文档内容
2017 年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
1 1
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2 2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩突出，两项工程
累计开工面积达 477万平方米，各项指标均居全省前列，477万用科学记数法
表示正确的是（ ）
A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106
4．（3分）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的 T型管道，则其俯视图正确
的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
6．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售
情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些 41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
7．（3分）下列函数中，对于任意实数x ，x ，当x ＞x 时，满足y ＜y 的是（
1 2 1 2 1 2）
1
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
x
{
&2x+9≥3
8．（3分）不等式组 1+2x 的解集是（ ）
& ＞x-1
3
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
9．（3 分）公式 L=L +KP 表示当重力为 P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长
0
度，L 代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在
0
弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明
这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
10．（3 分）某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资
料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠 4元，结果
比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x本资料，列
方程正确的是（ ）
240 120 240 120
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
x-20 x x+20 x
120 240 120 240
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
x x-20 x x+20
11．（3分）如图放置的两个正方形，大正方形 ABCD边长为a，小正方形CEFG
边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，
将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结
b2
论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣ ；③△ABM≌△NGF；④S =a2+b2；
a
四边形AMFN
⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．512．（3分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中
点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小
三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图 2，图3…），则图
6中挖去三角形的个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）计算：√8﹣√2= ．
14．（4分）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线
的方法，其理由是 ．
15．（4分）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为 ．
16．（4分）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化
学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那
么他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
17．（4分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与
矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左
右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分
为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的
透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 ．三、解答题（本大题共7小题，共64分）
a2-4a+4 a-2 7
18．（6分）先化简，再求值： ÷ ﹣3，其中a= ．
a2-4 a2+2a 2
19．（8分）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们生活中不可缺
少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和同学亲友聊
天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在全校范围内
随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表（部分信息未给出）：
选项 频数 频率
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有
多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建
议．20．（8分）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的
⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
21．（10分）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪
器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时
间为0.9秒，已知∠B=30°，∠C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考
数据：√3≈1.7，√2≈1.4）
22．（10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明
家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的
喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，
水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度的多少？
23．（10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B
点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定 P、Q 分别在边 BA、BC 上移动，求出点 E 在边 AD 上移动的最大距
离．24．（12分）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的
1 k
正、反比例函数y= x与y= （k≠0）的图象性质．
k x
1 k
小明根据学习函数的经验，对函数 y= x与y= ，当k＞0时的图象性质进行了
k x
探究．
下面是小明的探究过程：
1 k
（1）如图所示，设函数 y= x与y= 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为
k x
（﹣k，﹣1），则B点的坐标为 ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
k
证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
m
{
&-ka+b=-1
则 k ，
&ma+b=
m
{&a=
解得
&b=
∴直线PA的解析式为
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB
的面积．2017 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2017•德州）﹣2的倒数是（ ）
1 1
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2 2
【考点】17：倒数．
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【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
1
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
2
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我
们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）（2017•德州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
3．（3分）（2017•德州）2016年，我市“全面改薄”和解决大班额工程成绩
突出，两项工程累计开工面积达477万平方米，各项指标均居全省前列，477
万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜
1时，n是负数．
【解答】解：477万用科学记数法表示4.77×106，故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
4．（3分）（2017•德州）如图，两个等直径圆柱构成如图所示的 T型管道，
则其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
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【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：两个等直径圆柱构成如图所示的T型管道的俯视图是矩形和圆的
组合图，且圆位于矩形的中心位置，
故选：B．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5．（3分）（2017•德州）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）m=a2m B．（2a）3=2a3 C．a3•a﹣5=a﹣15 D．a3÷a﹣5=a﹣2
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘
方；6F：负整数指数幂．
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【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式=8a3，故B不正确；
（C）原式=a﹣2，故C不正确；
（D）原式=a8，故D不正确；
故选（A）
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题
属于基础题型．
6．（3分）（2017•德州）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同
尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些 41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是
（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【考点】WA：统计量的选择；VA：统计表．
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【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标
准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方
差的意义．
7．（3分）（2017•德州）下列函数中，对于任意实数x ，x ，当x ＞x 时，满
1 2 1 2
足y ＜y 的是（ ）
1 2
1
A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣
x
【考点】F5：一次函数的性质；G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象
上点的坐标特征；H3：二次函数的性质．
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【分析】A、由k=﹣3可得知y随x值的增大而减小；B、由k=2可得知y随x值
的增大而增大；C、由a=﹣2可得知：当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x
＞0时，y随x值的增大而减小；D、由k=﹣1可得知：当x＜0时，y随x值的增
大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大．此题得解．
【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，
∴y随x值的增大而减小，
∴A选项符合题意；
B、y=2x+1中k=2，
∴y随x值的增大而增大，
∴B选项不符合题意；
C、y=﹣2x2+1中a=﹣2，
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而减小，
∴C选项不符合题意；
1
D、y=﹣ 中k=﹣1，
x
∴当x＜0时，y随x值的增大而增大，当x＞0时，y随x值的增大而增大，
∴D选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性
质，根据一次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中 y与x之间
的增减性是解题的关键．
{
&2x+9≥3
8．（3分）（2017•德州）不等式组 1+2x 的解集是（ ）
& ＞x-1
3
A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大
小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，
1+2x
解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4，
3
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4，故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基
础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则
是解答此题的关键．
9．（3分）（2017•德州）公式L=L +KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上
0
时弹簧的长度，L 代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力
0
物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公
式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】A和B中，L =10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此
0
即可得出结论．
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L =10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，
0
∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数的应用，比较 L 和K的值，找出短而硬的弹簧是
0
解题的关键．
10．（3分）（2017•德州）某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120元买
了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠
4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x
本资料，列方程正确的是（ ）
240 120 240 120
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
x-20 x x+20 x
120 240 120 240
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
x x-20 x x+20
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量
关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
120 240
根据题意得： ﹣ =4．
x x+20
故选D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适
的等量关系是解决问题的关键．
11．（3分）（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，
小正方形 CEFG边长为 b（a＞b），M在BC边上，且 BM=b，连接 AM，MF，
MF 交 CG 于点 P，将△ABM 绕点 A 旋转至△ADN，将△MEF 绕点 F 旋转至
b2
△ NGF ， 给 出 以 下 五 个 结 论 ： ① ∠ MAD=∠ AND ； ② CP=b﹣ ；
a
③△ABM≌△NGF；④S =a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的
四边形AMFN个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】@4：四点共圆．
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【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得
到 ∴ ∠ NAD=∠ BAM ， ∠ AND=∠ AMB ， 根 据 余 角 的 性 质 得 到
∠ DAM+∠ NAD=∠ NAD+∠ AND=∠ AND+∠ NAD=90° ， 等 量 代 换 得 到
∠DAM=∠AND，故①正确；
b2
②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b﹣ ；故②
a
正确；
③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的
判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正确；
④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推
出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN
是正方形，于是得到S =AM2=a2+b2；故④正确；
四边形AMFN
⑤根据正方形的性质得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于
是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确；
②∵四边形CEFG是正方形，
∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
PC CM
∴ = ，
EF ME
∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，
∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，
PC a-b
∴ = ，
b a
b2
∴CP=b﹣ ；故②正确；
a
③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
{
&AB=NG=a
在△ABM与△NGF中， &∠B=∠NGF=90°，
&GF=BM=b
∴△ABM≌△NGF；故③正确；
④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，
∴S =AM2=a2+b2；故④正确；
四边形AMFN
⑤∵四边形AMFN是正方形，
∴∠AMP=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．
故选D．
【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关
键．
12．（3分）（2017•德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对
剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去（如图 2，
图3…），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【解答】解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图6挖去中间的（1+3+32+33+34+35）个小三角形，即图6挖去中间的364个小
三角形，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2017•德州）计算：√8﹣√2= √2 ．
【考点】78：二次根式的加减法．
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【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式化简后，合并即可得到结果．
【解答】解：原式=2√2﹣√2=√2，
故答案为：√2
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）（2017•德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作
直线l的平行线的方法，其理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】N3：作图—复杂作图；J9：平行线的判定．
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【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到
两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内
角互补，才能推出两被截直线平行．
2
15．（4分）（2017•德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为 1 或 ．
3
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；83：等式的性质；86：解一元一
次方程．
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【专题】11 ：计算题．
【分析】移项后分解因式得到（x﹣1）（3x﹣2）=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣
2=0，求出方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）=2（x﹣1），
移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
即（x﹣1）（3x﹣2）=0，
∴x﹣1=0，3x﹣2=0，
2
解方程得：x =1，x = ．
1 2 3
2
故答案为：1或 ．
3
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知
识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（4分）（2017•德州）淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在 5月份进
行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签
1
方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
9
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出淘淘与丽丽同学同
时抽到物理的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中淘淘与丽丽同学同时抽到物理物的结果数
为1，
1
所以他们两人都抽到物理实验的概率是 ．
9
1
故答案为： ．
9
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
17．（4分）（2017•德州）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．
圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上
切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为 1m，根据设计要求，若
∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为
(π+2)√2
．
8
【考点】MO：扇形面积的计算．
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【分析】把透光部分看作是两个直角三角形与四个45°的扇形的组合体，其和就
是透光的面积，再计算矩形的面积，相比可得结果．
【解答】解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M，
连接OM、OG，则M、O、E共线，
由题意得：∠MOG=∠EOF=45°，
∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，
180π×12 1 π
∴S = +2× ×1×1= +1，
透明区域
360 2 2
过O作ON⊥AD于N，
1 1
∴ON= FG= √2，
2 2
1
∴AB=2ON=2× √2=√2，
2
∴S =2×√2=2√2，
矩形
π
S +1 √2(π+2)
∴ 透光区域 = 2 = ．
S 8
矩形 2√2
(π+2)√2
故答案为： ．
8
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、直角三角形的面积，将透光部
分化分为几个熟知图形的面积是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分）a2-4a+4 a-2
18．（6分）（2017•德州）先化简，再求值： ÷ ﹣3，其中a=
a2-4 a2+2a
7
．
2
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a的值代入即
可解答本题．
a2-4a+4 a-2
【解答】解： ÷ ﹣3
a2-4 a2+2a
(a-2) 2 a(a+2)
= ⋅ -3
(a+2)(a-2) a-2
=a﹣3，
7 7 1
当a= 时，原式= -3= ．
2 2 2
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方
法．
19．（8分）（2017•德州）随着移动终端设备的升级换代，手机已经成为我们
生活中不可缺少的一部分，为了解中学生在假期使用手机的情况（选项：A．和
同学亲友聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），端午节后某中学在
全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如下图表（部分信息未给
出）：
频数 频率
选项
A 10 m
B n 0.2
C 5 0.1
D p 0.4
E 5 0.1
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生有多少人？
（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．
（3）若该中学约有800名学生，估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有
多少人？并根据以上调查结果，就中学生如何合理使用手机给出你的一条建
议．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
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【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得答案；
（2）根据人数比抽查人数，所占的百分比乘以抽查人数，可得答案；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）从C可看出5÷0.1=50人，
答：次被调查的学生有50人；
10
（2）m= =0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，
50
，
（3）800×（0.1+0.4）=800×0.5=400人，
答：全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有400人，可利用手机学习．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．（8分）（2017•德州）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，
以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质．
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【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
BE BC
∴ = ，
BC BA
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=√6，
即AE=√6．
【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出
∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．
21．（10分）（2017•德州）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安
装了一个测速仪器，检测点设在距离公路 10m的A处，测得一辆汽车从B处行
驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B=30°，∠C=45°．
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考
数据：√3≈1.7，√2≈1.4）【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD=10m，
在Rt△ACD中，∵∠C=45°，
∴AD=CD=10m，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
AD
∴tan30°= ，
BD
∴BD=√3AD=10√3m，
∴BC=BD+DC=（10+10√3）m．
（2）结论：这辆汽车超速．
理由：∵BC=10+10√3≈27m，
27
∴汽车速度= =30m/s=108km/h，
0.9
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之
间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2017•德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越
来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了
一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为 1
米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x轴，
水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）
2+h，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，
8
（2）求出当x=1时，y= 即可．
3
【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
{&4a+h=0
代入（0，2）和（3，0）得： ，
&a+h=2
2
{&a=-
3
解得： ，
8
&h=
3
2 8
∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣1）2+ ；
3 3
2 4
即y=﹣ x2+ x+2（0≤x≤3）；
3 3
2 4
（2）y=﹣ x2+ x+2（0≤x≤3），
3 3
8
当x=1时，y= ，
3
8
即水柱的最大高度为 m．
3
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的
求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
23．（10 分）（2017•德州）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，
AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交
PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定 P、Q 分别在边 BA、BC 上移动，求出点 E 在边 AD 上移动的最大距
离．【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性
质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可
得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的
性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣
5
DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP= cm即可；
3
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点
A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得
出答案．
【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE=√CE2-CD2=4cm，
∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，
∴EP2=12+（3﹣EP）2，
5
解得：EP= cm，
3
5
∴菱形BFEP的边长为 cm；
3
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判
定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本
题综合性强，有一定难度．
24．（12分）（2017•德州）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系
1 k
数互为倒数的正、反比例函数y= x与y= （k≠0）的图象性质．
k x
1 k
小明根据学习函数的经验，对函数 y= x与y= ，当k＞0时的图象性质进行了
k x
探究．
下面是小明的探究过程：
1 k
（1）如图所示，设函数 y= x与y= 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为
k x
（﹣k，﹣1），则B点的坐标为 （ k ， 1 ） ；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．
k
证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
m
{
&-ka+b=-1
则 k ，
&ma+b=
m
{&a= 1
解得
&b= m
k
﹣1
m
1 k
∴直线PA的解析式为 y = x + ﹣1
m m
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB
的面积．【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点 A的坐标即可得出点B
的坐标；
k
（2）①设P（m， ），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的
m
解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 M 的坐标，过点 P 作
PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同
理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0
＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O
对称，
∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），
∴B点的坐标为（k，1）．
故答案为：（k，1）．
k
（2）①证明过程如下，设P（m， ），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．
m
{
&-ka+b=-1
则 k ，
&ma+b=
m
1
{&a=
m
解得： ，
k
&b= -1
m
1 k
∴直线PA的解析式为y= x+ ﹣1．
m m
当y=0时，x=m﹣k，
∴M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
k
∵P点坐标为（m， ），
m
∴H点的坐标为（m，0），∴MH=x ﹣x =m﹣（m﹣k）=k．
H M
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
1
{&a=
m 1 k
故答案为： ；y= x+ ﹣1．
k m m
&b= -1
m
②由①可知，在△PMN中，PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．
当P点坐标为（1，k）时，PH=k，
∴MH=HN=PH，
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图1，
S =S ﹣S +S ，
△PAB △PMN △OBN △OAM
1 1 1
= MN•PH﹣ ON•y + OM•|y |，
2 2 B 2 A
1 1 1
= ×2k×k﹣ （k+1）×1+ （k﹣1）×1，
2 2 2
=k2﹣1；
当0＜k＜1时，如图2，
S =S ﹣S +S ，
△PAB △OBN △PMN △OAM
1 1
= ON•y ﹣k2+ OM•|y |，
2 B 2 A
1 1
= （k+1）×1﹣k2+ （1﹣k）×1，
2 2
=1﹣k2．【点评】本题考查了正（反）比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析
式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解
题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点A的坐标求出点B的坐标；
（2）①利用等腰三角形的三线合一证出 PM=PN；②分k＞1和0＜k＜1两种情
况求出△PAB的面积．
