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2014 年广西省梧州市中考数学试卷
一、选择题
1.（2014•梧州）﹣9的相反数是（ ）
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
2.（2014•梧州）在下列立体图形中，侧面展开图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
3.（2014•梧州）第二届梧州特色产品博览会期间，三天内签订的合同金额达34000000
元，其中34000000用科学记数法表示为（ ）
A. 34×106 B. 3.4×107 C. 0.34×108 D. 340×105
4.（2014•梧州）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（
）
A. （﹣1，2） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣
2） D. （﹣2，﹣1）
5.（2014•梧州）在一次捐款活动中，某校七年级（1）班6名团员的捐款金额（单位：
元）如下：10，15，30，50，30，20．这级数据的众数是（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
6.（2014•梧州）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系
是（ ）
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在
⊙O外 D. 点A与圆心O重合
7.（2014•梧州）下列计算正确的是（ ）
A. + = B. =4
C. 3 ﹣ =3 D. • =8.（2014•梧州）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.（2014•梧州）2012年滕县某陶瓷厂年产值3500万元，2014年增加到5300万元．设平
均每年增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 3500（1+x）=5300 B. 5300（1+x）=3500
C. 5300（1+x）2=3500 D. 3500（1+x）2=5300
10.（2014•梧州）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，
∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程
中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
11.（2014•梧州）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心是O
点，点A，D在x轴上，点E在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值是
（ ）A. 1 B. C. D. 2
12.（2014•梧州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E
点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（ ）
A. B. C. D. 3
二、填空题
13.（2014•梧州）计算：2x+x=________．
14.（2015•德阳）分解因式：a3﹣a=________．
15.（2014•梧州）已知线段AB的A点坐标是（3，2），B点坐标是（﹣2，﹣5），将线段
AB平移后得到点A的对应点A′的坐标是（5，﹣1），则点B的对应点B′的坐标是
________．
16.（2014•梧州）如图，计算所给三视图表示的几何体的体积是________．17.（2014•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆
时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是________．
18.（2014•梧州）如图，下列图案都是由小正方形组成的，它们形成矩形的个数是有规律
的：第（1）个图案中，矩形的个数是1个；第（2）个图案中，矩形的个数是4个；…第
（25）个图案中，矩形的个数是________个．
三、解答题
19.（2014•梧州）计算：（ ）﹣2﹣|﹣7|+（5 ﹣ +25）0﹣（﹣1）2014 ．
20.（2014•梧州）如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．21.（2014•梧州）如图，大楼外墙有高为AB的广告牌，由距离大楼20米的点C（即CD=20
米）观察它的顶部A的仰角是55°，底部B的仰角是42°，求AB的高度．（参考数据：
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
22.（2014•梧州）某校体育老师为了解该校八年级学生对球类运动项目的喜爱情况，进行
了随机抽样调查（每位学生必须且只能选择一项最喜爱的运动项目），并将调查结果进行
整理，绘制了如图不完整的统计图表．请根据图表中的信息解答下列问题：
类别 频数
A．乒乓球 16
B．足球 20
C．排球 n
D．篮球 15
E．羽毛球 m
（1）填空：m=________，n=________；
（2）若该年级有学生800人，请你估计这个年级最喜爱篮球的学生人数；
（3）在这次调查中随机抽中一名最喜爱足球的学生的概率是多少？23.（2014•梧州）某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会
城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度
比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车
的速度．
24.（2014•梧州）某商家到梧州市一茶厂购买茶叶，购买茶叶数量为x千克（x＞0），总费
用为y元，现有两种购买方式． 方式一：若商家赞助厂家建设费11500元，则所购茶叶
价格为130元/千克；（总费用=赞助厂家建设费+购买茶叶费）
方式二：总费用y（元）与购买茶叶数量x（千克）满足下列关系式：y=
．
请回答下面问题：
（1）写出购买方式一的y与x的函数关系式；
（2）如果购买茶叶超过150千克，说明选择哪种方式购买更省钱；
（3）甲商家采用方式一购买，乙商家采用方式二购买，两商家共购买茶叶400千克，总费
用共计74600元，求乙商家购买茶叶多少千克？
25.（2014•梧州）如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂
线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若sinE= ，PA=6，求AC的长．
26.（2014•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与
y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于
点C、x轴于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面
积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x= ，顶点坐标为（ ， ）]．2014 年广西省梧州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.（2014•梧州）﹣9的相反数是（ ）
1 1
A. 9 B. ﹣9 C. D. ﹣
9 9
【答案】A
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】解：根据相反数的定义，得﹣9的相反数是9．
故选A．
【分析】理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2.（2014•梧州）在下列立体图形中，侧面展开图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】几何体的展开图
【解析】解：A、侧面展开图是梯形，故A错误； B、侧面展开图是矩形，故B正确；
C、侧面展开图是三角形，故C错误；
D、侧面展开图是扇形，故D错误；
故选：B．
【分析】根据几何体的展开图：棱台的侧面展开图是四个梯形，圆柱的侧面展开图是矩
形，棱锥的侧面展开图是三个三角形，圆锥的侧面展开图是扇形，可得答案．
3.（2014•梧州）第二届梧州特色产品博览会期间，三天内签订的合同金额达34000000
元，其中34000000用科学记数法表示为（ ）
A. 34×106 B. 3.4×107 C. 0.34×108 D. 340×105
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】解：将34000000用科学记数法表示为3.4×107 ． 故选B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4.（2014•梧州）在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（
）
A. （﹣1，2） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，﹣1）
【答案】A
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】解：点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，2）． 故选A．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
5.（2014•梧州）在一次捐款活动中，某校七年级（1）班6名团员的捐款金额（单位：
元）如下：10，15，30，50，30，20．这级数据的众数是（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
【答案】D
【解析】解：在10，15，30，50，30，20中，30出现了2次，出现的次数最多，则这级
数据的众数是30； 故选：D．
【分析】根据众数的定义进行解答即可，众数是一组数据中出现次数最多的数．
6.（2014•梧州）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系
是（ ）
A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在
⊙O外 D. 点A与圆心O重合
【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】解：∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7， 即点A到圆心O的距离大于
圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选C．
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
7.（2014•梧州）下列计算正确的是（ ）
A. √2 + √3 = √5 B. √8 =4 √2 C. 3 √2 ﹣ √2 =3 D. √2 • √3 = √6
【答案】D
【考点】二次根式的混合运算
【解析】解：A、 √2 与 √3 不能合并，所以A错误； B、 √8 = √4×2 =2 √2 ，所
以B错误；
C、3 √2 ﹣ √2 =2 √2 ，所以C错误；
D、 √2 • √3 = √2⋅3 = √6 ，所以D正确．
故选D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、D进行
判断．
x>1
8.（2014•梧州）不等式组 { 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x−2>0A. B. C. D.
【答案】B
【考点】在数轴上表示不等式（组）的解集，解一元一次不等式组
x>1①
【解析】解： { ， 由②得，x＞2，
x−2>0②
故此不等式组的解集为x＞2，
在数轴上表示为：
．
故选B．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
9.（2014•梧州）2012年滕县某陶瓷厂年产值3500万元，2014年增加到5300万元．设平
均每年增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 3500（1+x）=5300 B. 5300（1+x）=3500
C. 5300（1+x）2=3500 D. 3500（1+x）2=5300
【答案】D
【考点】根据数量关系列出方程
【解析】解：设每年的增长率为x，依题意得
3500（1+x）（1+x）=5300，
即3500（1+x）2=5300．
故选D．
【分析】由于设每年的增长率为x，那么第一年的产值为3500（1+x）万元，第二年的产值
3500（1+x）（1+x）万元，然后根据今年上升到5300万元即可列出方程．
10.（2014•梧州）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，
∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程
中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】B
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定【解析】解：点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边
形， 当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°＜∠EOD＜30°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD=75°时，∠AEF=90°，四边形AFCE为矩形，
当30°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形．
故选B．
【分析】根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可．
11.（2014•梧州）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心是O
k
点，点A，D在x轴上，点E在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值是
x
（ ）
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
【答案】C
【考点】正多边形和圆，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】解：过点E作EG⊥AD于点G，连接OE，
∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心是O点，
1
∴∠DOE=∠EDO=60°，OG= EF=1，
2
∴EG=OG•tan60°=1× √3 = √3 ，
∴E（1， √3 ）．
k
∵点E在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，
x
∴k=1× √3 = √3 ．
故选C．
【分析】过点E作EG⊥AD于点G，连接OE，根据正六边形的性质可知∠DOE=∠EDO=60°，OG=OE=1，故可得出EG的长，进而得出E点坐标，求出k的值．
12.（2014•梧州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E
点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（ ）
3√15 17 11
A. B. C. D. 3 √2
2 3 2
【答案】A
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】解：如图，连接BO并延长交AD于点F，连接OD，
∵OD=OA，BD=BA，
∴BO为AD的垂直平分线，
∵AC为直径，
∴CD⊥AD，
∴∠BFA=∠CDA，
∴BO∥CD，
∴△CDE∽△OBE，
CD CE
∴ = ，
BO OE
∵OB=OC=3，CE=1，
∴OE=2，
CD 1
∴ = ，
3 2
3
∴CD= ，
2√ 3 2 √135 3√15
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD= √AC2−CD2 = 62−( ) = = ，
2 4 2
故选A．
【分析】连接BO并延长交AD于点F，连接OD，可证得BO⊥AD，可得BO∥CD，可证明
△CDE∽△OBE，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD．
二、填空题
13.（2014•梧州）计算：2x+x=________．
【答案】3x
【考点】合并同类项法则及应用
【解析】解：2x+x=（2+1）x=3x．
故答案为：3x．
【分析】根据合并同类项的法则：系数相加字母和字母的指数不变即可求解．
14.（2015•德阳）分解因式：a3﹣a=________．
【答案】a（a+1）（a﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：a3﹣a， =a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
15.（2014•梧州）已知线段AB的A点坐标是（3，2），B点坐标是（﹣2，﹣5），将线段
AB平移后得到点A的对应点A′的坐标是（5，﹣1），则点B的对应点B′的坐标是
________．
【答案】（0，﹣8）
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】解：∵点A（3，2）的对应点A′是（5，﹣1），
∴平移规律是横坐标加2，纵坐标减3，
∴点B（﹣2，﹣5）的（0，﹣8）．
故答案为：（0，﹣8）．
【分析】根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后求解即可．
16.（2014•梧州）如图，计算所给三视图表示的几何体的体积是________．【答案】136π
【考点】由三视图判断几何体
【解析】解：由三视图可知几何体是下部为底面半径为4，高为8的圆柱，上部是底面半
径为2，高为2的圆柱， 所以所求几何体的体积为：42π×8+22π×2=136π；
故答案为：136π．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．
17.（2014•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，将Rt△ABC绕点A逆
时针旋转30°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是________．
π−√3
【答案】
3
【考点】扇形面积的计算，旋转的性质
【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°， ∴∠CAB=60°，AB=2AC=2，
BC= √3 AC= √3 ，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，
∴AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC= √3 ，∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，
∴∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，
在Rt△AC′D中，∵∠C′AD=30°，
√3 √3
∴C′D= AC′= ，
3 3
√3 2√3
∴B′D=B′C′﹣C′D= √3 ﹣ = ，
3 3
∴图中阴影部分的面积=S ﹣S
扇形BAB′ △ADB′
30⋅π⋅22 1 2√3
= ﹣ × ×1
360 2 3
π−√3
= ．
3π−√3
故答案为： ．
3
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2AC=2，BC= √3 AC= √3 ，根据
互余得到∠CAB=60°，再根据旋转的性质得到AC′=AC=1，AB′=AB=2，B′C′=BC= √3 ，
∠B′AB=30°，∠C′AB′=∠CAB=60°，则∠C′AD=∠C′AB′∠BAB′=30°，接着在Rt△AC′D中，利用
√3 √3 2√3
∠C′AD=30°可得C′D= AC′= ，所以B′D=B′C′﹣C′D= ，然后根据三角形面积公
3 3 3
式、扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S ﹣S 进行计算即可．
扇形BAB′ △ADB′
18.（2014•梧州）如图，下列图案都是由小正方形组成的，它们形成矩形的个数是有规律
的：第（1）个图案中，矩形的个数是1个；第（2）个图案中，矩形的个数是4个；…第
（25）个图案中，矩形的个数是________个．
【答案】625
【考点】探索图形规律
【解析】解：第一个图形有1个矩形；
第二个图形有4个矩形；
第三个图形有9个矩形；
第四个图形有16个矩形；
…
第n个图形有n2个矩形，
当n=25时，252=625，
故答案为：625．
【分析】观察矩形的个数依次为1、3、5、7、9…，据此找到规律，代入n=25求解即可．
三、解答题
1
19.（2014•梧州）计算：（ ）﹣2﹣|﹣7|+（5 √9 ﹣ √64 +25）0﹣（﹣1）2014 ．
3
【答案】解：原式=9﹣7+1﹣1=2．
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质
【解析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项
利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果．
20.（2014•梧州）如图，已知AB∥CD，AB=CD，BF=CE，求证：AE=DF．【答案】证明：AB∥CD， ∴∠DCF=∠ABE，
∵BF=CE，
∴BF﹣EF=CE﹣EF，即CF=BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】易证∠DCF=∠ABE，CF=BE，即可证明△ABE≌△DCF，可得AE=DF，即可解题．
21.（2014•梧州）如图，大楼外墙有高为AB的广告牌，由距离大楼20米的点C（即CD=20
米）观察它的顶部A的仰角是55°，底部B的仰角是42°，求AB的高度．（参考数据：
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【答案】解：由已知可得：∠ACD=55°，∠BCD=42°，CD=20，
AD BD
又∵tan∠ACD= ，tan∠BCD= ，
CD CD
∴AD=CD•tan∠ACD，BD=CD•tan∠BCD，
∴AB=AD﹣BD=CD•tan∠ACD﹣CD•tan∠BCD
≈20×1.43﹣20×0.90
≈10.6（m）
答：AB的高度为10.6m．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】利用已知得出AD=CD•tan∠ACD，BD=CD•tan∠BCD，进而利用AB=AD﹣BD求出即可．
22.（2014•梧州）某校体育老师为了解该校八年级学生对球类运动项目的喜爱情况，进行
了随机抽样调查（每位学生必须且只能选择一项最喜爱的运动项目），并将调查结果进行
整理，绘制了如图不完整的统计图表．请根据图表中的信息解答下列问题：
类别 频数
A．乒乓球 16
B．足球 20
C．排球 n
D．篮球 15
E．羽毛球 m
（1）填空：m=________，n=________；
（2）若该年级有学生800人，请你估计这个年级最喜爱篮球的学生人数；
（3）在这次调查中随机抽中一名最喜爱足球的学生的概率是多少？
【答案】（1）17；12
（2）解：根据题意得： 800× =150（人），
答：估计这个年级有150人最喜爱篮球
（3）解：∵喜爱足球的学生有20人， ∴在这次调查中随机抽中一名最喜爱足球的学生
的概率是：P= =
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图，概率公式
16
【解析】解：（1）调查的学生数是： =80（人）， 则m=80×21.25%=17（人），
20%
n=80﹣16﹣20﹣15﹣17=12（人），
故答案为：17；12．
【分析】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占
的百分比，求出m的值，再用总人数减去其它球类运动的人数，求出n的值；（2）用总
人数乘以最喜爱篮球的学生人数所占的百分比即可得出答案；（3）根据概率公式即整体×
样本的百分比，即可得出答案．
23.（2014•梧州）某市修通一条与省会城市相连接的高速铁路，动车走高速铁路线到省会
城市路程是500千米，普通列车走原铁路线路程是560千米．已知普通列车与动车的速度比是2：5，从该市到省会城市所用时间动车比普通列车少用4.5小时，求普通列车、动车
的速度．
【答案】解：设普通列车的速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时， 由题意
有：
解得：x=40，
经检验：x=40是分式方程的解，
∴2x=80，5x=200．
答：普通列车的速度80千米/小时，动车的速度是200千米/小时
【考点】分式方程的实际应用
【解析】首先设普通列车的速度2x千米/小时，则动车的速度是5x千米/小时，根据题意可
得等量关系：动车比普通列车少用4.5小时，根据时间关系列出方程即可．
24.（2014•梧州）某商家到梧州市一茶厂购买茶叶，购买茶叶数量为x千克（x＞0），总费
用为y元，现有两种购买方式． 方式一：若商家赞助厂家建设费11500元，则所购茶叶
价格为130元/千克；（总费用=赞助厂家建设费+购买茶叶费）
方式二：总费用y（元）与购买茶叶数量x（千克）满足下列关系式：y=
200x(0150)
请回答下面问题：
（1）写出购买方式一的y与x的函数关系式；
（2）如果购买茶叶超过150千克，说明选择哪种方式购买更省钱；
（3）甲商家采用方式一购买，乙商家采用方式二购买，两商家共购买茶叶400千克，总费
用共计74600元，求乙商家购买茶叶多少千克？
【答案】（1）解：y=130x+11500
（2）解：∵x＞150， ∴对于方式二有：y=150x+7500，
令150x+7500＞130x+11500，
则x＞200，
∴当150＜x＜200时，选择方式二购买更省钱；当x=200时，选择两种购买方式花费都一
样；当x＞200时，选择方式一购买更省钱
（3）解：设乙商家购买茶叶x千克， 若x≤150，则200x+130（400﹣x）+11500=74600，
解得x=158 ＞150（不符合题意），
若x＞150，则150x+7500+130（400﹣x）+11500=74600，解得x=180．
答：乙商家购买茶叶180千克
【考点】一次函数的实际应用【解析】（1）根据方式一的总费用的组成列式即可；（2）判断出方式二的解析式，然后
列不等式求出方式一比方式二费用大的x的值，再根据购买数量分别作出判断；（3）设乙
商家购买茶叶x千克，然后分x≤150和x＞150两种情况列出方程求解即可．
25.（2014•梧州）如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂
线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
3
（2）若sinE= ，PA=6，求AC的长．
5
【答案】（1）证明：连接OA，如图，
∵AC∥OP，
∴∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO，
又∵PB⊥BC，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，∴OA⊥PE，
∴PA是⊙O的切线
（2）解：∵△PAO≌△PBO， ∴PB=PA=6，
在Rt△PBE中，∵sinE= =
∴ = ，解得PE=10，
∴AE=PE﹣PA=4，
在Rt△AOE中，sinE= = ，
设OA=3t，则OE=5t，
∴AE= =4t，
∴4t=4，解得t=1，
∴OA=3，
在Rt△PBO中，∵OB=3，PB=6，
∴OP= =3 ，
∵AC∥OP，
∴△EAC∽△EPO，
∴ = ，即 = ，
∴AC= ．
【考点】全等三角形的判定与性质，切线的判定
【解析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上
∠ACO=∠CAO，则∠POA=∠POB，于是可根据“SAS”判断△PAO≌△PBO，则
∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA是⊙O的切线；（2）先由
△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE﹣
OA 3
PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE= = ，可设OA=3t，则OE=5t，由勾股定理得到
OE 5
AE=4t，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt△PBO中利用勾股定理计算出OP=3 √5，然后证明△EAC∽△EPO，再利用相似比可计算出AC．
26.（2014•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与
y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于
点C、x轴于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面
积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线
b b 4ac−b2
y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣ ，顶点坐标为（﹣ ， ）]．
2a 2a 4a
【答案】（1）解：∵对称轴为x=2，抛物线经过点B，
b
− =2
∴ { 2a ，
4a−2b+2=−4
1
∴解得：a=﹣ ，b=2，
2
1
∴抛物线的解析式是：y=﹣ x2+2x+2
2
（2）解：∵点A在y轴上，令x=0，则y=2，
∴点A坐标（0，2），
作BE⊥y轴于E，∵AC⊥AB，AO⊥OD，
∴∠AOD=∠DAO，
又∵∠AOD=∠ABE，
∴∠ABE=∠DAO，
∵∠AEB=∠AOD=90°，
∴△ABE∽△DAO，
BE AE
∴ =
AO OD
∵B（﹣2，﹣4），
∴OA=2，AE=6，BE=2，
∴OD=6，
∴点D坐标是（6，0）
（3）解：答：存在两个满足条件的点K，
∵AB=2 √10 ，
1
∴S = AB•AC=S ，
△ABC 2 平行四边形ACKL
1
∴点K到直线AC距离为 AB= √10 ；
21 16
①直线KL解析式为y=﹣ x+ ，
3 3
1 16 1
则﹣ x+ =﹣ x2+2x+2，
3 3 2
方程无解；
1 4
②直线KL解析式为y=﹣ x﹣ ，
3 3
1 4 1
则﹣ x﹣ =﹣ x2+2x+2，
3 3 2
7−√109 7+√109
解得：x= 或x= ，
3 3
7−√109 7+√109
∴存在K点，横坐标为 或
3 3
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】（1）根据对称轴为直线x=2和B是抛物线上点即可求得a、b的值，即可解题；
BE AE
（2）易求得点A坐标，作BE⊥x轴于E，易证△ABE∽△DAO，可得 = ，即可求得
AO OD
1
OD的值，即可解题；（3）易求得AB长度，再根据S = AB•AC=S ， 可得
△ABC 2 平行四边形ACKL
1 10
点K到直线AC距离为 AB，易求得直线AC解析式，将直线AC向上或向下平移 单
2 3
位，求得直线与抛物线交点即可解题．
