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广西贵港市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的.
1．（3.00分）﹣8的倒数是（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表
示为（ ）
A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105
3．（3.00分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5
4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从
笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（
）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
7．（3.00分）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
8．（3.00分）下列命题中真命题是（ ）
A． =（ ）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
1A．24° B．28° C．33° D．48°
10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S =16，则S =（ ）
四边形BCFE △ABC
A．16 B．18 C．20 D．24
11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的
动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
12．（3.00分）如图，抛物线y= （x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为
M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛
物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3.00分）若分式 的值不存在，则x的值为 ．
14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a= ．
15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是
．
16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若
∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为 ．
17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转
到△A′BC′的位置，此时点 A′恰好在 CB 的延长线上，则图中阴影部分的面积为
（结果保留π）．
18．（3.00分）如图，直线l为y= x，过点A（1，0）作AB⊥x轴，与直线l交于点B，以原点
1 1 1 1
O为圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A；再作AB⊥x轴，交直线l于点B，以原点O为
1 2 2 2 2
圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A ；……，按此作法进行下去，则点A 的坐标为（
2 3 n
）．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
3（2）解分式方程： +1= ．
20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作
△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
21．（6.00分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣ x+4的图象交于A
和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范
围．
22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保
知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情
况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的
统 计 图 ． 请 根 据 统 计 图 提 供 的 信 息 解 答 以 下 问 题 ：
4（1）本次抽查的样本容量是 ；在扇形统计图中，m= ，n= ，“答对8题”
所对应扇形的圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．
23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有
15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45
座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC= ，求BD的长及⊙O的半径．
25．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连
接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
526．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在
AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP
边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方
形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
6参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题四个选项中只有一项是正确的.
1．（3.00分）﹣8的倒数是（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】解：﹣8的倒数是﹣ ．
故选：D．
2．（3.00分）一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表
示为（ ）
A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n
的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将数据2180000用科学记数法表示为2.18×106．
故选：A．
3．（3.00分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．2a+b=2ab C．（a4）3=a7D．（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5
【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．
【解答】解：A、2a﹣a=a，故本选项错误；
B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（a4）3=a12，故本选项错误；
D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确．
故选：D．
4．（3.00分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从
笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概
7率公式计算可得．
【解答】解：∵在标有1﹣10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
∴抽到编号是3的倍数的概率是 ，
故选：C．
5．（3.00分）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n
的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选：D．
6．（3.00分）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（
）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子
进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3，
故选：D．
7．（3.00分）若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．
8【解答】解：∵不等式组 无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选：A．
8．（3.00分）下列命题中真命题是（ ）
A． =（ ）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即
可得．
【解答】解：A、 =（ ）2当a＜0不成立，假命题；
B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；
C、正多边形都是轴对称图形，真命题；
D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；
故选：C．
9．（3.00分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可
得答案．
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠COB=132°，
∵CO=BO，
9∴∠OCB=∠OBC= （180°﹣132°）=24°，
故选：A．
10．（3.00分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S =16，则S =（ ）
四边形BCFE △ABC
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S 的值．
△ABC
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S ：S =1：9，
△AEF △ABC
设S =x，
△AEF
∵S =16，
四边形BCFE
∴ = ，
解得：x=2，
∴S =18，
△ABC
故选：B．
11．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的
动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
10【分析】作点 E关于 AC的对称点 E′，过点E′作E′M⊥AB于点 M，交AC于点 P，由
PE+PM=PE′+PM=E′M 知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点，利用 S =
菱形 ABCD
AC•BD=AB•E′M求二级可得答案．
【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M即为使PE+PM取得最小值，
其PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC=6 ，BD=6，
∴AB= =3 ，
由S = AC•BD=AB•E′M得 ×6 ×6=3 •E′M，
菱形ABCD
解得：E′M=2 ，
即PE+PM的最小值是2 ，
故选：C．
12．（3.00分）如图，抛物线y= （x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为
M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛
物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数
是（ ）
11A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标，由抛物线的对称性即可
判定；
②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行
四边形即可判定；
④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．
【解答】解：∵在y= （x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x= =3，故①正确；
∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y= （x+2）（x﹣8）= x2﹣ x﹣4中，当x=0时y=﹣4，
∴点C（0，﹣4），
当y=﹣4时， x2﹣ x﹣4=﹣4，
解得：x=0、x=6，
1 2
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y= x2﹣ x﹣4= （x﹣3）2﹣ ，
12∴点M（3，﹣ ），
设直线CM解析式为y=kx+b，
将点C（0，﹣4）、M（3，﹣ ）代入，得： ，
解得： ，
所以直线CM解析式为y=﹣ x﹣4；
设直线CD解析式为y=mx+n，
将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得： ，
解得： ，
所以直线CD解析式为y= x﹣4，
由﹣ × =﹣1知CM⊥CD于点C，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．（3.00分）若分式 的值不存在，则x的值为 ﹣ 1 ．
【分析】直接利用分是有意义的条件得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：若分式 的值不存在，
则x+1=0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（3.00分）因式分解：ax2﹣a= a （ x + 1 ）（ x﹣ 1 ） ．
【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．
13【解答】解：原式=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1）．
故答案为：a（x+1）（x﹣1）．
15．（3.00分）已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是
5. 5 ．
【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴ （4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是 （5+6）=5.5，
故答案为：5.5．
16．（3.00分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若
∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为 70° ．
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据
∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
∴180°﹣α=40°+α，
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
14故答案为：70°．
17．（3.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转
到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为 4π
（结果保留π）．
【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长
线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S =S +S ﹣S ﹣S 可得
阴影 扇形ABA′ △A′BC 扇形CBC′ △A′BC′
出阴影部分面积．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2 ．
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S =S +S ﹣S ﹣S
阴影 扇形ABA′ △A′BC 扇形CBC′ △A′BC′
=S ﹣S
扇形ABA′ 扇形CBC′
= ﹣
= ﹣
=4π．
故答案为4π．
18．（3.00分）如图，直线l为y= x，过点A（1，0）作AB⊥x轴，与直线l交于点B，以原点
1 1 1 1
O为圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A；再作AB⊥x轴，交直线l于点B，以原点O为
1 2 2 2 2
圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A；……，按此作法进行下去，则点A 的坐标为（ 2 n﹣ 1 ，
2 3 n
0 ）．
15【分析】依据直线l为y= x，点A（1，0），AB⊥x轴，可得A（2，0），同理可得，A（4，0），A
1 1 1 2 3 4
（8，0），…，依据规律可得点A 的坐标为（2n﹣1，0）．
n
【解答】解：∵直线l为y= x，点A（1，0），AB⊥x轴，
1 1 1
∴当x=1时，y= ，
即B（1， ），
1
∴tan∠AOB= ，
1 1
∴∠AOB=60°，∠ABO=30°，
1 1 1 1
∴OB=2OA=2，
1 1
∵以原点O为圆心，OB 长为半径画圆弧交x轴于点A，
1 2
∴A（2，0），
2
同理可得，A（4，0），A（8，0），…，
3 4
∴点A 的坐标为（2n﹣1，0），
n
故答案为：2n﹣1，0．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10.00分）（1）计算：|3﹣5|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
（2）解分式方程： +1= ．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解．
【解答】解：（1）原式=5﹣3﹣1﹣ + =1；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：4+（x+2）（x﹣2）=x+2，
整理，得：x2﹣x﹣2=0，
16解得：x=﹣1，x=2，
1 2
检验：当x=﹣1时，（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，
当x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，
所以分式方程的解为x=﹣1．
20．（5.00分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作
△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
△ABC为所求作
21．（6.00分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣ x+4的图象交于A
和B（6，n）两点．
（1）求k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范
围．
17【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用
反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）由k=6＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3．
【解答】解：（1）当x=6时，n=﹣ ×6+4=1，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数y= 过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．
22．（8.00分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保
知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情
况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的
统 计 图 ． 请 根 据 统 计 图 提 供 的 信 息 解 答 以 下 问 题 ：
（1）本次抽查的样本容量是 5 0 ；在扇形统计图中，m= 1 6 ，n= 3 0 ，“答对8题”所
对应扇形的圆心角为 86. 4 度；
18（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．
【分析】（1）先读图，根据图形中的信息逐个求出即可；
（2）求出人数，再画出即可；
（3）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）5÷10%=50（人），
本次抽查的样本容量是50，
=0.16=16%，1﹣10%﹣16%﹣24%﹣20%=30%，
即m=16，n=30，
360°× =86.4°，
故答案为：50，16，30，86.4；
（2） ；
（3）2000×（24%+20%+30%）=1480（人），
答：该校答对不少于8题的学生人数是1480人．
23．（8.00分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有
15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45
座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若
干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐
满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆
19数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
24．（8.00分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC= ，求BD的长及⊙O的半径．
【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰
三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；
（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O
的半径为 ，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，
则∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴∠A=∠D，
20∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD=90°，
即∠EBD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E= ，
设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，
∵AB=BC=10=4x，
x= ，
∴EB=5x= ，
∴⊙O的半径为 ，
过C作CG⊥BD于G，
∵BC=CD=10，
∴BG=DG，
Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC= ，
∴ ，
∴DG=6，
∴BD=12．
2125．（11.00分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连
接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，
根据二次函数的性质，可得答案；
②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
22【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得
，
解得 ，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析是为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
BC的解析是为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣ ）2+ ，
当n= 时，PM = ；
最大
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n=0（不符合题意，舍），n=﹣ （不符合题意，舍），n= ，
1 2 3
n2﹣2n﹣3=2﹣2 ﹣3=﹣2 ﹣1，
P（ ，﹣2 ﹣1）．
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n=0（不符合题意，舍），n=﹣7（不符合题意，舍），n=1，
1 2 3
n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，
P（1，﹣4）；
综上所述：P（1，﹣4）或（ ，﹣2 ﹣1）．
26．（10.00分）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在
AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP
边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方
23形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【分析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO=90°，所以 OCBM是矩形，最后直
▱
角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；
（2）连接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证
明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．
（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O的
左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾
股定理即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴ OCBM是矩形，
▱
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
24∴△APB∽△OBM，
∴
（3）当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM
∴MO=2PO=BD，
∴ ，
∵AO=2BM=2 ，
∴BM= ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴ = ，
∴PB=
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
25∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴ ，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM= ，
∴ = ，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3
26
