文档内容
2020 年年广广西西贵贵港港市市中中考考数数学学试试卷卷
1. −2的相反数是( )
A. −2 B. − 1 C. 2 D. 1
2 2
2. 若式子√(cid:1)+ 1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. (cid:1) < −1 B. (cid:1) ≥ −1 C. (cid:1) ≥ 0 D. (cid:1) ≥ 1
3. 目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2(cid:2)(cid:3)( 其中1(cid:2)(cid:3) =
10−9 (cid:3))，用科学记数法表示这个最小刻度(单位： (cid:3))，结果是( )
A. 2 × 10−8 (cid:3) B. 2 × 10−9 (cid:3) C. 2 × 10−10 (cid:3) D. 2 × 10−11 (cid:3)
4. 数据2，6，5，0，1，6，8的中位数和众数分别是( )
A. 0和 6 B. 0和 8 C. 5和 8 D. 5和 6
5. 下列运算正确的是( )
A. 2(cid:4) + 3(cid:5) = 5(cid:4)(cid:5) B. 5(cid:4) 2 − 3(cid:4) = 2(cid:4)
C. ((cid:4)(cid:5) 3)2 = (cid:4) 2 (cid:5) 6 D. ((cid:4) + 2)2 = (cid:4) 2 + 4
6. 一元二次方程 (cid:1) 2 − (cid:1) − 3 = 0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7. 如果 (cid:4) < (cid:5) ， (cid:6) < 0，那么下列不等式中不成立的是( )
A. (cid:4) + (cid:6) < (cid:5) + (cid:6) B. (cid:4)(cid:6) > (cid:5)(cid:6) C. (cid:4)(cid:6) + 1 > (cid:5)(cid:6) + 1 D. (cid:4)(cid:6) 2 > (cid:5)(cid:6) 2
8. 下列命题中真命题是( )
6
A. √4的算术平方根是2 B. 数据 2，0，3，2，3的方差是
5
C. 正六边形的内角和为360° D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
9. 如图，点A，B，C均在⊙ (cid:7) 上，若∠ (cid:8)(cid:9)(cid:10)= 130°，则∠ (cid:11) 的度
数为( )
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
10. 如图，在△ (cid:8)(cid:10)(cid:9) 中，点D在 AB边上，若 (cid:10)(cid:9)= 3， (cid:10)(cid:12)= 2，
且∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= ∠ (cid:8) ，则线段AD的长为( )
第1 页，共26 页A. 2
5
B.
2
C. 3
9
D.
2
11. 如图，动点M在边长为 2的正方形ABCD内，且 (cid:8)(cid:13) ⊥ (cid:10)(cid:13) ，
P是CD边上的一个动点，E是 AD边的中点，则线段 (cid:14)(cid:15)+ (cid:14)(cid:13)
的最小值为( )
A. √10 − 1
B. √2 + 1
C. √10
D. √5 + 1
12. 如图，点 E，F在菱形 ABCD的对角线AC上，∠ (cid:8)(cid:12)(cid:9)= 120°，∠ (cid:10)(cid:15)(cid:9)= ∠ (cid:9)(cid:10)(cid:16)= 50°，
ED与 BF的延长线交于点 (cid:13).则对于以下结论：①∠ (cid:10)(cid:13)(cid:15)= 30°；② △ (cid:8)(cid:12)(cid:15) ≌△ (cid:8)(cid:10)(cid:15) ；
③ (cid:15)(cid:13)= (cid:10)(cid:9) ；④ (cid:8)(cid:15) + (cid:10)(cid:13)= √3(cid:15)(cid:13).其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个
13. 计算：3 − 7 =______．
14. 因式分解： (cid:4)(cid:1) 2 − 2(cid:4)(cid:1) + (cid:4) =______．
15. 如图，点O，C在直线n上，OB平分∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9) ，若 (cid:3)//(cid:2) ，
∠1= 56°，则∠2=______．
16. 若从−2 ，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点 (cid:8)((cid:4),(cid:5))
恰好落在x轴上的概率是______．
17. 如图，在扇形OAB中，点C在 (cid:8)⏜(cid:10) 上，∠ (cid:8)(cid:7)(cid:10)= 90°，∠ (cid:8)(cid:10)(cid:9)=
30°， (cid:8)(cid:12) ⊥ (cid:10)(cid:9) 于点 D，连接AC，若 (cid:7)(cid:8)= 2，则图中阴影
部分的面积为______．
第2 页，共26 页18. 如图，对于抛物线 (cid:18) = −(cid:1) 2 + (cid:1)+ 1， (cid:18) = −(cid:1) 2 + 2(cid:1) +
1 2
1， (cid:18) = −(cid:1) 2 + 3(cid:1) + 1，给出下列结论：
3
①这三条抛物线都经过点 (cid:9)(0,1)；②抛物线
(cid:18)
的对称
3
轴可由抛物线 的对称轴向右平移1个单位而得到；③
(cid:18)1
这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物
线与直线 (cid:18) = 1的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是______．
19. (1)计算：|√3 − 2| + (3 − (cid:19))0 − √12 + 6(cid:6)(cid:20)(cid:21)30°；
1 2
(2)先化简再求值 ÷ ，其中 (cid:3) = −5 ．
(cid:3)
2−3(cid:3)
(cid:3)
2−9
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ (cid:8)(cid:10)(cid:9) 三个顶点的坐标分别为 (cid:8)(1,4)， (cid:10)(4,1)，
(cid:9)(4,3)．
(1)画出将△
(cid:8)(cid:10)(cid:9)
向左平移5个单位得到的△
(cid:8) (cid:10) (cid:9)
；
1 1 1
(2)画出将△
(cid:8)(cid:10)(cid:9)
绕原点O顺时针旋转90°得到的△
(cid:8) (cid:10) (cid:9)
．
2 2 2
第3 页，共26 页21. 如图，双曲线 (cid:18) = (cid:22)((cid:22) 为常数，且 (cid:22) ≠ 0)与直线 (cid:18) = 2(cid:1) + (cid:5) 交于 (cid:8)(1,(cid:3))和 (cid:10)( 1 (cid:2),(cid:2) +
1 (cid:1) 2 2
2)两点．
(1)求k，m的值；
(2)当 (cid:1) > 0时，试比较函数值 (cid:18)1 与 (cid:18)2 的大小．
22. 某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为 (cid:8)(优秀)、 (cid:10)(良好)、 (cid:9)(
合格)、 (cid:12)(不合格)四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作
为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，
解答下列问题：
(1)(cid:10)(良好)等级人数所占百分比是______；
(2)在扇形统计图中， (cid:9)(合格)等级所在扇形的圆心角度数是______；
(3)请补充完整条形统计图；
第4 页，共26 页(4)若该校九年级学生共1000名，请根据以上调查结果估算：评价结果为 (cid:8)(优秀)等
级或 (cid:10)(良好)等级的学生共有多少名？
23. 在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型
口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用 8000元购买 A型口罩的数量与用5000
元购买B型口罩的数量相同．
(1)(cid:8) 、B两种型号口罩的单价各是多少元？
(2)根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量
是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最
多是多少个？
24. 如图，在△ (cid:8)(cid:10)(cid:9) 中， (cid:8)(cid:10)= (cid:8)(cid:9) ，点 D在 BC边上，且 (cid:8)(cid:12)= (cid:10)(cid:12) ，⊙ (cid:7) 是△ (cid:8)(cid:9)(cid:12) 的外
接圆，AE是⊙ 的直径．
(cid:7)
第5 页，共26 页(1)求证：AB是⊙
(cid:7)
的切线；
(2)若 (cid:8)(cid:10)= 2√6， (cid:8)(cid:12)= 3，求直径AE的长．
25. 如图，已知抛物线 (cid:18) = 1 (cid:1) 2 + (cid:5)(cid:1) + (cid:6) 与x轴相交于 (cid:8)(−6,0) ， (cid:10)(1,0)，与 y轴相交于
2
点 C，直线
(cid:23)
⊥
(cid:8)(cid:9)
，垂足为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)设动点 (cid:14)((cid:3), (cid:2))在该抛物线上，当∠ (cid:14)(cid:8)(cid:9)= 45°时，求m的值．
第6 页，共26 页26. 已知：在矩形ABCD中， (cid:8)(cid:10)= 6， (cid:8)(cid:12)= 2√3，P是 BC边上的一个动点，将矩形
ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．
(1)如图1，当点P与点C重合时，则线段 (cid:15)(cid:10)=______， (cid:15)(cid:16)=______；
(2)如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与 GF
的延长线交于点M，连接PF，ME，MA．
①求证：四边形MEPF是平行四边形；
②当tan∠ (cid:13)(cid:8)(cid:12)= 1 时，求四边形MEPF的面积．
3
第7 页，共26 页答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：C．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】B
【解析】解：∵式子√(cid:1)+ 1在实数范围内有意义，
∴ (cid:1)+ 1 ≥ 0，
解得： (cid:1) ≥ −1 ，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件
得出不等式是解此题的关键，注意：√(cid:4) 中 (cid:4) ≥ 0．
3.【答案】C
【解析】解：0.2(cid:2)(cid:3) = 0.2 × 10−9 (cid:3) = 2 × 10−10 (cid:3).
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 (cid:4) × 10−(cid:2) ，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 (cid:4) × 10−(cid:2) ，其中1 ≤ |(cid:4)| < 10，n 为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：从小到大排列此数据为：0，1，2，5，6，6，8数据，6 出现了2次最多
为众数，
第8 页，共26 页处在中间位置的数为5，故中位数为5．
所以本题这组数据的中位数是5，众数是6．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为
中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排
列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数
的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的
数据叫做众数．
5.【答案】C
【解析】解：A、2a与 3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、5(cid:4) 2与−3(cid:4) 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、((cid:4)(cid:5) 3)2 = (cid:4) 2 (cid:5) 6，故本选项符合题意；
D、((cid:4) + 2)2 = (cid:4) 2 + 4(cid:4) + 4，故本选项不合题意；
故选：C．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即
可．
本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式，熟记相关运算法
则是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△=(−1) 2 − 4 × 1 × (−3) = 13 > 0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=13 > 0，进而可找出该方程有两个不相等
的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关
键．
第9 页，共26 页7.【答案】D
【解析】解：A、由 (cid:4) < (cid:5) ， (cid:6) < 0得到： (cid:4) + (cid:6) < (cid:5) + (cid:6) ，原变形正确，故此选项不符合
题意；
B、由 (cid:4) < (cid:5) ， (cid:6) < 0得到： (cid:4)(cid:6) > (cid:5)(cid:6) ，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由 (cid:4) < (cid:5) ， (cid:6) < 0得到： (cid:4)(cid:6) + 1 > (cid:5)(cid:6) + 1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由 (cid:4) < (cid:5) ， (cid:6) < 0得到： (cid:4)(cid:6) 2 < (cid:5)(cid:6) 2，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依
据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除
以)同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，
如果是负数，不等号的方向必须改变．
8.【答案】B
【解析】解：A、√4 = 2的算术平方根是√2，原命题是假命题，不符合题意；
B、数据2，0，3，2，3的方差= 1 [2 × (2 − 2)2 + (0 − 2)2 + 2 × (3 − 2)2]= 6 ，是真命
5 5
题，符合题意；
C、正六边形的内角和为720°，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据算术平方根、方差、正多边形以及菱形的判定判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真
即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只
需举出一个反例即可．
9.【答案】A
第10 页，共26 页【解析】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠ (cid:12)= 180° − ∠ (cid:8)(cid:9)(cid:10)= 50°，
∴∠ (cid:8)(cid:7)(cid:10)= 2∠ (cid:12)= 100°，
故选：A．
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= ∠ (cid:8) ，∠ (cid:10)= ∠ (cid:10) ，
∴△ ∽△ ，
(cid:10)(cid:9)(cid:12) (cid:10)(cid:8)(cid:9)
∴(cid:10)(cid:9) = (cid:10)(cid:12)，
(cid:10)(cid:8) (cid:10)(cid:9)
∵ (cid:10)(cid:9)= 3， (cid:10)(cid:12)= 2，
∴3
=
2
，
(cid:10)(cid:8) 3
∴ (cid:10)(cid:8)= 9 ，
2
∴ (cid:8)(cid:12)= (cid:10)(cid:8)− (cid:10)(cid:12)= 9 − 2 = 5 ．
2 2
故选：B．
由∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= ∠ (cid:8) ，∠ (cid:10)= ∠ (cid:10) ，可判定△ (cid:10)(cid:9)(cid:12) ∽△ (cid:10)(cid:8)(cid:9) ，从而可得比例式，再将 (cid:10)(cid:9)= 3， (cid:10)(cid:12)= 2
代入，可求得BA的长，然后根据 (cid:8)(cid:12)= (cid:10)(cid:8)− (cid:10)(cid:12) ，可求得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关
键．
11.【答案】A
【解析】解：作点E关于 DC的对称点 (cid:15)′，设AB的中点为点O，连接 (cid:7)(cid:15)′，交DC于点
P，连接PE，如图：
第11 页，共26 页∵动点 M在边长为2的正方形ABCD内，且 ⊥ ，
(cid:8)(cid:13) (cid:10)(cid:13)
1
∴点 M在以 AB为直径的圆上， (cid:7)(cid:13)= (cid:8)(cid:10)= 1，
2
∵正方形 ABCD的边长为2，
∴ (cid:8)(cid:12)= (cid:8)(cid:10)= 2，∠ (cid:12)(cid:8)(cid:10)= 90°，
∵
(cid:15)
是 AD的中点，
∴ (cid:12)(cid:15)= 1 (cid:8)(cid:12)= 1 × 2 = 1，
2 2
∵点 E与点 (cid:15)′关于 DC对称，
∴ (cid:12)(cid:15)′= (cid:12)(cid:15)= 1， (cid:14)(cid:15) = (cid:14)(cid:15)′，
∴ (cid:8)(cid:15)′= (cid:8)(cid:12)+ (cid:12)(cid:15)′= 2 + 1 = 3，
在 (cid:24)(cid:25) △ (cid:8)(cid:7)(cid:15)′中， (cid:7)(cid:15)′= √(cid:8)(cid:15)′2 + (cid:8)(cid:7) 2 = √32 + 12 = √10，
∴线段 (cid:14)(cid:15)+ (cid:14)(cid:13) 的最小值为：
(cid:14)(cid:15)+ (cid:14)(cid:13)
= (cid:14)(cid:15)′+ (cid:14)(cid:13)
= (cid:13)(cid:15) ′
= (cid:7)(cid:15)′− (cid:7)(cid:13)
= √10 − 1．
故选：A．
作点 E关于DC的对称点 (cid:15)′，设AB的中点为点O，连接 (cid:7)(cid:15)′，交DC于点 P，连接 PE，
由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段 (cid:14)(cid:15)+ (cid:14)(cid:13) 的最小值为 (cid:7)(cid:15)′的值
减去以 AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知
识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12.【答案】D
第12 页，共26 页【解析】解：∵四边形ABD是菱形，∠ (cid:8)(cid:12)(cid:9)= 120°，
∴ (cid:8)(cid:12)= (cid:8)(cid:10)= (cid:10)(cid:9)= (cid:9)(cid:12) ，∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= 60°，∠ (cid:12)(cid:8)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:15) ，∠ (cid:12)(cid:9)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:15)=
1∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= 30°，
2
∵∠ (cid:10)(cid:16)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:15)+ ∠ (cid:9)(cid:10)(cid:16)= 30° + 50° = 80°，
∴∠ (cid:15)(cid:10)(cid:16)= 180° − ∠ (cid:10)(cid:15)(cid:9)− ∠ (cid:10)(cid:16)(cid:15)= 180° − 50° − 880° = 50°，
在△ 和△ 中，
(cid:9)(cid:12)(cid:15) (cid:9)(cid:10)(cid:15)
(cid:9)(cid:12)= (cid:9)(cid:10)
{∠ (cid:12)(cid:9)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:15) ，
(cid:9)(cid:15)= (cid:9)(cid:15)
∴△ (cid:9)(cid:12)(cid:15) ≌△ (cid:9)(cid:10)(cid:15)((cid:26)(cid:8)(cid:26) ，)
∴∠ (cid:12)(cid:15)(cid:9)= ∠ (cid:10)(cid:15)(cid:9)= 50°，
∴∠ (cid:10)(cid:15)(cid:13)= ∠ (cid:12)(cid:15)(cid:9)+ ∠ (cid:10)(cid:15)(cid:9)= 100°，
∴∠ (cid:10)(cid:13)(cid:15)= 180° − ∠ (cid:10)(cid:15)(cid:13)− ∠ (cid:15)(cid:10)(cid:16)= 180° − 100° − 50° = 30°，故①正确；
在△ 和△ 中，
(cid:8)(cid:12)(cid:15) (cid:8)(cid:10)(cid:15)
(cid:8)(cid:12)= (cid:8)(cid:10)
{∠ (cid:12)(cid:8)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:15) ，
(cid:8)(cid:15)= (cid:8)(cid:15)
∴△ (cid:8)(cid:12)(cid:15) ≌△ (cid:8)(cid:10)(cid:15)((cid:26)(cid:8)(cid:26) ，) 故②正确；
∵∠ (cid:15)(cid:10)(cid:9)= ∠ (cid:15)(cid:10)(cid:16)+ ∠ (cid:9)(cid:10)(cid:16)= 100°，
∴∠ (cid:10)(cid:15)(cid:13)= ∠ (cid:15)(cid:10)(cid:9) ，
在△ 和△ 中，
(cid:10)(cid:15)(cid:13) (cid:15)(cid:10)(cid:9)
∠ (cid:10)(cid:15)(cid:13)= ∠ (cid:15)(cid:10)(cid:9)
{∠ (cid:10)(cid:13)(cid:15)= ∠ (cid:15)(cid:9)(cid:10)= 30°，
(cid:10)(cid:15)= (cid:15)(cid:10)
∴△
(cid:10)(cid:15)(cid:13)
≌△ (cid:15)(cid:10)(cid:9)((cid:8)(cid:8)(cid:26))，
∴ (cid:10)(cid:13)= (cid:15)(cid:9) ， (cid:15)(cid:13)= (cid:10)(cid:9) ，故③正确；
连接 BD交 AC于 O，如图所示：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴ (cid:7)(cid:8)= (cid:7)(cid:9) ， (cid:8)(cid:9) ⊥ (cid:10)(cid:12) ，
∵∠ (cid:12)(cid:9)(cid:7)= 30°，
∴ (cid:7)(cid:12)= 1 (cid:9)(cid:12)= 1 (cid:10)(cid:9) ， (cid:7)(cid:9)= √3(cid:7)(cid:12) ，
2 2
∴ (cid:7)(cid:9)= √3 (cid:10)(cid:9) ，
2
∴ (cid:8)(cid:9)= 2(cid:7)(cid:9)= √3(cid:10)(cid:9) ，
∵ (cid:10)(cid:13)= (cid:15)(cid:9) ， (cid:15)(cid:13)= (cid:10)(cid:9) ，
第13 页，共26 页∴ (cid:8)(cid:15)+ (cid:10)(cid:13)= (cid:8)(cid:15)+ (cid:15)(cid:9)= (cid:8)(cid:9)= √3(cid:10)(cid:9) = √3(cid:15)(cid:13) ，故④正确，
正确结论的个数是4个，
故选：D．
先由菱形的性质得 (cid:8)(cid:12)= (cid:8)(cid:10)= (cid:10)(cid:9)= (cid:9)(cid:12) ，∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:12)= 60°，∠ (cid:12)(cid:8)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:15) ，
∠ (cid:12)(cid:9)(cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:9)(cid:15)= 30°，再由三角形的外角性质得∠ (cid:10)(cid:16)(cid:15)= 80°，则∠ (cid:15)(cid:10)(cid:16)= 50°，然后证
△ (cid:9)(cid:12)(cid:15) ≌△ (cid:9)(cid:10)(cid:15)((cid:26)(cid:8)(cid:26) ，) 得∠ (cid:12)(cid:15)(cid:9)= ∠ (cid:10)(cid:15)(cid:9)= 50°，进而得出①正确；由SAS证△ (cid:8)(cid:12)(cid:15) ≌△
(cid:8)(cid:10)(cid:15) ，得②正确；证出△ (cid:10)(cid:15)(cid:13) ≌△ (cid:15)(cid:10)(cid:9)((cid:8)(cid:8)(cid:26) ，) 得 (cid:10)(cid:13)= (cid:15)(cid:9) ， (cid:15)(cid:13)= (cid:10)(cid:9) ，③正确；连接
1 1
BD交AC于O，由菱形的性质得 (cid:8)(cid:9) ⊥ (cid:10)(cid:12) ，再由直角三角形的性质得 (cid:7)(cid:12)= (cid:9)(cid:12)= (cid:10)(cid:9) ，
2 2
(cid:7)(cid:9)= √3(cid:7)(cid:12) ，则 (cid:7)(cid:9)= √3 (cid:10)(cid:9) ，进而得出④正确即可．
2
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌
握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】解：3 − 7 = 3 + (−7) = −4 ．
故答案为：−4 ．
减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可．
本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键．
14.【答案】 (cid:4)((cid:1) − 1)2
【解析】解： (cid:4)(cid:1) 2 − 2(cid:4)(cid:1) + (cid:4)
= (cid:4)((cid:1) 2 − 2(cid:1) + 1)
= (cid:4)((cid:1) − 1)2．
故答案为： (cid:4)((cid:1) − 1)2．
直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
15.【答案】62°
第14 页，共26 页【解析】解：如图，∵ (cid:3)//(cid:2) ，∠1= 56°，
∴∠1= ∠3= 56°，
∴∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9)= 180° − ∠3= 180° − 56° = 124°，
∵ 平分∠ ，
(cid:7)(cid:10) (cid:8)(cid:7)(cid:9)
∴∠4= ∠5= 1∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9)= 1 × 124° = 62°，
2 2
∵ (cid:3)//(cid:2) ，
∴∠2= ∠5= 62°，
故答案为：62°．
利用平行线的性质定理可得∠3= 56°，易得∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9)= 124°，由角平分线的性质定理易得
∠4= ∠5= 1∠
(cid:8)(cid:7)(cid:9)
，由平行线的性质定理可得∠2= ∠5= 62°．
2
本题主要考查了平行线的性质定理和角平分线的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
1
16.【答案】
3
【解析】解：画树状图如下
由树状图知，共有6种等可能结果，其中使点A在 x轴上的有2种结果，
2 1
故点 (cid:8)((cid:4),(cid:5))恰好落在x轴上的概率是 = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
利用树状图得出所有的情况，从中找到使点 (cid:8)((cid:4),(cid:5))恰好落在x轴上的结果数，再根据概
率公式计算可得．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或 B的概率．
第15 页，共26 页2
17.【答案】1 + √3 − (cid:19)
3
【解析】解：连接OC，作 ⊥ 于 M，
(cid:9)(cid:13) (cid:7)(cid:10)
∵∠ (cid:8)(cid:7)(cid:10)= 90°， (cid:7)(cid:8)= (cid:7)(cid:10)= 2，
∴∠ (cid:8)(cid:10)(cid:7)= ∠ (cid:7)(cid:8)(cid:10)= 45°， (cid:8)(cid:10)= 2√2，
∵∠ (cid:8)(cid:10)(cid:9)= 30°， (cid:8)(cid:12) ⊥ (cid:10)(cid:9) 于点 D，
∴ (cid:8)(cid:12)= 1 (cid:8)(cid:10)= √2， (cid:10)(cid:12)= √3 (cid:8)(cid:10)= √6，
2 2
∵∠ (cid:8)(cid:10)(cid:7)= 45°，∠ (cid:8)(cid:10)(cid:9)= 30°，
∴∠ (cid:7)(cid:10)(cid:9)= 75°，
∵ (cid:7)(cid:10)= (cid:7)(cid:9) ，
∴∠ (cid:7)(cid:9)(cid:10)= ∠ (cid:7)(cid:10)(cid:9)= 75°，
∴∠ (cid:10)(cid:7)(cid:9)= 30°，
1 1
∴∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9)= 60°， (cid:9)(cid:13)= (cid:7)(cid:9)= × 2 = 1，
2 2
∴ (cid:26)
阴影
= (cid:26)△(cid:8)(cid:10)(cid:12) + (cid:26)△(cid:8)(cid:7)(cid:10) − (cid:26)
扇形
(cid:7)(cid:8)(cid:10)
+ ((cid:26)
扇形
(cid:7)(cid:10)(cid:9)
− (cid:26)△(cid:10)(cid:7)(cid:9) )
= (cid:26)△(cid:8)(cid:10)(cid:12) + (cid:26)△(cid:8)(cid:7)(cid:10) − (cid:26)
扇形
(cid:7)(cid:8)(cid:9)
− (cid:26)△(cid:10)(cid:7)(cid:9)
1 1 1 60(cid:19) × 22
= × 2 × 2 + × √2 × √6 − × 2 × 1 −
2 2 2 360
2
= 1 + √3 − (cid:19).
3
2
故答案为1 + √3 − (cid:19).
3
连接 OC，作 (cid:9)(cid:13) ⊥ (cid:7)(cid:10) 于 M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ (cid:8)(cid:10)(cid:7)= ∠ (cid:7)(cid:8)(cid:10)= 45°，
(cid:8)(cid:10)= 2√2，进而得出∠ (cid:7)(cid:9)(cid:10)= (cid:7)(cid:10)(cid:9)= 75°，即可得到∠ (cid:10)(cid:7)(cid:9)= 30°，解直角三角形求得
AD、BD、CM，然后根据(cid:26)
阴影
= (cid:26)
⊃(cid:8)(cid:10)(cid:12)
+ (cid:26)△(cid:8)(cid:7)(cid:10) − (cid:26)
扇形
(cid:7)(cid:8)(cid:10)
+ ((cid:26)
扇形
(cid:7)(cid:10)(cid:9)
− (cid:26)△(cid:10)(cid:7)(cid:9) )计算即
可求得．
此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出
的面积的和或差的形式．
18.【答案】①②④
【解析】解：①当 (cid:1) = 0时，分别代入抛物线 (cid:18)1 ， (cid:18)2 ， (cid:18)3 ，即可得 (cid:18)1 = (cid:18) 2 = (cid:18) 3 = 1；①正
确；
第16 页，共26 页1 3
② (cid:18)1 = −(cid:1) 2 + (cid:1)+ 1， (cid:18) 3 = −(cid:1) 2 + 3(cid:1) + 1的对称轴分别为直线 (cid:1) = 2 ， (cid:1) = 2 ，
1 3
由 (cid:1) = 向右平移1个单位得到 (cid:1) = ，②正确；
2 2
③ (cid:18) = −(cid:1) 2 + (cid:1)+ 1 = −((cid:1) − 1 )2 + 5 ，顶点坐标( 1 , 5 )，
1
2 4 2 4
(cid:18)2 = −(cid:1) 2 + 2(cid:1) + 1 = −((cid:1) − 1)2 + 2，顶点坐标为(1,2)；
(cid:18) = −(cid:1) 2 + 3(cid:1) + 1 = −((cid:1) − 3 )2 + 13 ，顶点坐标为( 3 , 13 )，
3 2 4 2 4
∴顶点不在同一条直线上，③错误；
④当 (cid:18) = 1时，则−(cid:1) 2 + (cid:1)+ 1 = 1，
∴ (cid:1) = 0或 (cid:1) = 1；
−(cid:1) 2 + 2(cid:1) + 1 = 1，
∴ (cid:1) = 0或 (cid:1) = 2；
−(cid:1) 2 + 3(cid:1) + 1 = 1，
∴ (cid:1) = 0或 (cid:1) = 3；
∴相邻两点之间的距离都是1，④正确；
故答案为①②④ ．
①当 (cid:1) = 0时，分别代入抛物线 (cid:18) 1 ， (cid:18)2 ， (cid:18)3 ，得 (cid:18)1 = (cid:18) 2 = (cid:18) 3 = 1，即可判断；
② (cid:18)
1
= −(cid:1) 2 + (cid:1)+ 1， (cid:18)3 = −(cid:1) 2 + 3(cid:1) + 1的对称轴分别为直线 (cid:1) = 1
2
， (cid:1) = 3
2
，即可判断；
③求得顶点坐标即可判断；
④当 (cid:18) = 1时，则−(cid:1) 2 − (cid:1) + 1 = 1，可得 (cid:1) = 0或 (cid:1) = −1 ；−(cid:1) 2 − 2(cid:1) + 1 = 1，可得 (cid:1) = 0
或 (cid:1) = −2 ；−(cid:1) 2 − 3(cid:1) + 1 = 1，可得 (cid:1) = 0或 (cid:1) = −3，即可判断，
本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性
质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式= 2 − √3 + 1 − 2√3 + 6 × √3
2
= 2 − √3 + 1 − 2√3 + 3√3
= 3；
1 2
(2) ÷
(cid:3)2 − 3(cid:3) (cid:3)2 − 9
1 ((cid:3) + 3)((cid:3) − 3)
= ·
(cid:3)((cid:3) − 3) 2
=
(cid:3)+3
，
2(cid:3)
第17 页，共26 页−5+3 1
当 (cid:3) = −5 时，原式= = ．
2×(−5) 5
【解析】(1)先根据绝对值，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值进行计算，
再求出答案即可；
(2)把除法变成乘法，算乘法，再求出答案即可．
本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和
分式的混合运算与求值等知识点，能求出每一部分的值是解(1)的关键，能根据分式的
乘法和除法法则进行化简是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△
(cid:8)1 (cid:10) 1 (cid:9) 1
即为所求．
(2)如图所示，△
(cid:8) (cid:10) (cid:9)
即为所求．
2 2 2
【解析】(1)根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)根据旋转变换的定义作出三个顶点绕点O顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连
接即可．
本题主要考查作图−平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握轴对称与旋转变换的定义
与性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】解：(1) ∵点 (cid:10)( 1
2
(cid:2),(cid:2) + 2)在直线 (cid:18)
2
= 2(cid:1) + (cid:5) 上，
∴ (cid:2) + 2 = 2 × 1 (cid:2) + (cid:5) ，
2
∴ (cid:5) = 2，
∴直线 (cid:18)2 = 2(cid:1) + 2，
∵点 (cid:8)(1,(cid:3))在直线 (cid:18) = 2(cid:1) + 2上，
2
∴ (cid:3) = 2 + 2 = 4，
第18 页，共26 页∴ (cid:8)(1,4)，
∵双曲线 (cid:18)1 = (cid:22) ((cid:22) 为常数，且 (cid:22) ≠ 0)与直线 (cid:18)
2
= 2(cid:1) + (cid:5) 交于 (cid:8)(1,4)，
(cid:1)
∴ (cid:22) = 1 × 4 = 4；
(2)由图象可知，当0 < (cid:1) < 1时， (cid:18) > (cid:18) ；
1 2
当 (cid:1) = 1时， (cid:18)1 = (cid:18) 2 = 4；
当 (cid:1) < 1时， (cid:18)1 < (cid:18) 2 ．
1
【解析】(1)把点 (cid:10)( (cid:2),(cid:2) + 2)代入 (cid:18) = 2(cid:1) + (cid:5) ，即可求得b，再把 (cid:8)(1,(cid:3))代入直线解析
2 2
式即可求得m，然后根据待定系数法即可求得k；
(2)根据图象结合A的坐标即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次
函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
22.【答案】25% 72°
【解析】解：(1) ∵被调查的人数为4 ÷ 10% = 40(人)，
∴ (cid:10) 等级人数为40 − (18 + 8 + 4) = 10(人)，
则 (cid:10)(良好)等级人数所占百分比是 10 × 100% = 25%，
40
故答案为：25%；
(2)在扇形统计图中， (cid:9)(合格)等级所在扇形的圆心角度数是360° × 8 = 72°，
40
故答案为：72°；
(3)补全条形统计图如下：
(4)估计评价结果为 (cid:8)(优秀)等级或 (cid:10)(良好)等级的学生共有1000 × 18+10 = 700(人)．
40
(1)先根据D等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个等级人数之和等
第19 页，共26 页于总人数求出B等级人数，最后用B等级人数除以总人数可得答案；
(2)用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；
(3)根据(1)中计算结果可补全条形图；
(4)用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】解：(1)设 A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为((cid:1) − 1.5)元，
8000 5000
根据题意，得： = ．
(cid:1) (cid:1)−1.5
解方程，得： (cid:1) = 4．
经检验： (cid:1) = 4是原方程的根，且符合题意．
所以 (cid:1)− 1.5 = 2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
(2)设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5 × 2(cid:3) + 4(cid:3) ≤ 3800．
2
解不等式，得： (cid:3) ≤ 422 ．
9
因为 m为正整数，所以正整数m的最大值为422．
答：增加购买A型口罩的数量最多是422个．
【解析】(1)设A型口罩的单价为x元，则 B型口罩的单价为((cid:1) − 1.5)元，根据“用8000
元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
(2)设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量
的 2倍，若总费用不超过3800元”列出不等式．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，
找到合适的数量关系是解决问题的关键．
第20 页，共26 页24.【答案】(1)证明：连接DE，如图 1，
∵ (cid:8)(cid:10)= (cid:8)(cid:9) ， (cid:8)(cid:12)= (cid:10)(cid:12) ，
∴∠ (cid:10)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12) ，∠ (cid:10)= ∠ (cid:9) ，
∴∠ (cid:9)= ∠ (cid:15) ，
∴∠ (cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12) ，
∵ 是⊙ 的直径，
(cid:8)(cid:15) (cid:7)
∴∠ (cid:8)(cid:12)(cid:15)= 90°，
∴∠ (cid:15)+ ∠ (cid:12)(cid:8)(cid:15)= 90°，
∴∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12)+ ∠ (cid:12)(cid:8)(cid:15)= 90°，
即∠ (cid:10)(cid:8)(cid:15)= 90°，
∴直线 AB是⊙
(cid:7)
的切线；
(2)解：如图2，作
(cid:8)(cid:27)
⊥
(cid:10)(cid:9)
，垂足为点H，
∵ (cid:8)(cid:10)= (cid:8)(cid:9) ，
∴ (cid:10)(cid:27)= (cid:9)(cid:27) ，
∵∠ (cid:10)= ∠ (cid:9)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12) ，
∴△ ∽△ ，
(cid:8)(cid:10)(cid:9) (cid:12)(cid:10)(cid:8)
∴(cid:8)(cid:10) = (cid:10)(cid:9)，
(cid:10)(cid:12) (cid:8)(cid:10)
即 (cid:8)(cid:10) 2 = (cid:10)(cid:12)· (cid:10)(cid:9) ，
又 (cid:8)(cid:10)= 2√6， (cid:10)(cid:12)= (cid:8)(cid:12)= 3，
∴ (cid:10)(cid:9)= 8，
在 (cid:24)(cid:25) △ (cid:8)(cid:10)(cid:27) 中， (cid:10)(cid:27)= (cid:9)(cid:27)= 4，
第21 页，共26 页∴ (cid:8)(cid:27)= √(cid:8)(cid:10) 2 − (cid:10)(cid:27) 2 = √(2√6)2 − 42 = 2√2，
∵∠ (cid:15)= ∠ (cid:10) ，∠ (cid:8)(cid:12)(cid:15)= ∠ (cid:8)(cid:27)(cid:10) ，
∴△ ∽△ ，
(cid:8)(cid:15)(cid:12) (cid:8)(cid:10)(cid:27)
∴(cid:8)(cid:15)= (cid:8)(cid:12)，
(cid:8)(cid:10) (cid:8)(cid:27)
∴ (cid:8)(cid:15)= (cid:8)(cid:10)·(cid:8)(cid:12)= 2√6×3 = 3√3．
(cid:8)(cid:27) 2√2
【解析】(1)连接 DE，根据等腰三角形的性质得到∠ (cid:10)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12) ，∠ (cid:10)= ∠ (cid:9) ，等量代换
得到∠ (cid:15)= ∠ (cid:10)(cid:8)(cid:12) ，根据圆周角定理得到∠ (cid:8)(cid:12)(cid:15)= 90°，得到∠ (cid:10)(cid:8)(cid:15)= 90°，于是得到结论；
(2)作 (cid:8)(cid:27) ⊥ (cid:10)(cid:9) ，垂足为点H，证明△ (cid:8)(cid:10)(cid:9) ∽△ (cid:12)(cid:10)(cid:8) ，由相似三角形的性质得出(cid:8)(cid:10) = (cid:10)(cid:9)，
(cid:10)(cid:12) (cid:8)(cid:10)
求出 BC的长，证明△
(cid:8)(cid:15)(cid:12)
∽△
(cid:8)(cid:10)(cid:27)
，得出(cid:8)(cid:15) = (cid:8)(cid:12)，则可求出答案．
(cid:8)(cid:10) (cid:8)(cid:27)
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正
确的作出辅助线是解题的关键．
1
0 = − × 36 − 6(cid:5) + (cid:6)
25.【答案】解：(1)将点 A、B的坐标代入抛物线的表达式得{ 2 ，
1
0 = − + (cid:5) + (cid:6)
2
5
解得{ (cid:5) =
2
，
(cid:6) = −3
故抛物线的表达式为 (cid:18) = 1 (cid:1) 2 + 5 (cid:1) − 3①；
2 2
(2)过点 D作
(cid:12)(cid:15)
⊥
(cid:18)
轴于点E，
而直线 ⊥ ， ⊥ 轴，
(cid:23) (cid:8)(cid:9) (cid:8)(cid:7) (cid:18)
∴∠ (cid:9)(cid:12)(cid:15)+ ∠ (cid:12)(cid:9)(cid:15)= 90°，∠ (cid:12)(cid:9)(cid:15)+ ∠ (cid:7)(cid:9)(cid:8)= 90°，
∴∠ (cid:9)(cid:12)(cid:15)= ∠ (cid:7)(cid:9)(cid:8) ，
第22 页，共26 页∵∠ (cid:8)(cid:7)(cid:9)= ∠ (cid:9)(cid:15)(cid:12)= 90°，
∴△
(cid:9)(cid:15)(cid:12)
∽△
(cid:8)(cid:7)(cid:9)
，则(cid:12)(cid:15)= (cid:9)(cid:15)，
(cid:7)(cid:9) (cid:8)(cid:7)
而点 A、C的坐标分别为(−6,0) 、(0,−3) ，则 (cid:8)(cid:7)= 6， (cid:7)(cid:9)= 3，设点 (cid:12)((cid:1), 1 (cid:1) 2 + 5 (cid:1) − 3)，
2 2
则 (cid:12)(cid:15)= −(cid:1) ， (cid:9)(cid:15)= − 1 (cid:1) 2 − 5 (cid:1) ，
2 2
则−(cid:1) = − 1 2 (cid:1) 2− 5 2 (cid:1)，解得 (cid:1) = 0(舍去)或−1 ，
3 6
当 (cid:1) = −1 时， (cid:18) = 1 (cid:1) 2 + 5 (cid:1)− 3 = −5 ，
2 2
故点 D的坐标为(−1, −5) ；
(3)① 当点P在 x轴的上方时，
由点 C、D的坐标得，直线l的表达式为 (cid:18) = 2(cid:1) − 3，
延长 AP交直线 l于点M，设点 (cid:13)((cid:25),2(cid:25) − 3)，
∵∠ (cid:14)(cid:8)(cid:9)= 45°，直线 (cid:23) ⊥ (cid:8)(cid:9) ，
∴△ (cid:8)(cid:9)(cid:13) 为等腰直角三角形，则 (cid:8)(cid:9)= (cid:9)(cid:13) ，
则62 + 32 = ((cid:25) − 0)2 + (2(cid:25) − 3 + 3)2，解得 (cid:25) = 3，
故点 M的坐标为(3,3)，
由点 A、M的坐标得，直线AM的表达式为 (cid:18) = 1 (cid:1)+ 2②，
3
5
联立①② 并解得 (cid:1) = −6( 舍去)或 ，
3
5
故点 P的横坐标 (cid:3) = ；
3
②当点 P在 x轴的下方时，
同理可得 (cid:3) = −5 ，
5
综上， (cid:3) = −5 或 ．
3
第23 页，共26 页【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)证明△
(cid:9)(cid:15)(cid:12)
∽△
(cid:8)(cid:7)(cid:9)
，则(cid:12)(cid:15)= (cid:9)(cid:15)，即−(cid:1)
=
− 1
2
(cid:1) 2− 5
2
(cid:1)，即可求解；
(cid:7)(cid:9) (cid:8)(cid:7) 3 6
(3)① 当点P在 x轴的上方时，证明△ (cid:8)(cid:9)(cid:13) 为等腰直角三角形，利用 (cid:8)(cid:9)= (cid:9)(cid:13) ，即可求
解；②当点P在 x轴的下方时，同理可解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形
相似等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】2 4
【解析】解：(1) ∵将矩形ABCD折叠，使点A与点 P重合，点D落在点G处，
∴ (cid:8)(cid:15)= (cid:9)(cid:15) ，∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:9)(cid:15)(cid:16) ，
∵ (cid:9)(cid:15) 2 = (cid:10)(cid:15) 2 + (cid:10)(cid:9) 2，
∴(6 − (cid:10)(cid:15))2 = (cid:10)(cid:15) 2 + 12，
∴ (cid:10)(cid:15)= 2，
∴ (cid:9)(cid:15)= 4，
∵cos∠ (cid:9)(cid:15)(cid:10)= (cid:10)(cid:15)= 1 ，
(cid:9)(cid:15) 2
∴∠ (cid:9)(cid:15)(cid:10)= 60°，
∴∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:16)(cid:15)(cid:9)= 60°，
∵ (cid:8)(cid:10)//(cid:12)(cid:9) ，
∴∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:9)(cid:16)(cid:15)= 60°，
∴△ 是等边三角形，
(cid:9)(cid:15)(cid:16)
∴ (cid:15)(cid:16)= (cid:9)(cid:15)= 4，
故答案为：2，4；
(2)① ∵将矩形 ABCD折叠，
∴ (cid:16)(cid:28)//(cid:15)(cid:14) ，
∴∠ (cid:13)(cid:16)(cid:7)= ∠ (cid:14)(cid:15)(cid:7) ，
∵点 O是EF的中点，
∴ (cid:15)(cid:7)= (cid:16)(cid:7) ，
又∵∠ (cid:15)(cid:7)(cid:14)= ∠ (cid:16)(cid:7)(cid:13) ，
∴△ (cid:15)(cid:7)(cid:14) ≌△ (cid:16)(cid:7)(cid:13)((cid:8)(cid:8)(cid:26) ，)
∴ (cid:16)(cid:13)= (cid:14)(cid:15) ，
第24 页，共26 页又∵ (cid:13)(cid:16)//(cid:14)(cid:15) ，
∴四边形 MEPF是平行四边形；
②如图 2，连接AP交 EF于 H，
∵将矩形 ABCD折叠，
∴ (cid:8)(cid:15)= (cid:15)(cid:14) ，∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:14)(cid:15)(cid:16) ，∠ (cid:28)= ∠ (cid:12)= 90°， (cid:8)(cid:12)= (cid:14)(cid:28)= 2√3，
∴ (cid:15)(cid:16) ⊥ (cid:14)(cid:8) ， (cid:14)(cid:27)= (cid:8)(cid:27) ，
∵四边形 MEPF是平行四边形，
∴ (cid:13)(cid:7)= (cid:7)(cid:14) ，
∴ (cid:13)(cid:8)//(cid:15)(cid:16) ，
∴∠ (cid:13)(cid:8)(cid:14)= ∠ (cid:16)(cid:27)(cid:14)= 90°，
∴∠ (cid:13)(cid:8)(cid:14)= ∠ (cid:12)(cid:8)(cid:10)= 90°，
∴∠ (cid:13)(cid:8)(cid:12)= ∠ (cid:14)(cid:8)(cid:10) ，
∴tan∠ (cid:13)(cid:8)(cid:12)= tan∠ (cid:14)(cid:8)(cid:10)= 1 = (cid:14)(cid:10)，
3 (cid:8)(cid:10)
∴ (cid:14)(cid:10) = 1 (cid:8)(cid:10)= 1 × 6 = 2，
3 3
∵ (cid:14)(cid:15) 2 = (cid:10)(cid:15) 2 + (cid:10)(cid:14) 2，
∴(6 − (cid:10)(cid:15))2 = (cid:10)(cid:15) 2 + 4，
∴ (cid:10)(cid:15)= 8 ，
3
∴ (cid:14)(cid:15)= 6 − (cid:10)(cid:15)= 10 ，
3
∴四边形 MEPF的面积= (cid:14)(cid:15)× (cid:14)(cid:28)= 10 × 2√3 = 20√3．
3 3
(1)由折叠的性质， (cid:8)(cid:15)= (cid:9)(cid:15) ，∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:9)(cid:15)(cid:16) ，由勾股定理可求 (cid:9)(cid:15)= 4， (cid:10)(cid:15)= 2，由锐
角三角函数可求∠ (cid:9)(cid:15)(cid:10)= 60°，进而可证△ (cid:9)(cid:15)(cid:16) 是等边三角形，可求EF的长；
(2)① 由“AAS”可证△ (cid:15)(cid:7)(cid:14) ≌△ (cid:16)(cid:7)(cid:13) ，可得 (cid:16)(cid:13)= (cid:14)(cid:15) ，由平行四边形的判定可得结论；
②连接 AP交 EF于 H，由折叠的性质可得 (cid:8)(cid:15)= (cid:15)(cid:14) ，∠ (cid:8)(cid:15)(cid:16)= ∠ (cid:14)(cid:15)(cid:16) ，∠ (cid:28)= ∠ (cid:12)= 90°，
(cid:8)(cid:12)= (cid:14)(cid:28)= 2√3，由等腰三角形的性质可得 (cid:15)(cid:16) ⊥ (cid:14)(cid:8) ， (cid:14)(cid:27)= (cid:8)(cid:27) ，由三角形的中位线定
理可得 (cid:13)(cid:8)//(cid:15)(cid:16) ，可求∠ (cid:13)(cid:8)(cid:12)= ∠ (cid:14)(cid:8)(cid:10) ，由锐角三角函数可求 (cid:14)(cid:10) = 2，由勾股定理可求
第25 页，共26 页PE的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾
股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理
是本题关键．
第26 页，共26 页
