文档内容
2014 年广西柳州市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2014•柳州）在所给的 ，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．﹣1 D．3
3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（ ）
A．2 B．π C． D．﹣2
4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（ ）
A．120° B．30° C．40° D．60°
5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（ ）
A． ﹣1= B． （ ）2=5 C． 2a﹣b=ab D． =
[来源:学|科|网]
6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[来源:Zxxk.Com]
7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者
年龄的众数是（ ）
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O 和⊙O 外切时，它们的圆心距
1 2
O O =8，则⊙O 的半径r为（ ）
1 2 2
A．12 B．8 C．5 D．3
9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）
A． 长方形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 直角梯形
10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（
）
2A．240° B．120° C．60° D．30°
11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程
x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有
一个灯泡发光的概率是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是 ．
14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，
如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或
“＜”填空）．
315．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．
16．（3分）（2014•柳州）方程 ﹣1=0的解是x= ．
17．（3分）（2014•柳州）将直线y= x向上平移 个单位后得到直线y= x+7．
18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边
△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S 、S 、S ，现有如下结论：
1 2 3
①S
1
：S
2
=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S
1
•S
2
= S
3
2．
其中结论正确的序号是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．
20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．
4请你根据图表，完成下列问题：
（1）补充完成下面成绩表单的填写：
射击序次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/环 8 10 7 9 10 7 10
（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．
21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码
重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？
22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5 ，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．
23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y= 的图象过点A（1，2）．
5（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围
成矩形的面积为定值．
24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的
外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形
OBDC是菱形．
25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段
PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的
延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
[来源:Z*xx*k.Com]
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
626．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1， ），直线
y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范
围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y
轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的
比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，
1 2
则：x +x =﹣ ，x •x =
1 2 1 2
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x +x =﹣ ，x •x =
1 2 1 2
∴原方程两根之和=﹣ =3，两根之积= =﹣15．
782014 年广西柳州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（ ）
A． B． C． D．
分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答： 解：从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形，
故选：A．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
2．（3分）（2014•柳州）在所给的 ，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．﹣1 D．3
考点：有理数大小比较．
菁优网版权所有
分析：要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解答：
解：﹣1＜0＜ ＜3．
故选：C．
点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（ ）
A．2 B．π C． D．﹣2
考点：无理数．
菁优网版权所有
分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解答：解：π是无限不循环小数，
故选：B．
点评：本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（ ）
9A．120° B．30° C．40° D．60°
考点：平行线的性质．
菁优网版权所有
分析：根据两直线平行，同位角相等解答．
解答：解：∵直线l∥OB，
∴∠1=60°．
故选D．
点评：本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（ ）
A． ﹣1= B．（ ）2=5 C．2a﹣b=ab D．
[来源: =
学|科|网]
考点：分式的加减法；实数的运算；合并同类项．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=2﹣1=1；故选项错误；
B、原式=5，故选项正确；
C、原式不能合并，故选项错误；
D、原式= ，故选项错误．
故选B．
点评：此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[来源:Zxxk.Com]
考点：轴对称的性质．
菁优网版权所有
分析：根据轴对称的性质作出选择．
解答：解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．
故选：A．
10点评：本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．
7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者
年龄的众数是（ ）
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
考点：条形统计图；众数．
菁优网版权所有
分析：根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．
解答：解：众数是14岁．
故选C．
点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O 和⊙O 外切时，它们的圆心距
1 2
O O =8，则⊙O 的半径r为（ ）
1 2 2
A．12 B．8 C．5 D．3
考点：圆与圆的位置关系．
菁优网版权所有
分析：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
解答：解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．
故选D．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
[来源:学科网]
9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）
11A． 长方形 B． 平行四边形 C． 菱形 D． 直角梯形
考点：多边形．
菁优网版权所有
分析：根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
解答：解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂
直．
故选C．
点评：本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方
形的对角线互相垂直．
10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（
）
A．240° B．120° C．60° D．30°
考点：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
分析：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这
个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
解答：解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x=（6﹣2）•180°，
解得x=120°．
故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．
故答案选：B．
点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式
进行正确运算、变形和数据处理．
11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程
x2+ax+b=0的解是（ ）
12A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
考点：抛物线与x轴的交点．
菁优网版权所有
分析：关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．
解答：解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故选：D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有
一个灯泡发光的概率是（ ）
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95
考点： 列表法与树状图法．
菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，
即可求出所求的概率．
解答： 解：列表如下：
灯泡1发光 灯泡1不发光
灯泡2发光 （发光，发光） （不发光，发光）
灯泡2不发光 （发光，不发光） （不发光，不发光）
所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，
则P= =0.75．
故选C．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是 ﹣ 3 ．
考点：相反数．
菁优网版权所有
13分析：此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的
相反数是0．
解答：解：3的相反数就是﹣3．
点评：此题主要考查相反数的概念．
14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，
如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜ y（用“＞”或
“＜”填空）．
考点：不等式的定义．
菁优网版权所有
分析：由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．
解答：解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，
故答案为：＜．
点评：本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．
15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= 5 ．
考点：等腰梯形的性质．
菁优网版权所有
分析：根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．
解答：解：∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，
∵BC=4，
∴AD=4，
∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，
∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，
故答案为5．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
16．（3分）（2014•柳州）方程 ﹣1=0的解是x= 2 ．
考点：解分式方程．
菁优网版权所有
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：2﹣x=0，
解得：x=2，
14经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：2．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（3分）（2014•柳州）将直线y= x向上平移 7 个单位后得到直线y= x+7．
考点：一次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
分析：直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解答：
解：由“上加下减”的原则可知，将直线y= x向上平移7个单位所得直线的解析式
为：y= x+7．
故答案为：7．
点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关
键．
18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边
△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S 、S 、S ，现有如下结论：
1 2 3
①S
1
：S
2
=AC2：BC2；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S
1
•S
2
= S
3
2．
其中结论正确的序号是 ①②③ ．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
菁优网版权所有
分析：①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；
②根据SAS即可求得全等；
③根据面积公式即可判断．
解答：①S
1
：S
2
=AC2：BC2正确，
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S ：S =AC2：BC2．
1 2
15②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．
③若AC⊥BC，则S
1
•S
2
= S
3
2正确，
解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高= a，
△BCE的高= b，
∴S = a a= a2，S = b b= b2，
1 2
∴S •S = a2 b2= a2b2，
1 2
∵S = ab，
3
∴S 2= a2b2，
3
∴S •S = S 2．
1 2 3
点评：本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的
比等于相似比的平方．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．
考点：有理数的乘法；有理数的加法．
菁优网版权所有
分析：根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案．
解答：解：原式=﹣10+3
=﹣7．
点评：本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号．
20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．
请你根据图表，完成下列问题：
（1）补充完成下面成绩表单的填写：
射击序次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/环 8 10 7 9 10 7 10
（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．
16考点：折线统计图；统计表；算术平均数．
菁优网版权所有
分析：根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；
（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．
解答：解：（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：8，第二次射击环数为：9，第三次射击环
数为：7，
故答案为：8，9，7．
（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）．
点评：本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正确
找出数据．
21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码
重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？
考点：二元一次方程组的应用．
菁优网版权所有
分析：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，根据图示可得：大苹果的重量=小苹果
+50g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．
解答：解：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，
由题意得， ，
解得： ．
答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方
程组求解．
22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5 ，∠A=30°．
①求BD和AD的长；
②求tan∠C的值．
17考点：解直角三角形；勾股定理．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形
三边的关系先得到BD= AB=3，再得到AD= BD=3 ；
（2）先计算出CD=2 ，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解．
解答：解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，
∴BD= AB=3，
∴AD= BD=3 ；
（2）CD=AC﹣AD=5 ﹣3 =2 ，
在Rt△ADC中，tan∠C= = = ．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直
角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y= 的图象过点A（1，2）．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围
成矩形的面积为定值．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
菁优网版权所有
分析：（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；
[来源:学|科|网] （2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．
解答：
解：（1）∵函数y= 的图象过点A（1，2），
∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，
18得2= ，解得：k=2，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）∵点A是反比例函数上一点，
∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．
（3）设图象上任一点的坐标（x，y），
∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，
∴矩形的面积为定值．
点评：
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y= 中k的几何意义，
注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一
个知识点．
24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的
外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形
OBDC是菱形．
考点：相似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．
菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根
据菱形的判定推出即可．
解答：证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADC；
（2）
∵∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC，
∵F为OD的中点，
19∴OB=BD，OC=CD，
∵OB=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形OBDC是菱形．
点评：本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线
性质的应用，主要考查学生的推理能力．
25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段
PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的
延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
[来源:Z*xx*k.Com]
（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
菁优网版权所有
分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得
△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得
证得PA=PB，则可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠QPE，
∵EQ⊥AB，
∴∠A=∠Q=90°，
在△ADP和△QPE中，
，
∴△ADP≌△QPE（AAS），
∴PQ=AD=1；
（2）∵△PFD∽△BFP，
∴ ，
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，
∴△DAP∽△PBF，
∴ ，
∴ ，
∴PA=PB，
20∴PA= AB=
∴当PA= 时，△PFD∽△BFP．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1， ），直线
y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范
围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y
轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的
比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，
1 2
则：x +x =﹣ ，x •x =
1 2 1 2
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x +x =﹣ ，x •x =
1 2 1 2
∴原方程两根之和=﹣ =3，两根之积= =﹣15．
考点：二次函数综合题；完全平方公式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二
次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；三角形的内切圆与内心．
菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：
（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1， ）在二次函数图象上，把该点的坐标
代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
21（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对
称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x ，y ）、B（x ，y ）在直线y=kx+2上，从而可以
1 1 2 2
得到点A的坐标为（x ，kx +2）、A′的坐标为（﹣x ，kx +2）、B的坐标为（x ，kx +2）．设
1 1 1 1 2 2
直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A（′ ﹣x ，kx +2）、B（x ，
1 1 2
kx +2）在直线BG上，可用含有k、x 、x 的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与
2 1 2
抛物线y= x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x +x =4k，x •x =﹣4．从而求出n=0，
1 2 1 2
即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的
圆心落在y轴上．由S =S +S ，可以得到S =x ﹣x =
△ABG △APG △BPG △ABG 2 1
=4 ，所以当k=0时，S 最小，最小值为4．
△ABG
解答：（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．
∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1， ），
∴ =a+1．
解得：a= ．
∴二次函数的解析式为：y= x2+1．
（2）解：当x=﹣1时，y= ，
当x=0时，y=1，
当x=3时，y= ×32+1= ，
结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜ ．
（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x ，y ），
1 1
∴点A′的坐标为（﹣x ，y ）．
1 1
∵点A（x ，y ）、B（x ，y ）在直线y=kx+2上，
1 1 2 2
∴y =kx +2，y =kx +2．
1 1 2 2
∴点A′的坐标为（﹣x ，kx +2）、点B的坐标为（x ，kx +2）．
1 1 2 2
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（﹣x ，kx +2）、B（x ，kx +2）在直线BG上，
1 1 2 2
∴ ．
解得： ．
22∵A（x ，y ），B（x ，y ）是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点，
1 1 2 2
∴x 、x 是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．
1 2
∴由根与系数的关系可得；x +x =4k，x •x =﹣4．
1 2 1 2
∴n= =﹣2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落
在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S =S +S
△ABG △APG △BPG
= PG•AC+ PG•BD
= PG•（AC+BD）
= ×2×（﹣x +x ）
1 2
=x ﹣x
2 1
=
=
=
=4 ．
∴当k=0时，S 最小，最小值为4．
△ABG
∴△GAB面积的最小值为4．
23点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形
的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．
24
