文档内容
2016年广西钦州市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共36分
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
[来源:Z_xx_k.Com]
2．如图，已知a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．据报道，22年前，中国开始接入国际互联网，至今已有4130000家网站，将数4130000用科
学记数法表示为（ ）
A．413×104 B．41.3×105C．4.13×106D．0.413×107
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C． + = D．（a﹣b）2=a2﹣b2
6．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
7．小明掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事
件的是（ ）A．骰子向上的一面点数为奇数B．骰子向上的一面点数小于7
C．骰子向上的一面点数是4D．骰子向上的一面点数大于6
8．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）是反比例函数y=﹣ 图象上的两点，若x ＜0＜x ，则有
1 1 2 2 2 1
（ ）
A．0＜y ＜y B．0＜y ＜y C．y ＜0＜y D．y ＜0＜y
1 2 2 1 2 1 1 2
9．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤9 B．a≥9 C．a＜9 D．a＞9
10．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的
BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（ ）
（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．6.7m B．7.2m C．8.1m D．9.0m
11．如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若AB= ，
∠EFA=60°，则四边形A′B′EF的周长是（ ）
A．1+3 B．3+ C．4+ D．5+
12．如图，△ABC中，AB=6，BC=8，tan∠B= ，点D是边BC上的一个动点（点D与点B不
重合），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设△AEF的面积为y，点
D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象
大致是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．因式分解：ab+2a=______．
14．某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S 2=1.9，乙队队员
甲
身高的方差是S 2=1.2，那么两队中队员身高更整齐的是______队．（填“甲”或“乙”）
乙
15．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=______．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是
10，则AC的长为______．
17．若x，y为实数，且满足（x+2y）2+ =0，则xy的值是______．
18．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A B C D E F ，边A B 、F E 分别在射线
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
OM、ON上，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，以A F 为边作正六边形
1 1 2 2 2 2
A B C D E F ，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，再以A F 为边作正六边形
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
A B C D E F ，…，依此规律，经第n次作图后，点B 到ON的距离是______．
3 3 3 3 3 3 n三、解答题：本大题共8小题，共66分
19．计算：|﹣8|+（﹣2）3+tan45°﹣ ．
20．解分式方程： = ．
21．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF
（1）求证：BF=DC；
（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣
4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B的对应点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB C ，并写出点C的对应点C 的坐标．
2 2 223．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资
源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如
下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题
组别 学习时间x（h） 频数（人数）
A 0＜x≤1 8
B 1＜x≤2 24
[来源:学科网]
C 2＜x≤3 32
D 3＜x≤4 n
E 4小时以上 4
（1）表中的n=______，中位数落在______组，扇形统计图中B组对应的圆心角为______°；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在E组学生中随机选出两人进
行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法
或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．24．某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格
进价（元/箱） 售价（元/箱）
类型
A 60 70
B 40 55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？
（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的 ，应怎样进货才能使这批水
果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，点O在AB
上，以OB为半径的⊙O经过点E，交AB于点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=4，∠C=30°，求 的长．26．如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与
y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的
长；
（3）将抛物线向上平移 个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在
第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
2016 年广西钦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共36分
1．2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：2的相反数等于﹣2．
故选A．
2．如图，已知a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质进行解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
故选B．
3．如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据主视图的定义，观察图形即可解决问题．
【解答】解：主视图是从正面看得到图形，所以答案是D．
故选D．
4．据报道，22年前，中国开始接入国际互联网，至今已有4130000家网站，将数4130000用科
学记数法表示为（ ）
A．413×104 B．41.3×105C．4.13×106D．0.413×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将4130000用科学记数法表示为：4.13×106．
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C． + = D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、二次根式的化简、完全平方公式解答．
【解答】解：A、a+a=（1+1）a=2a，故本选项正确；
B、a6÷a3=a6﹣3≠a2，故本选项错误；
C、 + =2 + =3 ≠ ，故本选项错误；
D、（a﹣b）2=a2+2ab+b2≠a2﹣b2，故本选项错误．
故选A．
6．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集再
表示在数轴上即可．
【解答】解：∵解不等式x﹣6≤0，得：x≤6，
解不等式x＞2，得：x＞2，
∴不等式组的解集为：2＜x≤6，
将不等式解集表示在数轴上如图： ，
故选C．
7．小明掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事
件的是（ ）
A．骰子向上的一面点数为奇数 B．骰子向上的一面点数小于7
C．骰子向上的一面点数是4D．骰子向上的一面点数大于6
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子可能会出现1，2，3，4，5，6六种情况，出现每一种情况均
有可能，属于随机事件，
朝上的一面的点数必小于7，
故选B．8．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）是反比例函数y=﹣ 图象上的两点，若x ＜0＜x ，则有
1 1 2 2 2 1
（ ）
A．0＜y ＜y B．0＜y ＜y C．y ＜0＜y D．y ＜0＜y
1 2 2 1 2 1 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】依据反比例函数的性质确定双曲线所在的现象，即可作出判断．
【解答】解：∵k=﹣3＜0，
∴双曲线位于二、四象限．
∵x ＜0＜x ，
2 1
∴y ＞0，y ＜0．
2 1
∴y ＜0＜y ．
1 2
故选：D．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣6x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤9 B．a≥9 C．a＜9 D．a＞9
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a的不等式，
求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：根据题意得：△=（﹣6）2﹣4a＞0，即36﹣4a＞0，
解得：a＜9，
则a的范围是a＜9．
故选：C．
10．如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的
BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（ ）
（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．6.7m B．7.2m C．8.1m D．9.0m
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】在直角△ABC中，利用正弦函数即可求解．
【解答】解：在直角△ABC中，sin∠ABC= ，
∴AB=AC÷sin∠ABC=6÷sin48°= ≈8.1（米）．
故选：C．11．如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若AB= ，
∠EFA=60°，则四边形A′B′EF的周长是（ ）
A．1+3 B．3+ C．4+ D．5+
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】先在直角三角形EFG中用勾股定理求出EF，FG，再判断出三角形A'EF是等边三角
形，求出AF，从而得出BE=B'E=1，最后用四边形的周长公式即可．
【解答】解：如图，
过点E作EG⊥AD，
∴∠AGE=∠FGE=90°
∵矩形纸片ABCD，
∴∠A=∠B=∠AGE=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴BE=AG，EG=AB= ，
在Rt△EFG中，∠EFG=60°，EG= ，
∴FG=1，EF=2，
由折叠有，A'F=AF，A'B'=AB= ，BE=B'E，∠A'FE=∠AFE=60°，
∵BC∥AD，
∴∠A'EF=∠AFE=60°，
∴△A'EF是等边三角形，
∴A'F=EF=2，
∴AF=A'F=2，
∴BE=AG=AF﹣FG=2﹣1=1
∴B'E=1
∴四边形A′B′EF的周长是A'B'+B'E+EF+A'F= +1+2+1=4+ ，
故选C．12．如图，△ABC中，AB=6，BC=8，tan∠B= ，点D是边BC上的一个动点（点D与点B不
重合），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设△AEF的面积为y，点
D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】由 tan∠B= = ，设DE=4m，BE=3m，则BD=5m=x，然后将AE与DE都用含有x
的代数式表示，再计算出△AEF的面积即可得到y与x的函数关系，由此对照图形即可．
【解答】解：∵DE⊥AB，垂足为E，
∴tan∠B= = ，设DE=4m，BE=3m，则BD=5m=x，
∴m= ，DE= ，BE= ，
∴AE=6﹣
∴y=S = （6﹣ ）•
△AEF
化简得：y=﹣ + x，
又∵0＜x≤8
∴该函数图象是在区间0＜x≤8的抛物线的一部分．故：选B
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．因式分解：ab+2a= a （ b + 2 ） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】找出公因式进而提取公因式得出即可．
【解答】解：ab+2a=a（b+2）．
故答案为：a（b+2）．
14．某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S 2=1.9，乙队队员
甲
身高的方差是S 2=1.2，那么两队中队员身高更整齐的是 乙 队．（填“甲”或“乙”）
乙
【考点】方差．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S 2=1.9，S 2=1.2，
甲 乙
∴S 2=1.9＞S 2=1.2，
甲 乙
∴两队中队员身高更整齐的是乙队；
故答案为：乙．
15．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k= 2 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于k
的一元一次方程，解方程即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴2=k×1，即k=2．
故答案为：2．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是
10，则AC的长为 6 ．
[来源:学科网ZXXK]
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由菱形性质AC=CD=4，根据中垂线性质可得DN=AN，继而由△CND的周长是10可
得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，
∴AB=CD=4，∵MN垂直平分AD，
∴DN=AN，
∵△CND的周长是10，
∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，
∴AC=6，
故答案为：6．
17．若x，y为实数，且满足（x+2y）2+ =0，则xy的值是 ．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】因为，（x+2y）2≥0， ≥0，所以可利用非负数的和为0的条件分析求解．
【解答】解：∵（x+2y）2+ =0，
且（x+2y）2≥0， ≥0，
∴
解之得：
∴xy=4﹣2= = ．
18．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A B C D E F ，边A B 、F E 分别在射线
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
OM、ON上，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，以A F 为边作正六边形
1 1 2 2 2 2
A B C D E F ，边C D 所在的直线分别交OM、ON于点A 、F ，再以A F 为边作正六边形
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
A B C D E F ，…，依此规律，经第n次作图后，点B 到ON的距离是 3 n﹣ 1 • ．
3 3 3 3 3 3 n
【考点】正多边形和圆．【分析】首先求出B ，B ，B ，B 到ON的距离，条件规律后，利用规律解决问题．
1 2 3 4
【解答】解：点B 到ON的距离是 ，
1
点B 到ON的距离是3 ，
2
点B 到ON的距离是9 ，
3
点B 到ON的距离是27 ，
4
…
点B 到ON的距离是3n﹣1• ．
n
三、解答题：本大题共8小题，共66分
19．计算：|﹣8|+（﹣2）3+tan45°﹣ ．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】根据实数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数计算即可．
【解答】解：
原式=2﹣8+1﹣2，
=﹣6﹣1，
=﹣7．
20．解分式方程： = ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：原方程两边同乘以x（x﹣2），得3x﹣6=5x，
解得：x=﹣3，
检验x=﹣3是分式方程的解．21．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF
（1）求证：BF=DC；
（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；三角形中位线定理．
【分析】（1）连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是
平行四边形，进而可得CD=BF；
（2）由（1）可得CD∥FB，再利用三角形中位线定理可得DF∥AB，根据两组对边分别平行的
四边形是平行四边形可得结论．
【解答】证明：（1）连接DB，CF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴CE=BE，
∵EF=ED，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∴CD=BF；
（2）∵四边形CDBF是平行四边形，
∴CD∥FB，
∴AD∥BF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣
4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B的对应点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB C ，并写出点C的对应点C 的坐标．
2 2 2【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）补充成网格结构，然后找出点A、B、C关于y轴的对称点A 、B 、C 的位置，再顺
1 1 1
次连接即可；再根据平面直角坐标系写出点B 的坐标；
1
（2）根据旋转的性质画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB C ，写出点C 的坐
2 2 2
标即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为△ABC关于y轴对称的图形；
1 1 1
则B 的坐标是（3，3）；
1
（2）△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB C 是：
2 2
则点C的对应点C 的坐标是（1，2）．
223．网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资
源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如
下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题
组别 学习时间x（h） 频数（人数）
A 0＜x≤1 8
B 1＜x≤2 24
C 2＜x≤3 32
D 3＜x≤4 n
E 4小时以上 [来源:学科网ZXXK][来源: 4
学*科*网Z*X*X*K]
（1）表中的n= 1 2 ，中位数落在 C 组，扇形统计图中B组对应的圆心角为 10 8 °；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流会，计划在E组学生中随机选出两人进
行经验介绍，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图法
或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数．
【分析】（1）根据A组的频数和百分比求出总人数，再利用D组的百分比求出n的值，n=总人
数×D组的百分比；根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；圆心
角=百分比×360°；
（2）如图，
（3）先画树状图得出所有等可能的情况数，找到抽取的两名学生都来自九年级的情况数，计
算概率即可．
【解答】解：（1）8÷10%=80，n=15%×80=12，
∵总人数为80人，
∴中位数落在第40、41个学生学习时间的平均数，
8+24=32＜40，32+32=64＞40，
∴中位数落在C组，
B： ×360°=108°，
故答案为：12，C，108；
（2）如图所示，
（3）画树状图为：共12种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有2种可能，
∴P = = ，
（两个学生都是九年级）
答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为 ．
24．某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
价格
进价（元/箱） 售价（元/箱）
类型
A 60 70
B 40 55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？
（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的 ，应怎样进货才能使这批水
果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱；
（2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果A与B的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设A种水果进货x箱，则B种水果进货箱，
60x+40=10000，
解得，x=100，
200﹣x=100，
即A种水果进货100箱，B种水果进货100箱；
（2）设A种水果进货x箱，则B种水果进货箱，售完这批水果的利润为w，
则w=（70﹣60）x+（55﹣40）=﹣5x+3000，∵﹣5＜0，
∴w随着x的增大而减小，
∵x≥ ，
解得，x≥50，
当x=50时，w取得最大值，此时w=2750，
即进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，点O在AB
上，以OB为半径的⊙O经过点E，交AB于点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=4，∠C=30°，求 的长．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．
【分析】（1）连接OE，利用角平分线的定义和圆的性质可得∠OBE=∠OEB=∠EBD，可证明
OE∥BD，结合等腰三角形的性质可得AD⊥BD，可证得OE⊥AD，可证得AD为切线；
（2）利用（1）的结论，结合条件可求得∠AOE=30°，由AC的长可求得圆的半径，利用弧长公
式可求得 ．
【解答】（1）证明：
如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBD，
∴∠OEB=∠EBD，
∴OE∥BD，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠OEA=∠BDA=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：
∵AB=AC=4，
∴OB=OE=OF=2，
由（1）可知OE∥BC，且AB=AC，
∴∠AOE=∠ABC=∠C=30°，∴ = = ．
26．如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与
y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的
长；
（3）将抛物线向上平移 个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在
第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，
由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE，根据相
似三角形的性质即可得出 ，代入数据即可求出DC的长度；
（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的
交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y
轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S 关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数
△PDE
的性质即可得出△PDE面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，得： ，解得： ，
∴抛物线的函数解析式为y= x2+ x﹣2．
（2）令y= x2+ x﹣2中x=0，则y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，0），
∴CM= = ．
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CDE=90°，
∴△COM∽△CDE，
∴ ，
∴DC= ．
（3）将抛物线向上平移 个单位长度后的解析式为y= x2+ x﹣2+ = x2+ x﹣ ，
令y= x2+ x﹣ 中y=0，即 x2+ x﹣ =0，
解得：x = ，x = ．
1 2
∵点P在第三象限，
∴ ＜x＜0．
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
在Rt△CDE中，CD= ，CE=4，∴DE= = ，sin∠DCE= = ，
在Rt△CDD′中，CD= ，∠CD′D=90°，
∴DD′=CD•sin∠DCE= ，CD′= = ，
OD′=CD′﹣OC= ，
∴D（﹣ ， ），D′（0， ），
∵P（x， x2+ x﹣ ），
∴P′（0， x2+ x﹣ ）．
∴S =S +S ﹣S = DD′•ED′+ （DD′+PP′）•D′P′﹣ PP′•EP′=﹣ ﹣
△PDE △DD′E 梯形DD′P′P △EPP′
x+2（ ＜x＜0），
∵S =﹣ ﹣ x+2=﹣ + ， ＜﹣ ＜0，
△PDE
∴当x=﹣ 时，S 取最大值，最大值为 ．
△PDE
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S =﹣ ﹣ x+2（ ＜x＜0），且
△PDE
△PDE面积的最大值为 ．2016年9月30日
