2+2x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，
QE AO 1 x 1
∴ = = ，即 = ，解得x=0（舍去）或x=5，
CE CO 3 x2-2x-3 3
∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA＞∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA＜∠OCQ．
