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2017 年辽宁省铁岭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的相反数是（ ）
1 1
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
5 5
2．（3分）2016年，铁岭市橡胶行业实现销售收入约 601000000元，将数据
601000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.01×108 B．6.1×108C．6.01×109 D．6.01×107
3．（3分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在同一平面内，直线l ∥l ，将含有60°角的三角尺ABC的直
1 2
角顶点C放在直线l 上，另一个顶点 A恰好落在直线 l 上，若∠2=40°，则∠1
1 2
的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（3分）在某市举办的垂钓比赛上，5名垂钓爱好者参加了比赛，比赛结束
后，统计了他们各自的钓鱼条数，成绩如下：4，5，10，6，10．则这组数据的
中位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
6．（3分）下列事件中，不可能事件是（ ）
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上 B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0 D．明天会下雨
7．（3分）关于x的一元二次方程 4x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，那么 m
的值是（ ）
9 9 9 9
A． B． C．﹣ D．﹣
8 16 8 16
8．（3分）某校管乐队购进一批小号和长笛，小号的单价比长笛的单价多100
元，用6000元购买小号的数量与用5000元购买长笛的数量恰好相同，设小号
的单价为x元，则下列方程正确的是（ ）
6000 5000 6000 5000
A． = B． =
x x-100 x-100 x
6000 5000 6000 5000
C． = D． =
x x+100 x+100 x
9．（3分）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点 A，点 B为圆
1
心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN交AB于点
2O，连接CO，则CO的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
10．（3分）如图，在射线AB上顺次取两点C，D，使AC=CD=1，以CD为边作
矩形CDEF，DE=2，将射线AB绕点A沿逆时针方向旋转，旋转角记为 α（其中
0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交矩形CDEF的边CF，DE于
点G，H．若CG=x，EH=y，则下列函数图象中，能反映 y与x之间关系的是（
）
A． B． C． D ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）在函数y=√x-4中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：x2y﹣6xy+9y= ．
13．（3分）从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，则正比例函数y=kx的
图象经过第二、四象限的概率是 ．
14．（3分）学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参
加市里举办的“汉字听写”大赛，四名同学平时成绩的平均数x（单位：分）及
方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 94 98 98 96
s2 1 1.2 1 1.8
如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是．
15．（3分）如图，菱形ABCD的面积为6，边AD在x轴上，边BC的中点E在y
k
轴上，反比例函数y= 的图象经过顶点B，则k的值为 ．
x
16．（3分）在 ▱ABCD中，∠DAB的平分线交直线CD于点E，且DE=5，CE=3，
则 ▱ABCD的周长为 ．
17．（3分）如图，在圆心角为 135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为
^AB的三等分点，连接 OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为
cm2．
18．（3分）如图，△ABC的面积为S．点P ，P ，P ，…，P 是边BC的n等
1 2 3 n﹣1
AM AN 1
分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且 = = ，
AB AC n
连接MP ，MP ，MP ，…，MP ，连接NB，NP ，NP ，…，NP ，线段MP
1 2 3 n﹣1 1 2 n﹣1 1
与 NB 相交于点 D ，线段 MP 与 NP 相交于点 D ，线段 MP 与 NP 相交于点
1 2 1 2 3 2
D ， … ， 线 段 MP 与 NP 相 交 于 点 D ， 则 △ ND P ， △ ND P ，
3 n﹣1 n﹣2 n﹣1 1 1 2 2
△ND P ，…，△ND P 的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
3 3 n﹣1 n﹣1
三、解答题（本大题共2小题，共22分）
x y 1
19．（10分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=√3﹣2，y=（
x- y x2- y2 2
）﹣1．
20．（12分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”
“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份
征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年
级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若
从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表
法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
四、解答题（本大题共2小题，共24分）
21．（12分）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2h，
乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作3h，乙机器人工
作2h，一共可以分拣650件包裹．
（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；
（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣
包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
22．（12分）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 C，在岸
边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到
舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D
看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）
五、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，
1
以点C为顶点，CB为边作∠BCF= ∠BOC，延长AB交CF于点D．
2
（1）求证：直线CF是半圆O的切线；
（2）若BD=5，CD=5√3，求^BC的长．六、解答题（本大题共1小题，共12分）
24．（12分）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张
购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致
成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x
之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为
25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第 1 6
x ≤ ＜
天 x x
≤ ≤
6 1
5
每 1 x
天 0 +
的 6
销
售
量
y
/
盒
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天
的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于 325
元？请直接写出结果．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线
上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．
（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．
①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；
②如图2，若AD=√2DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理
由；
（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，
使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋
转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写
出线段BM，MN与CN之间的数量关系．八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），
D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在
抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；
（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点 F，连接BF，点G是x轴上一
点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017 年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2017•铁岭）5的相反数是（ ）
1 1
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
5 5
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3 分）（2017•铁岭）2016 年，铁岭市橡胶行业实现销售收入约
601000000元，将数据601000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.01×108 B．6.1×108C．6.01×109 D．6.01×107
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
【解答】解：601000000=6.01×108，
故选A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的
值．
3．（3分）（2017•铁岭）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，故此选项错误；
B、主视图是矩形，故此选项错误；
C、主视图是三角形，故此选项正确；
D、主视图是正方形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体
的正面看所得到的图形．
4．（3分）（2017•铁岭）如图，在同一平面内，直线l ∥l ，将含有60°角的三
1 2角尺 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，另一个顶点 A 恰好落在直线 l 上，若
1 2
∠2=40°，则∠1的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠1+30°+∠2+90°=180°，再把∠2=40°代入可求
∠1的度数．
【解答】解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠1+30°+∠2+90°=180°，
∵∠2=40°，
∴∠1+30°+40°+90°=180°，
解得∠1=20°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内
角互补是解答此题的关键．
5．（3分）（2017•铁岭）在某市举办的垂钓比赛上，5名垂钓爱好者参加了比
赛，比赛结束后，统计了他们各自的钓鱼条数，成绩如下：4，5，10，6，10．
则这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大重新排列，找出最中间的数
即可．
【解答】解：把这数从小到大排列为：4，5，6，10，10，最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6；
故选B．
【点评】此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据
的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错
误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
6．（3分）（2017•铁岭）下列事件中，不可能事件是（ ）
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上 B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0 D．明天会下雨
【考点】X1：随机事件．
【分析】依据不可能事件的概念求解即可．
【解答】解：A、抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故A错误；
B、五边形的内角和为540° 是必然事件，故B错误；
C、实数的绝对值小于0是不可能事件，故C正确；
D、明天会下雨是实际事件，故D错误．故选C．
【点评】本题主要考查的是不可能事件的定义，熟练掌握相关概念是解题的关
键．
7．（3分）（2017•铁岭）关于x的一元二次方程4x2﹣3x+m=0有两个相等的实
数根，那么m的值是（ ）
9 9 9 9
A． B． C．﹣ D．﹣
8 16 8 16
【考点】AA：根的判别式．
【分析】由方程有两个相等的实数根，即可得出关于m的一元一次方程，解之
即可得出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程4x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×4m=9﹣16m=0，
9
解得：m= ．
16
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数
根”是解题的关键．
8．（3分）（2017•铁岭）某校管乐队购进一批小号和长笛，小号的单价比长
笛的单价多100元，用6000元购买小号的数量与用5000元购买长笛的数量恰
好相同，设小号的单价为x元，则下列方程正确的是（ ）
6000 5000 6000 5000
A． = B． =
x x-100 x-100 x
6000 5000 6000 5000
C． = D． =
x x+100 x+100 x
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设小号的单价为x元，则长笛的单价为（x﹣100）元，根据6000元购
买小号的数量与用5000元购买长笛的数量恰好相同，列方程即可．
【解答】解：设小号的单价为x元，则长笛的单价为（x﹣100）元，
6000 5000
由题意得： = ．
x x-100
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题
意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（3分）（2017•铁岭）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点
1
A，点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN
2
交AB于点O，连接CO，则CO的长是（ ）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质；KP：直角三角形
斜边上的中线；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再由
作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【解答】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
由作法得MN垂直平分AB，
∴AO=OB，
1
∴OC= AB=2.5．
2
故选D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已
知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分
线；过一点作已知直线的垂线）．
10．（3 分）（2017•铁岭）如图，在射线 AB 上顺次取两点 C，D，使
AC=CD=1，以 CD 为边作矩形 CDEF，DE=2，将射线 AB 绕点 A 沿逆时针方向旋
转，旋转角记为α（其中0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交
矩形CDEF的边CF，DE于点G，H．若CG=x，EH=y，则下列函数图象中，能反
映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D ．【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据矩形的性质得到CF∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是矩形，
∴CF∥DE，
∴△ACG∽△ADH，
CG AC
∴ = ，
DH AD
∵AC=CD=1，
∴AD=2，
x 1
∴ = ，
DH 2
∴DH=2x，
∵DE=2，
∴y=2﹣2x，
∵0°＜α＜45°，
∴0＜x＜1，
故选D．
【点评】本题考查了动点问题的还是图象，矩形的性质，相似三角形的判定和
性质，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2017•铁岭）在函数y=√x-4中，自变量x的取值范围是 x ≥ 4
．
【考点】E4：函数自变量的取值范围；72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4，
则自变量x的取值范围是x≥4．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．（3分）（2017•铁岭）分解因式：x2y﹣6xy+9y= y （ x﹣3 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=y（x2﹣6x+9）=y（x﹣3）2，
故答案为：y（x﹣3）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．
13．（3分）（2017•铁岭）从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，则正1
比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 ．
5
【考点】X4：概率公式；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，有5种情况，其中使正比
例函数 y=kx 的图象经过第二、四象限的 k 值只有 1种，根据概率公式求解即
可．
【解答】解：∵从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，有5种情况，
其中使正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的k值只有1种，即k=﹣2，
1
∴满足条件的概率为 ．
5
1
故答案为 ．
5
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．也考查了正比例函数的性质．
14．（3分）（2017•铁岭）学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同
学代表学校参加市里举办的“汉字听写”大赛，四名同学平时成绩的平均数x
（单位：分）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9 9 9 9
4 8 8 6
s 1 1 1 1
2 . .
2 8
如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是 丙
．
【考点】W7：方差；W1：算术平均数．
【分析】先比较平均数得到乙同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到丙同
学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
【解答】解：∵乙、丙同学的平均数比甲、丁同学的平均数大，
∴应从乙和丙同学中选，
∵丙同学的方差比乙同学的小，
∴丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学；
故答案为：丙．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平
均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离
散程度越小，稳定性越好．
15．（3分）（2017•铁岭）如图，菱形ABCD的面积为6，边AD在x轴上，边
k
BC的中点E在y轴上，反比例函数y= 的图象经过顶点B，则k的值为 3 ．
x【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L8：菱形的性质．
【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB=90°，AB=2BE，推出∠EAB=30°，设AE=a，则
AB=2a，由题意2a×√3a=6，推出a2=√3，可得k=√3a2=3．
【解答】解：在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=2BE，
∴∠EAB=30°，
设AE=a，则AB=2a，
由题意2a×√3a=6，
∴a2=√3，
∴k=√3a2=3，
故答案为3．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）（2017•铁岭）在 ▱ABCD中，∠DAB的平分线交直线 CD于点E，
且DE=5，CE=3，则 ▱ABCD的周长为 2 6 ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】易证得△ADE是等腰三角形，所以可得AD=DE，再求出DC的长，继而
求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=DE+CE=8，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠DEA=∠EAD，
∴DE=AD=5，
∴ ▱ABCD的周长=2（AD+AB）=2×13=26，
故答案为：26．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．注意证得
△ADE是等腰三角形是关键．
17．（3 分）（2017•铁岭）如图，在圆心角为 135°的扇形 OAB 中，半径
OA=2cm，点C，D为^AB的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影3
部分的面积为 （ π﹣3√2） cm2．
2
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】易知△AOC≌△COD≌△DOB，如图作DH⊥OB于H．求出DH，即可求
出△DOB的面积，再根据阴影部分面积=扇形面积﹣三个三角形面积，计算即
可．
【解答】解：如图作DH⊥OB于H．
∵点C，D为^AB的三等分点，∠AOB=135°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=45°，
∴△ODH是等腰直角三角形，△AOC≌△COD≌△DOB，
∵OD=2，
∴DH=OH=√2，
1
∴S = •OB•DH=√2，
△ODB
2
∴S =S =S =√2，
△AOC △COD △DOB
135⋅π⋅22 3
∴S = ﹣3S =（ π﹣3√2）cm2，
阴
360
△DOB
2
3
故答案为（ π﹣3√2）cm2．
2
【点评】本题考查扇形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（3分）（2017•铁岭）如图，△ABC的面积为S．点P ，P ，P ，…，P
1 2 3 n﹣1
是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且
AM AN 1
= = ，连接 MP ，MP ，MP ，…，MP ，连接 NB，NP ，NP ，…，
AB AC n 1 2 3 n﹣1 1 2
NP ，线段MP 与NB相交于点D ，线段MP 与NP 相交于点D ，线段MP 与
n﹣1 1 1 2 1 2 3
NP 相交于点 D ，…，线段 MP 与 NP 相交于点 D ，则△ND P ，
2 3 n﹣1 n﹣2 n﹣1 1 1
n-1
△ND P ，△ND P ，…，△ND P 的面积和是 • S ．（用含有 S与n
2 2 3 3 n﹣1 n﹣1 2n
的式子表示）【考点】K3：三角形的面积．
【分析】连接MN，设BN交MP 于O ，MP 交NP 于O ，MP 交NP 于O ．由
1 1 2 1 2 3 2 3
AM AN 1 MN AM 1
= = ，推出MN∥BC，推出 = = ，由点P ，P ，P ，…，P 是
AB AC n BC AB n 1 2 3 n﹣1
边 BC 的 n 等分点，推出 MN=BP =P P =P P ，推出四边形 MNP B，四边形
1 1 2 2 3 1
1 n-1
MNP P ，四边形 MNP P 都是平行四边形，易知 S = •S，S = •S，
2 1 3 2 △ABN n △BCN n
n-1 n-1
S = •S，推出S =S =S = •S，根据 S =S ﹣n•S
△MNB n2 △BP 1 O 1 △P 1 P 2 O 2 △P 3 P 2 O 3 2n2 阴 △NBC △BP 1 O 1
计算即可；
【解答】解：连接 MN，设 BN 交 MP 于 O ，MP 交 NP 于 O ，MP 交 NP 于
1 1 2 1 2 3 2
O ．
3
AM AN 1
∵ = = ，
AB AC n
∴MN∥BC，
MN AM 1
∴ = = ，
BC AB n
∵点P ，P ，P ，…，P 是边BC的n等分点，
1 2 3 n﹣1
∴MN=BP =P P =P P ，
1 1 2 2 3
∴四边形MNP B，四边形MNP P ，四边形MNP P 都是平行四边形，
1 2 1 3 2
1 n-1 n-1
易知S = •S，S = •S，S = •S，
△ABN n △BCN n △MNB n2
n-1
∴S =S =S = •S，
△BP 1 O 1 △P 1 P 2 O 2 △P 3 P 2 O 3 2n2
n-1 n-1 n-1
∴S =S ﹣n•S = •S﹣n• •S= •S，
阴 △NBC △BP 1 O 1 n 2n2 2n
n-1
故答案为 •S．
2n【点评】本题考查三角形的面积，平行线的判定和性质、平行四边形的判定和
性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共2小题，共22分）
x y
19．（10分）（2017•铁岭）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=
x- y x2- y2
1
√3﹣2，y=（ ）﹣1．
2
【考点】6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入
即可解答本题．
x y
【解答】解：（ ﹣1）÷
x- y x2- y2
x-x+ y (x+ y)(x- y)
= ⋅
x- y y
y (x+ y)(x- y)
= ⋅
x- y y
=x+y，
1
当x=√3﹣2，y=（ ）﹣1=2时，原式=√3﹣2+2=√3．
2
【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分
式化简求值的方法．
20．（12分）（2017•铁岭）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱
国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，九年级每名学生按要求
都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部
分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次调查共抽取了多少名学生的征文；
（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年
级学生有多少名；
（4）本次抽取的3份以“诚信”为主题的征文分别是小义、小玉和大力的，若
从中随机选取2份以“诚信”为主题的征文进行交流，请用画树状图法或列表
法求小义和小玉同学的征文同时被选中的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用“诚信”的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数减去“爱国”“敬业”“诚信”“的人数，求出“友善”的人
数，从而补全统计图，分别求出百分比即可补全扇形图；
（3）用样本估计总体的思想解决问题即可；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可；
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%=50（名）．
15
（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15（名），占 =30%，
50
20 12
“爱国”占 =40%，“敬业”占 =24%．
50 50
条形统计图和扇形统计图如图所示，
（3）该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学
生有1200×30%=360名．
（4）记小义、小玉和大力分别为A、B、C．
树状图如图所示：
共有6种情形，小义和小玉同学的征文同时被选中的有2种情形，
1
小义和小玉同学的征文同时被选中的概率= ．
3
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及
求随机事件的概率；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计
图，才能作出正确的判断和解决问题．
四、解答题（本大题共2小题，共24分）
21．（12分）（2017•铁岭）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲
机器人工作2h，乙机器人工作4h，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作
3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹．
（1）求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；（2）“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣
包裹的总数量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机
器人工作2h，乙机器人工作 4h，一共可以分拣 700件包裹；若甲机器人工作
3h，乙机器人工作2h，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可；
（2）设它们每天要一起工作t小时，根据“甲、乙两机器人每天分拣包裹的总
数量不低于2250件”列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据题意
得
{&2x+4 y=700 {&x=150
，解得 ，
&3x+2y=650 & y=100
答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹；
（2）设它们每天要一起工作t小时，根据题意得
（150+100）t≥2250，
解得t≥9．
答：它们每天至少要一起工作9小时．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解决
问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的关系．
22．（12分）（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一
个舞台C，在岸边搭建了三个看台 A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线
上，看台 A，B 到舞台 C 的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小
明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 C的距离．
（结果保留根号）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出 BC、
CD即可解决问题．
【解答】解：如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．∵CA=CB，CE⊥AB，
∴AE=EB=30，
CE
∴tan30°= ，
AE
∴CE=10√3，AC=CB=2CE=20√3，
1
在Rt△CBH中，CH= BC=10√3，BH=√3CH=30，
2
在Rt△BHD中，∵∠D=45°，
∴BH=DH=30，
∴DC=DH+CH=30+10√3，
答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20√3m和（30+10√3）m．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）（2017•铁岭）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
1
连接 OC，BC，以点 C 为顶点，CB 为边作∠BCF= ∠BOC，延长 AB 交 CF 于点
2
D．
（1）求证：直线CF是半圆O的切线；
（2）若BD=5，CD=5√3，求^BC的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；MN：弧长的计算．
【分析】（1）欲证明CF是切线，只要证明OC⊥CF即可．
（2）由△DCB∽△DAC，可得DC：DA=DB：DC，设AB=x，则有75=5（5+x），
推出x=10，再证明∠COB=60°即可解决问题．
【解答】解：（1）作OH⊥BC于H．
∵OC=OB，OH⊥BC，
∴∠COH=∠BOH，
1
∵∠BCF= ∠BOC，
2
∴∠BCF=∠COH，
∵∠COH+∠OCH=90°，
∴∠BCF+∠OCH=90°，
∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）连接AC．
∵∠DCB=∠A，∠CDB=∠ADC，
∴△DCB∽△DAC，∴DC：DA=DB：DC，设AB=x，
则有75=5（5+x），
∴x=10，
∴OC=5，OD=10，
∴OD=2OC，∵∠OCD=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠COB=60°，
60⋅π⋅5 5
∴^BC的长= = π．
180 3
【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公
式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
24．（12分）（2017•铁岭）铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”
厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷
藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p
元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天
时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：
第 1 6
x ≤ ＜
天 x x
≤ ≤
6 1
5
每 1 x
天 0 +
的 6
销
售
量
y
/
盒
（1）求p与x的函数关系式；
（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天
的销售利润最大，最大销售利润是多少元？
（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于 325
元？请直接写出结果．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增
减性和二次函数的最值问题求解；
（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解．
【解答】解：（1）设p=kx+b（k≠0），
∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，
{&3k+b=21
∴ ，
&7k+b=25
{&k=1
解得 ，
&b=18
所以，p=x+18；
（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，
6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，
{&-10x+320(1≤x≤6)
所以，w与x的函数关系式为w= ，
&-x2+26x+192(6＜x≤15)
1≤x≤6时，∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，
6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，
∴当x=13时，w最大为361，
综上所述，第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；
（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，
x2﹣26x+133=0，
解得x =7，x =19，
1 2
所以，7≤x≤15时，即第7、8、9、10、11、12、13、14、15天共9天销售利
润不低于325元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问
题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模
型．
七、解答题（本大题共1小题，共12分）
25．（12分）（2017•铁岭）如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P
是边 BC 延长线上一点，以点 C 为顶点，CP 为边，在射线 BP 下方作
∠PCF=∠B．
（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．
①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；
②如图2，若AD=√2DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理
由；
（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，
使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋
转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．
【考点】RB：几何变换综合题．
【分析】（1）①结论：AB=CE，AB⊥CE．如图1中，作EH∥BA交BP于H．只
要证明△BDA≌△HDE，EC=EH即可解决问题；
② 结 论 ： AB=√2CE ， AB⊥ EC ． 如 图 2 中 ， 作 EH∥ BA 交 BP 于 H ． 由
AB AD
△ABD∽△EHD，可得 = =√2，推出AB=√2EH，再证明EC=EH，即可解决
EH DE
问题；
（2）结论：MN2=BM2+CN2．首先说明△BCC′是等腰直角三角形，将△C′BM绕
点C′顺时针旋转 90°得到△C′CG，连接 GN．只要证明△C′MN≌△C′GN，推出
MN=GN，在Rt△GCN中，根据GN2=CG2+CN2，即可证明；
【解答】解：（1）①结论：AB=CE，AB⊥CE．
理由：如图1中，作EH∥BA交BP于H．
∵AB∥EH，
∴∠B=∠DHE，
∵AD=DE，∠BDA=∠EDH，
∴△BDA≌△HDE，
∴AB=EH，∠B=∠EHC=45°
∵∠PCF=∠B=∠CHE，
∴EC=EH，
∴AB=EH，∠ECH=∠EHC=45°，
∴∠CEH=90°，
∴CE⊥EH，
∵AB∥EH，
∴AB⊥CE．
②结论：AB=√2CE，AB⊥EC．
理由：如图2中，作EH∥BA交BP于H．∵BA∥EH，
∴△ABD∽△EHD，
AB AD
∴ = =√2，
EH DE
∴AB=√2EH，
∵∠PCF=∠B=∠CHE，
∴EC=EH，
∴AB=√2EH，
∵∠B=∠PCF=∠CHE=45°，
∴∠CEH=90°，
∴CE⊥PE，∵AB∥PE，
∴AB⊥EC．
（2）结论：MN2=BM2+CN2．
理由：如图3中，
∵∠B=∠PCF=∠BCC′=45°，
∴△BCC′是等腰直角三角形，
将△C′BM绕点C′顺时针旋转90°得到△C′CG，连接GN．
∵∠C′CG=∠B=45°，
∴∠GCB=∠C′CG+∠C′CB=90°，
∴∠GCN=90°，
∵∠MC′G=90°，∠MC′N=45°，
∴∠NC′M=∠NC′G，
∵C′M=C′G，C′N=C′N，
∴△C′MN≌△C′GN，
∴MN=GN，
在Rt△GCN中，∵GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，
∴MN2=BM2+CN2．
【点评】本题考查几何变换综合题、平行线的性质、全等三角形的判定和性
质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
八、解答题（本大题共1小题，共14分）
26．（14分）（2017•铁岭）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别
为 A（3，0），D（﹣1，0），与 y 轴交于点 C，点 B 在 y 轴正半轴上，且
OB=OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在
抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；
（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点 F，连接BF，点G是x轴上一
点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）首先证明 BE⊥AB，分两种情形求解①作 BQ⊥EM 交 EM 于 Q，由
∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时
Q（1，1）．
2
②当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1， ），由
3
△Q′BK∽△Q′EB，可得Q′B2=Q′K•Q′E，列出方程即可解决问题；
（3）由题意可知当点N的纵坐标为±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形
是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，
由此即可解决问题；
【解答】解：（1）把 A（3，0），D（﹣1，0）代入 y=﹣x2+bx+c 得到
{&-9+3b+c=0
，
&-1-b+c=0
{&b=2
解得 ，
&c=3
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图1中，∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），∵A（3，0），B（0，1），
1
∴直线BE的解析式为y=3x+1，直线AB的解析式为y=﹣ x+1，
3
1
∵3×（﹣ ）=﹣1，
3
∴BE⊥AB，作BQ⊥EM交EM于Q，
∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，
∴∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时Q（1，1）．
2
当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1， ）
3
∵∠QBK=∠BEM，∠BQ′K=∠BQ′E，
∴△Q′BK∽△Q′EB，
∴Q′B2=Q′K•Q′E，
2
∴12+（m﹣1）2=（ ﹣m）•（4﹣m），
3
1
解得m= ，
4
1
∴Q（1， ），
4
1
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，1）或（1， ）．
4
（3）如图3中，由题意可知当点N的纵坐标为±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行
四边形，
当 y=2 时，﹣x2+2x+3=2，解得 x=1±√2，可得 N （1+√2，2），N （1﹣√2，
1 4
2），
当y=﹣2时，﹣x2+2x+3=﹣2，解得x=1±√6，可得N （1+√6，﹣2），N （1﹣
2 3
√6，﹣2），
当 N 与 E 重合，G 与 M 重合时，四边形 BNFG 是平行四边形，此时 N （1，
5
4），
综上所述，满足条件的点 N的坐标为（1+√2，2）或（1﹣√2，2）或（1+√6，
﹣2）或（1﹣√6，﹣2）或（1，4）．
【点评】本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、两直线垂直的判定、
平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
