文档内容
2015 年广西省贺州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.（2015•贺州）下列各数是负数的是（ ）
1
A. 0 B.
3
C. 2.5
D. -1
2.（2015•贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A. ∠1和∠2 B. ∠3和∠5 C. ∠3和∠4 D. ∠1和∠5
3.（2015•贺州）下列实数是无理数的是（ ）
A. 5 B.
1
0 C.
3
D. √2
4.（2015•贺州）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.5.（2015•贺州）一组数据3，2，x，1，2的平均数是2，则这组数据的中位数和众数分别
是（ ）
A. 3，2 B. 2，1 C. 2，
2.5 D. 2，2
6.（2015•贺州）下列运算正确的是（ ）
A. （x2）3+（x3）2=2x6 B. （x2）3•（x2）3=2x12
C. x4•（2x）2=2x6 D. （2x）3•
（﹣x）2=﹣8x5
7.（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（ ）
A. 4xy（x﹣y）﹣x3 B. ﹣x（x﹣2y）2 C. x（4xy﹣4y2﹣x2） D. ﹣x
（﹣4xy+4y2+x2）
8.（2015•贺州）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
9.（2015•贺州）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰
好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A. 34° B. 36° C. 38°
D. 40°
k
10.（2015•贺州）已知k ＜0＜k ， 则函数y= 1和y=k x﹣1的图象大致是（ ）
1 2 x 2A. B. C. D.
11.（2015•贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长
线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
1
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD， 其中正确的个数为（ ）
2
A. 4个 B. 3个 C. 2
个 D. 1个
12.（2015•贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，
解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ）
A. 0 B.
3 C.
4 D. 8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.（2015•贺州）函数y=√x+1的自变量x的取值范围为 ________．
14.（2015•贺州）中国的陆地面积约为9600000km2 ， 这个面积用科学记数法表示
为 ________km2 ．15.（2015•贺州）某校在一次期末考试中，随机抽取八年级30名学生的数学成绩进行分
析，其中3名学生的数学成绩达108分以上，据此估计该校八年级630名学生中期末考试
数学成绩达108分以上的学生约有 ________名．
16.（2015•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转
90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是 _____
___（结果保留π）．
17.（2015•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a
1
﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y ）和（- ，y ）在该图象上，则y
1 3 2 1
＞y ． 其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）．
2
18.（2015•贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重
3
合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= ，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；
4
21
②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或 ；④0＜BE≤
425
，其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）.
5
三、解答题（本大题共8题，满分66分，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
1
19.（2015•贺州）计算：（4﹣π）0+（- ）﹣1﹣2cos60°+|﹣3|
2
x+1 3 4
= -
20.（2015•贺州）解分式方程： ．
4x2-1 2x+1 4x-2
21.（2015•贺州）在甲口袋中有三张完全相同的卡片，分别标有﹣1，1，2，乙口袋中有完
全相同的卡片，分别标有﹣2，3，4，从这两个口袋中各随机取出一张卡片．
（1）用树状图或列表表示所有可能出现的结果；
（2）求两次取出卡片的数字之积为正数的概率．
22.（2015•贺州）根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千
米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为10√2米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如
图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间
为3秒．（1）求测速点M到该公路的距离；
（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）
23.（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于
点F．若DE=4，BD=8．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：BF平分∠ABD．
24.（2015•贺州）某商场销售一批同型号的彩电，第一个月售出50台，为了减少库存，第
二个月每台降价500元将这批彩电全部售出，两个月的销售量的比是9：10，已知第一个
月的销售额与第二个月的销售额相等，这两个月销售总额超过40万元．
（1）求第一个月每台彩电销售价格；
（2）这批彩电最少有多少台？
25.（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂
足为D，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）．26.（2015•贺州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，
3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
2015 年广西省贺州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.（2015•贺州）下列各数是负数的是（ ）
A. 0 B.
C. 2.5 D. -1
【答案】D
【考点】正数和负数
【解析】解：﹣1是一个负数．故选：D．
【分析】在正数的前面加上一个负号就表示一个负数．
2.（2015•贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A. ∠1和∠2 B. ∠3和∠5 C. ∠3和∠4 D. ∠1和∠5
【答案】B
【考点】对顶角、邻补角
【解析】解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，
故选B．
【分析】根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角是否
有公共边，没有公共边有公共顶点的是对顶角．
3.（2015•贺州）下列实数是无理数的是（ ）
A. 5 B. 0 C.
D.
【答案】D
【考点】无理数的认识
【解析】解：5，0， 是有理数，只有 是无理数，
故选D．
【分析】根据无理数就是无限不循环小数即可判定选择项．
4.（2015•贺州）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C正确；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误．
故选C．
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
5.（2015•贺州）一组数据3，2，x，1，2的平均数是2，则这组数据的中位数和众数分别
是（ ）
A. 3，2 B. 2，1 C. 2，2.5
D. 2，2
【答案】D
【考点】平均数及其计算
【解析】解：∵这组数据3，2，x，1，2的平均数是2，
∴（3+2+x+1+2）÷5=2，
解得：x=2，
把这组数据从小到大排列为1，2，2，2，3，
∴这组数据的中位数是2，
∵2出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2．
故选D．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个
数的平均数和出现次数最多的数即可．
6.（2015•贺州）下列运算正确的是（ ）
A. （x2）3+（x3）2=2x6 B. （x2）3•（x2）3=2x12
C. x4•（2x）2=2x6 D. （2x）3•（﹣x）
2=﹣8x5
【答案】A
【考点】幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式
【解析】解：A、原式=x6+x6=2x6 ， 故A正确；
B、原式=x6•x6=x12 ， 故B错误；
C、原式=x4•4x2=4x6 ， 故C错误；
D、原式=8x3•x2=8x5 ， 故D错误；
故选：A．
【分析】根据幂的乘方，可得同类项，根据合并同类项，可判断A；根据幂的乘方，可得
同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可判断B；根据幂的乘方，可得同底数幂的乘
法，根据同底数幂的乘法，可判断C；根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数
幂的乘法，可判断D．7.（2015•贺州）把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（ ）
A. 4xy（x﹣y）﹣x3 B. ﹣x（x﹣2y）2 C. x（4xy﹣4y2﹣x2） D. ﹣x
（﹣4xy+4y2+x2）
【答案】B
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x（x2﹣4xy+4y2）
=﹣x（x﹣2y）2 ，
故选：B．
【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．
8.（2015•贺州）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D
.
【答案】A
【考点】简单组合体的三视图
【解析】解：如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是 ．
故选：A．
【分析】从左边看几何体得到左视图即可．
9.（2015•贺州）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰
好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）A. 34° B. 36° C. 38°
D. 40°
【答案】C
【考点】旋转的性质
【解析】解：由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°﹣31°﹣31°=38°．
故选：C．
【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
10.（2015•贺州）已知k ＜0＜k ， 则函数 和y=k x﹣1的图象大致是（ ）
1 2 2
A. B. C.
D.
【答案】C
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象
【解析】解：∵k ＜0＜k ， b=﹣1＜0，
1 2
∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故选：C．
【分析】根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．
11.（2015•贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长
线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD， 其中正确的个数为（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2
个 D. 1个
【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】连接DO，∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，∵DO=CO，∴∠C=∠CDO=30°，∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，∴AD=DC，故①正确；∵∠A=30°，∠DBC=60°，∴∠ADB=30°，∴AB=BD，故②
正确；∵∠C=30°，∠BDC=90°，∴BD= BC，∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；无法得到BD=CD，故④错误．故选：B
【分析】利用圆周角定理结合切线的性质得出∠BDC=∠ADO=90°，进而得出∠A，∠ADB的
度数即可得出答案，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半进而得出AB= BC，
判断即可．
12.（2015•贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，
解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（ ）
A. 0 B. 3 C
. 4 D. 8
【答案】B
【考点】探索数与式的规律【解析】解：21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，
…，
末位数字以2，4，8，6循环，
原式=2+22+23+24+…+22015﹣1= ﹣1=22016﹣3，
∵2016÷4=504，
∴22016末位数字为6，
则2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是3，
故选B
【分析】观察已知等式，发现末位数字以2，4，8，6循环，原式整理后判断即可得到结
果．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.（2015•贺州）函数 的自变量x的取值范围为 ________．
【答案】x≥﹣1
【考点】函数自变量的取值范围
【解析】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
14.（2015•贺州）中国的陆地面积约为9600000km2 ， 这个面积用科学记数法表示
为 ________km2 ．
【答案】9.6×106
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】解：9600000km2用科学记数法表示为9.6×106 ．
故答案为：9.6×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
15.（2015•贺州）某校在一次期末考试中，随机抽取八年级30名学生的数学成绩进行分
析，其中3名学生的数学成绩达108分以上，据此估计该校八年级630名学生中期末考试
数学成绩达108分以上的学生约有 ________名．
【答案】63
【考点】用样本估计总体
【解析】解：∵随机抽取30名学生的数学成绩进行分析，有3名学生的成绩达108分以上，
∴八年级630名学生中期末考试数学成绩达108分以上的学生约有630× =63（名）；
故答案为：63．
【分析】先求出随机抽取的30名学生中成绩达到108分以上的所占的百分比，再乘以
630，即可得出答案．
16.（2015•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转
90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是 _____
___（结果保留π）．
【答案】
【考点】扇形面积的计算，旋转的性质
【解析】解：如图，连接BD与B′D，
点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是：
S +S = π×52+3×4= +12．
扇形BDB′ 矩形ABCD
故答案为： +12．
【分析】利利点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是=S +S 求
扇形BDB′ 矩形ABCD
解即可．
17.（2015•贺州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y ）和（ ，y ）在该图象上，则y
1 2 1
＞y ． 其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）．
2
【答案】②④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】解：
∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴﹣ =1，
∴b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，
故①、③都不正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
故②正确；
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣ ，
∴y ＜y ，
1 2
故⑤不正确；
综上可知正确的为②④，故答案为：②④．
【分析】由图象可先判断a、b、c的符号，可判断①；由x=﹣1时函数的图象在x轴下方可
判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当x=2时，函数值大于0，可判断④；结合
二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案．
18.（2015•贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重
合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= ，有以下的结论：①△ADE∽△ ACD；
②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或 ；④0＜BE≤
，其中正确的结论是 ________（填入正确结论的序号）.
【答案】②③
【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】解：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①错误；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α= ，
∴ ，
∴ ，
∴cosα= ，∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD与△DBE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正确；
③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α= ，AB=15，
∴
∴BD=12．
当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα= ，AC=15，
∴cosC= ，∴CD= ．
∵BC=24，
∴BD=24﹣ =
即当△DCE为直角三角形时，BD=12或 ．
故③正确；
④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
设CD=y，BE=x，
∴ ，
∴ ，
整理得：y2﹣24y+144=144﹣15x，
即（y﹣12）2=144﹣15x，
∴0＜x≤ ，
∴0＜BE≤ ．
故④错误．
故正确的结论为：②③．
故答案为：②③．
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由CD=9，则BD=15，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
三、解答题（本大题共8题，满分66分，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
19.（2015•贺州）计算：（4﹣π）0+（ ）﹣1﹣2cos60°+|﹣3|
【答案】【解答】解：原式=1﹣2﹣2× +3
=1﹣2﹣1+3
=1．
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函
数值
【解析】根据零整数指数幂、负整数指数幂、绝对值和三角函数计算即可．
20.（2015•贺州）解分式方程： ．
【答案】【解答】解：原方程即 ，
两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），
x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，
解得：x=6．
经检验：x=6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x=6．
【考点】解分式方程
【解析】方程两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1），即可化成整式方程，解方程求得x的值，
然后进行检验，确定方程的解．
21.（2015•贺州）在甲口袋中有三张完全相同的卡片，分别标有﹣1，1，2，乙口袋中有完
全相同的卡片，分别标有﹣2，3，4，从这两个口袋中各随机取出一张卡片．
（1）用树状图或列表表示所有可能出现的结果；
（2）求两次取出卡片的数字之积为正数的概率．
【答案】（1）【解答】解：根据题意列表如下：
﹣1 1 2
﹣2 ﹣1，﹣2 1，﹣2 2，﹣2
3 ﹣1，3 3，1 2，34 ﹣1，4 1，4 2，4
由表可知共9种情况；
（2）由1可知两次取出卡片的数字之积为正数有5种情况，
所以其概率= ．
【考点】列表法与树状图法
【解析】（1）根据甲口袋中的﹣1，1，2，乙口袋分别标有﹣2，3，4，列表即可得到所有
可能出现的结果；
（2）利用（1）中的表格求出两次取出卡片的数字之积为正数的概率即可．
22.（2015•贺州）根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千
米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为 米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如
图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间
为3秒．
（1）求测速点M到该公路的距离；
（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】（1）【解答】解：过M作MN⊥AB，
在Rt△AMN中，AM= ，∠MAN=45°，
∴sin∠MAN= ，即 ，
解得：MN=10，
则测速点M到该公路的距离为10米；
（2）由1知：AN=MN=10米，
在Rt△MNB中，∠MBN=30°，由tan∠MBN= ，得： ，
解得：BN= （米），
∴AB=AN+NB=10+ ≈27.3（米），
∴汽车从A到B的平均速度为27.3÷3=9.1（米/秒），
∵9.1米/秒=32.76千米/时＜40千米/时，
∴此车没有超速．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】
23.（2015•贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于
点F．若DE=4，BD=8．
（1）求证：AF=EF；
（2）求证：BF平分∠ABD．
【答案】（1）【解答】证明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，
∵△BED是△BCD翻折而成，
∴ED=CD，∠E=∠C，
∴ED=AB，∠E=∠A．
在△ABF与△EDF中，
∵ ，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴AF=EF；
（2）在Rt△BCD中，
∵DC=DE=4，DB=8，
∴sin∠CBD= ，∴∠CBD=30°，
∴∠EBD=∠CBD=30°，
∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，
∴∠ABF=∠DBF，
∴BF平分∠ABD．
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】（1）先根据翻折变换的性质得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS
定理得出△ABF≌△EDF，故可得出结论；
（2）在Rt△BCD中根据sin∠CBD= 可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三
角形的性质可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．
24.（2015•贺州）某商场销售一批同型号的彩电，第一个月售出50台，为了减少库存，第
二个月每台降价500元将这批彩电全部售出，两个月的销售量的比是9：10，已知第一个
月的销售额与第二个月的销售额相等，这两个月销售总额超过40万元．
（1）求第一个月每台彩电销售价格；
（2）这批彩电最少有多少台？
【答案】（1）【解答】解：设第一个月每台彩电售价为x元，则第二个月每台彩电售价为
（x﹣500）元，依题意有
9x=10（x﹣500），
解得x=5000．
答：第一个月每台彩电售价为5000元．
（2）设这批彩电有y台，依题意有
5000×50+（5000﹣500）（y﹣50）＞400000，
解得y＞ ，
∵y为整数，
∴y≥84．
答：这批彩电最少有84台．
【考点】一元一次不等式的应用
【解析】（1）可设第一个月每台彩电售价为x元，则第二个月每台彩电售价为（x﹣500）
元，根据等量关系：第一个月的销售额与第二个月的销售额相等，列出方程求解即可；
（2）设这批彩电有y台，根据不等关系：这两个月销售总额超过40万元，列出不等式求
解即可．
25.（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂
足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE= cm，AC= cm，求DC的长（结果保留根号）．
【答案】（1）【解答】证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵OE⊥AC，
∴AE= AC= cm，
在Rt△AOE中，AO= =4cm，
由1得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，
∴△AOE∽△ACD，∴ ，
即 ，
∴DC= cm．
【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】
26.（2015•贺州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，
3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）【解答】解：把点A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：
，
解得：
∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1：过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点
E，
∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴CE=1，
∵AO=BO=3，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴BE=CE=1，
∴OE=OB+BE=4，
∴点C的坐标为（﹣1，4）；
（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，如图2：
连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB=
= ，
∵S =3，
△APB
∴PD=
∵∠PFD=∠ABO=45°，
∴PF=2，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y=x+3，
∴可设点F的坐标为（m，m+3），
①当点P在直线AB上方时，
可得：﹣m2﹣2m+3=m+3+2，
解得：m=﹣1或﹣2，
∴符合条件的点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
②当点P在直线AB下方时，
可得：﹣m2﹣2m+3=m+3﹣2，解得：m= 或 ，
∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（ ， ）
综上可知符合条件的点P有4个，坐标分别为：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（ ，
）或（ ， ）．
【考点】二次函数的应用
【解析】（1）把点A（﹣3，0），B（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c
的值即可；
（2）过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，易求点
C的横坐标，再求出OE的长，即可得到点C的纵坐标；
（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，连接PA，PB，过P作PD⊥AB
于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB= =3 ，设点P的坐
标为（m，﹣m2﹣2m+3），设点F的坐标为（m，m+3），再分两种情况①当点P在直线
AB上方时，②当点P在直线AB下方时分别讨论求出符合条件点P的坐标即可．
