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2021年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A.B.C.D.的
四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．2a﹣a＝1
C．2a•（﹣3a）＝﹣6a2 D．（a2）3＝a5
4．一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）
A．7和8 B．7.5和7 C．7和7 D．7和7.5
5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．2＜x＜4 D．4＜x＜5
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，且x 2+x 2＝
1 2 1 2
5，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
9．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬
菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝80010．如图，点A，B，C，D均在 O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对
称的点为E，若∠DCE＝100°，⊙则弦CE的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
11．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE
并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 ＝（ ）
A． B． C．1 D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接
BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差
分别为S甲 2＝1.4，S乙 2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据1411780000用
科学记数法表示为 ．
15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 ．
16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是
（结果保留 ）．
π
17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB
＝ ，则tan∠DEC的值是 ．
18．我们规定：若 ＝（x ，y ）， ＝（x ，y ），则 • ＝x x +y y ．例如 ＝（1，
1 1 2 2 1 2 1 2
3）， ＝（2，4），则 • ＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知 ＝（x+1，x﹣1）， ＝（x﹣
3，4），且﹣2≤x≤3，则 • 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算： ﹣2cos45°；
（2）解分式方程： ．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
21．（6分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交
点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比
例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
22．（8分）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随
机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过
100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
组别 锻炼时间 频数 百分比
（分） （人）
A 0≤x≤20 12 20%
B 20＜ a 35%
x≤40
C 40＜ 18 bx≤60
D 60＜ 6 10%
x≤80
E 80＜ 3 5%
x≤100
（1）本次调查的样本容量是 ；表中a＝ ，b＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1
名女生的概率是 ；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼
的时间超过60分钟的学生共有多少人？
23．（8分）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货
车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用
20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型
号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这
批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
24．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，F是AD延长线上一点，
连接CD，CF，且⊙∠DCF＝∠CAD． ⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长．25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴
相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表
达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上
存在点P，使S△BDP ＝ S△ABD ．请直接出所有符合条件的点P的坐标．
26．（10分）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方
向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求
DE的长．2021年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A.B.C.D.的
四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根
据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
【分析】根据分式成立的条件列不等式求解．
【解答】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠﹣5，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．2a﹣a＝1
C．2a•（﹣3a）＝﹣6a2 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项的运算法则、单项式乘单项式和幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a•（﹣3a）＝﹣6a2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）
A．7和8 B．7.5和7 C．7和7 D．7和7.5【分析】根据中位数、平均数的定义分别列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：把这些数从小大排列为4，6，7，8，8，9，
则中位数是 ＝7.5；
平均数是：（8+7+8+6+4+9）÷6＝7．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出
a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，
∴a﹣3＝2，b+1＝﹣1，
∴a＝5，b＝﹣2，
则a+b＝5﹣2＝3．
故选：C．
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．2＜x＜4 D．4＜x＜5
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：不等式组化为 ，
由不等式①，得x＞2，
由不等式②，得x＜4，
故原不等式组的解集是2＜x＜4，
故选：C．
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，且x 2+x 2＝
1 2 1 2
5，则k的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】利用根与系数的关系得出x +x ＝k，x x ＝k﹣3，进而得出关于k的一元二次方
1 2 1 2
程求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2∴x +x ＝k，x x ＝k﹣3，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝5，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝5，
1 2 1 2
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k ＝k ＝1，
1 2
故选：D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【分析】利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
9．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬
菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800
【分析】根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方
程，此题得解．
【解答】解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
10．如图，点A，B，C，D均在 O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对
称的点为E，若∠DCE＝100°，⊙则弦CE的长是（ ）A．2 B．2 C． D．1
【分析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，根据圆内接四边形
的性质得∠DAE＝80°，根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C是
的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形
以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是 的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝ ，
∴CE＝2 ．
故选：A．11．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE
并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 ＝（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先证明AM＝CN，再利用平行线分线段成比例
定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得结论．
【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴ ＝ ＝ ，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接
BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，
根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝ BC＝6，AT＝ ＝ ＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差
分别为S甲 2＝1.4，S乙 2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或
“乙”）．
【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数
越小，数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S甲 2＝1.4，S乙 2＝0.6，
∴S甲 2＞S乙 2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据1411780000用
科学记数法表示为 1.41178×1 0 9 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
【解答】解：1411780000＝1.41178×109，
故答案是：1.41178×109．
15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 52 ° ．【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠ECD＝
2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，
∴∠BCD＝∠B＝26°，
∵CB平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝52°，
故答案为：52°．
16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是
_____（结果保留 ）．
π
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意得：2 r＝ ，解得：l＝
π
3r，然后根据高为4，利用勾股定理得r2+42＝（3r）2，从而求得底面半径和母线长，利
用侧面积公式求得答案即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2 r＝ ，
π
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝ ，
∴母线长为3 ，
∴圆锥的侧面积为 rl＝ × ×3 ＝6 ，
故答案为：6 ． π π π
17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB
π＝ ，则tan∠DEC的值是 ．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S△ABD ＝ BD•AE＝ AB•AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： ．
18．我们规定：若 ＝（x ，y ）， ＝（x ，y ），则 • ＝x x +y y ．例如 ＝（1，
1 1 2 2 1 2 1 2
3）， ＝（2，4），则 • ＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知 ＝（x+1，x﹣1）， ＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则 • 的最大值是 8 ．
【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值
的求法解答即可．
【解答】解：根据题意知： • ＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因为﹣2≤x≤3，
所以当x＝3时， • ＝（3+1）2﹣8＝8．
即 • 的最大值是8．
故答案是：8．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算： ﹣2cos45°；
（2）解分式方程： ．
【分析】（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，
然后再计算；
（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：（1）原式＝2 +1﹣1﹣2×
＝2 +1﹣1﹣
＝ ；
（2）整理，得： ，
方程两边同时乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB
＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD即可．
（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．
21．（6分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝ 的图象相交，其中一个交
点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比
例函数y＝ 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
【分析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数
解析式联立，解方程组求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，
∴交点的坐标为（1，3），
将（1，3）代入y＝ ，
解得：k＝1×3＝3；
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，
由 ，
解得： 或 ，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝ ＝4 ．
22．（8分）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随
机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过
100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
组别 锻炼时间 频数 百分比
（分） （人）
A 0≤x≤20 12 20%
B 20＜ a 35%
x≤40
C 40＜ 18 b
x≤60
D 60＜ 6 10%
x≤80
E 80＜ 3 5%
x≤100
（1）本次调查的样本容量是 6 0 ；表中a＝ 2 1 ，b＝ 30% ；
（2）将频数分布直方图补充完整；（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1
名女生的概率是 ；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼
的时间超过60分钟的学生共有多少人？
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题；
（2）将频数分布直方图补充完整即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
再由概率公式求解即可；
（4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百
分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：12÷20%＝60，
则a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，
故答案为：60，21，30%；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：（3）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ＝ ，
故答案为： ；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．
23．（8分）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货
车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用
20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型
号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这
批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【分析】（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，根据
“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和
60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的
数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得
出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得
出各租车方案．
【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，
依题意得： ，
解得： ．答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，
依题意得： ，
解得： ≤m≤ ．
又∵m为整数，
∴m可以取18，19，
∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．
24．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，F是AD延长线上一点，
连接CD，CF，且⊙∠DCF＝∠CAD． ⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长．
【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周
角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝ ，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：
5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是 O的切线；
⊙
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝ ，
∴cos∠ADC＝ ，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝ ＝ ，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2× ＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝ （取正值），
∴FD＝3x＝ ．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表
达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上
存在点P，使S△BDP ＝ S△ABD ．请直接出所有符合条件的点P的坐标．
【分析】（1）先根据对称轴得出b＝2a，再由点C的坐标求出c＝2，最后将点A的坐
标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点D在x轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E在直线
x＝﹣1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；Ⅱ、当点D在
x轴下方时，判断出BD∥AC，即可得出结论；
（3）先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，设P（m，﹣
m2﹣ m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F（m， m﹣
），进而表示出PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣ ，
∴b＝2a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝ x+2，
当x＝﹣1时，y＝ ，
∴点E（﹣1， ），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣ x+ ，
即直线l的解析式为y＝﹣ x+ ；
Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝ x+2，
∴直线BD的解析式为y＝ x﹣ ，即直线l的解析式为y＝ x﹣ ；
综上，直线l的解析式为y＝﹣ x+ 或y＝ x﹣ ；
（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝ x﹣ ①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ x+2②，
∴ 或 ，
∴D（﹣4，﹣ ），
∴S△ABD ＝ AB•|y
D
|＝ ×4× ＝ ，
∵S△BDP ＝ S△ABD ，
∴S△BDP ＝ × ＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣ m2﹣ m+2）（m＜0），
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m， m﹣ ），
∴PF＝|﹣ m2﹣ m+2﹣（ m﹣ ）|＝| m2+2m﹣ |，
∴S△BDP ＝ PF•（x
A
﹣x
B
）＝ ×| m2+2m﹣ |×4＝10，
∴m＝ （舍）或m＝ ，
∴P（ ，5）．26．（10分）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方
向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 AE ＝ CF
；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求
DE的长．【分析】（1）结论AE＝CF．证明△AOE≌△COF（SAS），可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明∠AED＝90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE
即可．
【解答】解：（1）结论：AE＝CF．
理由：如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）结论成立．
理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴ ＝ ，
∴△AOE∽△COF，
∴ ＝ ，
∵CF＝OA＝5，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ，
∴DE＝ ＝ ＝ ．
