文档内容
2015 年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题四个选项，其中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•贵港）3的倒数是（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣
2．（3分）（2015•贵港）计算 × 的结果是（ ）
A． B． C． 3 D． 5
3．（3分）（2015•贵港）如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它
的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•贵港）下列因式分解错误的是（ ）
A． 2a﹣2b=2（a﹣b） B． x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C． a2+4a﹣4=（a+2）2 D． ﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
5．（3分）（2015•贵港）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关
于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
6．（3分）（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则
整数a的最大值为（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
7．（3分）（2015•贵港）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A． 三点确定一个圆 B． 圆内接四边形对角互余
C． 若a2=b2，则a=b D． 若 = ，则a=b8．（3分）（2015•贵港）若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边
形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是
（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•贵港）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD相交于点E，F，
∠BEF的平分线与CD相交于点N．若∠1=63°，则∠2=（ ）
A． 64° B． 63° C． 60° D． 54°
10．（3分）（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ
的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（
）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
11．（3分）（2015•贵港）如图，已知二次函数y = x2﹣ x的图象与正比例函数y =
1 2
x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y ＜y ，则x的取值范围
1 2
是（ ）A． 0＜x＜2 B． 0＜x＜3 C． 2＜x＜3 D． x＜0或x＞3
12．（3分）（2015•贵港）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点
F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；
④tan∠CAD= ；⑤S = S ，其中正确的结论有（ ）
四边形CDEF ABF
△
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•贵港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
14．（3分）（2015•贵港）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据
0.0000065用科学记数法表示为 ．
15．（3分）（2015•贵港）在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一
组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频数是0.2，则第六组的频数是
．
16．（3分）（2015•贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接
AE，BE，则∠AEB的度数为 ．17．（3分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该
圆锥的侧面展开图的面积为 ．
18．（3分）（2015•贵港）如图，已知点A ，A ，…，A 均在直线y=x﹣1上，点B ，
1 2 n 1
B ，…，B 均在双曲线y=﹣ 上，并且满足：A B ⊥x轴，B A ⊥y轴，A B ⊥x轴，
2 n 1 1 1 2 2 2
B A ⊥y轴，…，A B ⊥x轴，B A ⊥y轴，…，记点A 的横坐标为a（n为正整
2 3 n n n n+1 n n
数）．若a =﹣1，则a = ．
1 2015
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
19．（10分）（2015•贵港）（1）计算：﹣2﹣1+（ ﹣π）0﹣| ﹣2|﹣2cos30°；
（2）解不等式组 ，并在数轴上表示不等式组的解集．20．（5分）（2015•贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，
1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ．
2 2 2
（2）请写出直线B C 与直线B C 的交点坐标．
1 1 2 2
21．（7分）（2015•贵港）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= 的图象交
于点A和点B（﹣2，n），与x轴交于点C（﹣1，0），连接OA．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在坐标轴上，且满足PA=OA，求点P的坐标．22．（8分）（2015•贵港）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙
两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，
100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
分数（分） 人数（人）
70 7
80
90 1
100 8
（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为 ；
（2）请你将图②补充完整；
（3）求乙校成绩的平均分；
（4）经计算知S 2=135，S 2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出
甲 乙
合理评价．23．（8分）（2015•贵港）某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平
均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，
二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需
要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平
均生产量的2倍．
问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？
24．（8分）（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连
接AC，CM．
（1）若AB=4 ，求 的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．
25．（10分）（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），
与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐
标．26．（10分）（2015•贵港）已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的
直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问
题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ，PA= ，则：
①线段PB= ，PC= ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利
用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足 = ，求 的值．（提示：请利用备用图进行探求 ）2015 年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题四个选项，其中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•贵港）3的倒数是（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣
考点： 倒数．
分析： 根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
解答： 解：有理数3的倒数是 ．
故选：C．
点评： 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）（2015•贵港）计算 × 的结果是（ ）
A． B． C． 3 D． 5
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的乘法计算即可．
解答： 解： × = ．
故选B．
点评： 此题考查二次根式的乘法，关键是根据二次根式的乘法法则进行计算．
3．（3分）（2015•贵港）如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体图形，它
的俯视图是（ ）A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
解答： 解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方
形，右边一个小正方形，
故选：B．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4．（3分）（2015•贵港）下列因式分解错误的是（ ）
A． 2a﹣2b=2（a﹣b） B． x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C． a2+4a﹣4=（a+2）2 D． ﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等．
分析： 根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．
解答： 解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；
B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；
C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；
D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；
故选C．
点评： 本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理
解．
5．（3分）（2015•贵港）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关
于原点对称，则点M（m，n）在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则
m=2且n=﹣3，从而得出点M（m，n）所在的象限．
解答： 解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴m=2且m﹣n=﹣3，
∴m=2，n=5
∴点M（m，n）在第一象限，
故选A．
点评： 本题考查了平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反
数，该题比较简单．
6．（3分）（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则
整数a的最大值为（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 由关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则a﹣1≠0，且
△≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，解不等式得到a的取值范围，最后确
定a的最大整数值．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤ 且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式
△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的
实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特
殊解．7．（3分）（2015•贵港）下列命题中，属于真命题的是（ ）
A． 三点确定一个圆 B． 圆内接四边形对角互余
C． 若a2=b2，则a=b D． 若 = ，则a=b
考点： 命题与定理．
分析： 根据确定圆的条件对A进行判断；
根据圆内接四边形的性质对B进行判断；
根据a2=b2，得出两数相等或相反对C进行判断；
根据立方根对D进行判断．
解答： 解：A、任意不共线的三点确定一个圆，所以错误；
B、圆的内接四边形的对角互补，错误；
C、若a2=b2，则a=b或a=﹣b，错误；
D、若 = ，则a=b，正确；
故选D．
点评： 本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误
的命题称为假命题．
8．（3分）（2015•贵港）若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边
形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是
（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式；中心对称图形．
专题： 计算题．
分析： 根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称
图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．解答： 解：这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的
概率= ．
故选C．
点评： 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果
数除以所有可能出现的结果数．也考查了中心对称图形．
9．（3分）（2015•贵港）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD相交于点E，F，
∠BEF的平分线与CD相交于点N．若∠1=63°，则∠2=（ ）
A． 64° B． 63° C． 60° D． 54°
考点： 平行线的性质．
分析： 先根据平行线的性质求出∠BEN的度数，再由角平分线的定义得出∠BEF
的度数，根据平行线的性质即可得出∠2的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，∠1=63°，
∴∠BEN=∠1=63°．
∵EN平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEN=126°，
∴∠2=180°﹣∠BEF=180°﹣126°=54°．故选D．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．也考查了角平分线定义．
10．（3分）（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ
的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（
）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 点与圆的位置关系；三角形中位线定理；轨迹．
专题： 计算题．
分析： 取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则
MN= OQ=1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM
最小，最小值为1．
解答： 解：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，∴MN= OQ= ×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
在△OMN中，1＜OM＜3，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
故选B．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半
径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系
11．（3分）（2015•贵港）如图，已知二次函数y = x2﹣ x的图象与正比例函数y =
1 2
x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y ＜y ，则x的取值范围
1 2
是（ ）
A． 0＜x＜2 B． 0＜x＜3 C． 2＜x＜3 D． x＜0或x＞3
考点： 二次函数与不等式（组）．分析： 由二次函数y = x2﹣ x的图象与正比例函数y = x的图象交于点A（3，
1 2
2），与x轴交于点B（2，0），然后观察图象，即可求得答案．
解答： 解：∵二次函数y = x2﹣ x的图象与正比例函数y = x的图象交于点A
1 2
（3，2），与x轴交于点B（2，0），
∴由图象得：若0＜y ＜y ，则x的取值范围是：2＜x＜3．
1 2
故选C．
点评： 此题考查了二次函数与不等式的关系．注意掌握数形结合思想的应用是
关键．
12．（3分）（2015•贵港）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点
F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；
④tan∠CAD= ；⑤S = S ，其中正确的结论有（ ）
四边形CDEF ABF
△
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
分析： ①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又
∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=
BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④而CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误；
⑤根据△AEF∽△CBF得到 ，求出S = S ，S = S S
AEF ABF ABF 矩形ABCD 四边形
△ △ △
=S ﹣S = S ﹣ S = S ，即可得到S =
CDEF ACD AEF 矩形ABCD 矩形ABCD 矩形ABCD 四边形CDEF
△ △
S ，故⑤正确．
ABF
△
解答： 解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵tan∠CAD= ，
而CD与AD的大小不知道，
∴tan∠CAD的值无法判断，故④错误；
∵△AEF∽△CBF，
∴ ，
∴S = S ，S = S
AEF ABF ABF 矩形ABCD
△ △ △
∵S = S ，S = S ，
ABE 矩形ABCD ACD 矩形ABCD
△ △
∴S = S ，
AEF 四边形ABCD
△
又∵S =S ﹣S = S ﹣ S = S ，
四边形CDEF ACD AEF 矩形ABCD 矩形ABCD 矩形ABCD
△ △
∴S = S ，故⑤正确；
四边形CDEF ABF
△故选B．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正
确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•贵港）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣ 2
．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式
即可．
解答： 解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
点评： 此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中
的被开方数是非负数．
14．（3分）（2015•贵港）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据
0.0000065用科学记数法表示为 6.5×1 0 ﹣ 6 ．
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
解答： 解：0.0000065=6.5×10﹣6．故答案为6.5×10﹣6．
点评： 本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，关键是用a×10（n 1≤a＜10，n为负
整数）表示较小的数．
15．（3分）（2015•贵港）在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一
组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频数是0.2，则第六组的频数是 5
．
考点： 频数与频率．
分析： 一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，
8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的
频数，得到第六组的频数．
解答： 解：∵一个容量为50的样本，
把它分成6组，
第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，
第五组的频率是0.2，则第五组的频数是0.2×50=10，
∴第六组的频数是50﹣6﹣8﹣9﹣10﹣12=5．
故答案为：5．
点评： 此题考查频数与频率问题，关键是利用频数、频率和样本容量三者之间的
关系进行分析．
16．（3分）（2015•贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接
AE，BE，则∠AEB的度数为 30 ° ．考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．
分析： 由正方形和等边三角形的性质得出∠ADE=∠BCE=150°，
AD=DE=BC=CE，得出∠DEA=∠CEB=15°，即可得出∠AEB的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB= （180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30°．
点评： 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质
三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是
解决问题的关键．
17．（3分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该
圆锥的侧面展开图的面积为 15 π ．考点： 圆锥的计算．
分析： 根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的
面积．
解答： 解：∵OB= BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5，
侧面展开图的面积为： ×6π×5=15π．
故答案为：15π．
点评： 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面
积的计算公式是解题的关键．
18．（3分）（2015•贵港）如图，已知点A ，A ，…，A 均在直线y=x﹣1上，点B ，
1 2 n 1
B ，…，B 均在双曲线y=﹣ 上，并且满足：A B ⊥x轴，B A ⊥y轴，A B ⊥x轴，
2 n 1 1 1 2 2 2
B A ⊥y轴，…，A B ⊥x轴，B A ⊥y轴，…，记点A 的横坐标为a（n为正整
2 3 n n n n+1 n n
数）．若a =﹣1，则a = 2 ．
1 2015
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 规律型．分析： 首先根据a =﹣1，求出a =2，a = ，a =﹣1，a =2，…，所以a ，a ，a ，a ，
1 2 3 4 5 1 2 3 4
a ，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、、2；然后用2015除以3，根据商和余数的
5
情况，判断出a 是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
2015
解答： 解：∵a =﹣1，
1
∴B 的坐标是（﹣1，1），
1
∴A 的坐标是（2，1），
2
即a =2，
2
∵a =2，
2
∴B 的坐标是（2，﹣ ），
2
∴A 的坐标是（ ，﹣ ），
3
即a = ，
3
∵a = ，
3
∴B 的坐标是（ ，﹣2），
3
∴A 的坐标是（﹣1，﹣2），
4
即a =﹣1，
4
∵a =﹣1，
4
∴B 的坐标是（﹣1，1），
4
∴A 的坐标是（2，1），
5
即a =2，
5…，
∴a ，a ，a ，a ，a ，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、 、2，
1 2 3 4 5
∵2015÷3=671…2，
∴a 是第672个循环的第2个数，
2015
∴a =2．
2015
故答案为：2．
点评： （1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解
答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中
任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是
定值|k|．
（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x
轴的交点坐标是（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标
都满足函数关系式y=kx+b．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
19．（10分）（2015•贵港）（1）计算：﹣2﹣1+（ ﹣π）0﹣| ﹣2|﹣2cos30°；
（2）解不等式组 ，并在数轴上表示不等式组的解集．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一
元一次不等式组；特殊角的三角函数值．
分析： （1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点
进行计算结果即可；（2）先解每一个不等式，再把解集画在数轴上即可．
解答： 解：（1）原式=﹣ +1+ ﹣2﹣2×
= + ﹣2﹣
=﹣ ；
（2） ，
解①得x＜1，
解②得x≥﹣1，
把解集表示在数轴上为：
，
不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
点评： 本题考查实数的综合运算能力，以及不等式组的解集，是各地中考题中常
见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次
根式、绝对值等考点的运算．
20．（5分）（2015•贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，
1），C（4，4）．
（1）请按要求画图：
①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ．
2 2 2
（2）请写出直线B C 与直线B C 的交点坐标．
1 1 2 2考点： 作图-旋转变换；两条直线相交或平行问题；作图-平移变换．
分析： （1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A 、B 、C 的位置，然后
1 1 1
顺次连接即可；
（2）根据旋转角度，旋转方向，分别找到A、B、C的对应点，顺次连接可得
△A B C ；
2 2 2
（3）由图形可知交点坐标；
解答： 解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求；
2 2 2
（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．
点评： 此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键．21．（7分）（2015•贵港）如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= 的图象交
于点A和点B（﹣2，n），与x轴交于点C（﹣1，0），连接OA．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在坐标轴上，且满足PA=OA，求点P的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把C（﹣1，0）代入y=x+b，求出b的值，得到一次函数的解析式；再求
出B点坐标，然后将B点坐标代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的
解析式；
（2）先将反比例函数与一次函数的解析式联立，求出A点坐标，再分①点P在x
轴上；②点P在y轴上；两种情况进行讨论．
解答： 解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点C（﹣1，0），
∴﹣1+b=0，解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵一次函数y=x+1的图象过点B（﹣2，n），
∴n=﹣2+1=﹣1，
∴B（﹣2，﹣1）．
∵反比例函数y= 的图象过点B（﹣2，﹣1），∴k=﹣2×（﹣1）=2，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）由 ，解得 ，或 ，
∵B（﹣2，﹣1），
∴A（1，2）．
分两种情况：
①如果点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），
∵PA=OA，
∴（x﹣1）2+22=12+22，
解得x =2，x =0（不合题意舍去），
1 2
∴点P的坐标为（2，0）；
②如果点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），
∵PA=OA，
∴12+（y﹣2）2=12+22，
解得y =4，y =0（不合题意舍去），
1 2
∴点P的坐标为（0，4）；
综上所述，所求点P的坐标为（2，0）或（0，4）．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函
数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交
点，方程组无解，则两者无交点．利用待定系数法正确求出反比例函数与一次函
数的解析式是解题的关键．22．（8分）（2015•贵港）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙
两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，
100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
分数（分） 人数（人）
70 7
80
90 1
100 8
（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为 54 ° ；
（2）请你将图②补充完整；
（3）求乙校成绩的平均分；
（4）经计算知S 2=135，S 2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出
甲 乙
合理评价．
考点： 条形统计图；扇形统计图；加权平均数；方差．
分析： （1）根据统计图可知甲班70分的有6人，从而可求得总人数，然后可求得
成绩为80分的同学所占的百分比，最后根据圆心角的度数=360°×百分比即可求
得答案；
（2）用总人数减去成绩为70分、80分、90分的人数即可求得成绩为100分的人数，
从而可补全统计图；
（3）先求得乙班成绩为80分的人数，然后利用加权平均数公式计算平均数；
（4）根据方差的意义即可做出评价．解答： 解：（1）6÷30%=20，
3÷20=15%，
360°×15%=54°；
（2）20﹣6﹣3﹣6=5，统计图补充如下：
（3）20﹣1﹣7﹣8=4， =85；
（4）∵S 2＜S 2，
甲 乙
∴甲班20同名同学的成绩比较整齐．
点评： 本题主要考查的是统计图和统计表的应用，属于基础题目，解答本题需要
同学们，数量掌握方差的意义、加权平均数的计算公式以及频数、百分比、数据总
数之间的关系．
23．（8分）（2015•贵港）某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知去年月平
均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，
二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需
要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平
均生产量的2倍．
问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？
考点： 分式方程的应用．
分析： 今年一月份生产量为：120（1+m%）；二月份生产量：120（1+m%）+50；根
据“二月份生产60台机器所需要时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三
月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍”列出方程并解答．解答： 解：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为（1+m%），二
月份的生产效率为1+m%+ ．
根据题意得： ，
解得：m%= ．
经检验可知m%= 是原方程的解．
∴m=25．
∴第一季度的总产量=120×1.25+120×1.25+50+120×2=590．
答：今年第一季度生产总量是590台，m的值是25．
点评： 本题主要考查的是分式方程的应用，表示出一月份和二月份的生产效率
是解题的关键．
24．（8分）（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连
接AC，CM．
（1）若AB=4 ，求 的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．
考点： 切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．
专题： 计算题．分析： （1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形
AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股
定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出 的长；
（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到
三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等
量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角
相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四
边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
解答： （1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，
∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，
∵OE⊥AB，E为OD中点，
∴OE= OD= OA，
∴在Rt AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，
△
设OA=x，则OE= x，AE= x，
∵AB=4 ，
∴AB=2AE= x=4 ，
解得：x=4，
则 的长l= = ；
（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，
∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，
∵BM为圆O的切线，
∴OB⊥BM，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，
∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，
∴CM∥AB，
∴四边形ABMC为菱形．
点评： 此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧
长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
25．（10分）（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），
与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐
标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛
物线的解析式即可；
（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PE=OA，从而
得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；
②用分割法将四边形的面积S =S +S ，得到二次函数，求得最值即
四边形BCPA OBC OAC
可． △ △
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点
C（0，3），其对称轴I为x=﹣1，
∴ ，
解得： ．
∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），
作PD⊥x轴于点D，
∵点P在y=﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3）
①∵PA⊥NA，且PA=NA，
∴△PAD≌△AND，
∴OA=PD
即y=﹣x2﹣2x+3=2，
解得x= ﹣1（舍去）或x=﹣ ﹣1，
∴点P（﹣ ﹣1，2）；
②∵S
四边形BCPA
=S
OBC
+S
OAC
=2+S
APC
△ △ △
∵S = ，S = x，S = •3•|y |=﹣ x2﹣3x+
AOC OCP OAP P
△ △ △
∴S =S +S ﹣S = x+（﹣ x2﹣3x+ ）﹣ =﹣ x2﹣ x=﹣ （x﹣ ）2+
APC OAP OCP AOC
△ △ △ △
，
∴当x=﹣ 时，S 最大值= ，
ACP
△
此时M（﹣ ，﹣ ），
S = ．
四边形PABC最大点评： 本题考查了二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地
根据已知条件选择配方法和公式法．求抛物线的最值的方法是配方法．
26．（10分）（2015•贵港）已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的
直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问
题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ，PA= ，则：
①线段PB= ，PC= 2 ；
②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 PA 2 +PB 2 =PQ 2 ；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利
用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足 = ，求 的值．（提示：请利用备用图进行探求 ）
考点： 相似形综合题．
分析： （1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据
PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；②△ACB为等腰直
角三角形，CD⊥AB，从而可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC﹣PD，
PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出
AP2+BP2=PQ2的结论；
△
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）
=（PD﹣DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出
AP2+BP2=PQ2的结论；
△
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用
含有CD的式子表示），然后在Rt ACP和Rt DCP中由勾股定理求得AC和PC
的长度即可．
△ △
解答： 解：（1）如图①：
①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+
∴AB= = = + ，
∵PA= ，
∴PB= ，
作CD⊥AB于D，则AD=CD= ，
∴PD=AD﹣PA= ，
在RT PCD中，PC= =2，
△故答案为 ，2；
②如图1．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2=（DB+PD）2=
（DC+DP ）2=CD2+2DC•PD+PD2
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
△
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）
2=DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
△
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P 处时．
1
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在Rt CP D中，由勾股定理得： = = DC，
1
△
在Rt ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，
△∴ = ．
②当点P位于点P 处时．
2
∵ = ，
∴ ．
在Rt CP D中，由勾股定理得： = = ，
2
△
在Rt ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，
△
∴ = ．
综上所述， 的比值为 或 ．
点评： 本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰
直角三角形的性质证得：CD=AD=DB，将PA、PA、PQ、AC、PC用含DC的式子表
示出来是解题的关键．
