文档内容
2024 年陕西省高三教学质量检测试题（二）
文科数学试题
全卷满分150分 考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 的模为（ ）
A.1 B. C.3 D.
3.命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4.函数 在 上的值域为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线 的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.2 B. C. D.
6.已知变量 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A.-3 B.-1 C. D.-2
7.在 上随机取一个数 ，满足 的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼
品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为 ，半径为 ，中间
容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚 ，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为
， ， .两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（
）
A. B.
C. D.
9.已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.已知 均为锐角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司11.在 中，内角 所对的边分别为 ，向量 .已知
，且 ，则 的值为（ ）
A.16 B.18 C.20 D.24
12.已知点 是圆 上的动点，以 为圆心的圆经过点 ，且与圆 相交于 两点.
则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.不是定值
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ，若 ，则 __________.
14.已知抛物线 上的点 到焦点的距离比到 轴的距离大2，则 __________.
15.偶函数 的定义域为 ，函数 在 上递减，且对于任意 均有
，写出符合要求的一个函数 为__________.
16.如图，已知球 与圆锥 的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半.若球的半径为1，则该
圆锥的侧面积为__________.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤､第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分､
17.（本小题满分12分）
已知 为数列 的前 项和，且 ，（ 为常数）.若
.求：
（1）数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司（2） 的最值.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥 中， ，平面
平面 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
19.（本小题满分12分）
为迎接2021年陕西省全运会，在主办城市西安市举行了一场全运会选拔赛，其中甲､乙两名运动员为争取
最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（1）计算甲､乙两名运动员得分的方差；
（2）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮
比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，右准线
与 轴交于点 .点 是右准线 上的一个动点（异于点 ），过点 作椭圆 的两条切
线，切点分别为 .已知 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，直线 的斜率为 ，证明： .
学科网（北京）股份有限公司21.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）当 时，证明： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的直角坐标方程为 .以坐标原点为极点， 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求椭圆 的一个参数方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若 是椭圆 上的任意一点，求点 到直线 的距离的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，证明： .
学科网（北京）股份有限公司2024 年陕西省高三教学质量检测试题（二）
文数参考答案
1.A 由 ，有 ，故选A.
2.B 由 ，可得 ，故选B.
3.B .
4.A 由 ，可得 ，则 .
5.C 由题意可知， ，则 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司6.D 线性区域的端点坐标为 ，可知当 时， 的最小值为 .
7.B 由 ，解得 ，所求概率为 .
8.A 四足及两耳的体积为 ，容器部分的体积为
，则总体积为 .
9.B ，设切点为 ，则切线方程为 ，
因为过原点，所以 ，解得 ，则 .
10.C 易知 ，所以 ，即
.
11.D 因为 ，所以 ，由正弦定理可知， ，由余弦定
理，可得 ，则 .
12.A 设 ，则圆 ，
整理得 ，又圆 ，
两圆方程相减，可得直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 .
13. 由题意可知， ，解得 .
14. ，即 .
学科网（北京）股份有限公司15. 均可以 因为 在 上单调递减，又
，即满足 ，故 均满足要求.
连接 ，设 ，则 ，
又 ，所以圆锥的底面半径 ，
圆锥的高 ，
则该圆锥的体积为 ，解得 ，
所以 ，即母线长 ，
所以侧面积 .
17.解：（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，或 ，
由 得 ，此时，
由 得 ，此时， ，
所以 或 ；
（2）当 时， ，因为 是关于正整数 的增函数，所以 为 的
最小值， 无最大值；
当 时， ，因为 为正整数，所以当 或 时， 有
最大值 无最小值.
学科网（北京）股份有限公司18.（1）证明：取 中点为 ，
则 且 ，
又平面 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，而 平面 ，故平面 平面
（2）解：取 的中点 ，连 ，
由 为 的中点，可得 ，
又由平面 平面 ，可得 平面 ，
在直角梯形 中， ，可得 ，
在Rt 中，可得 ，
在Rt 中，由 ，可得 ，
设点 到平面 的距离为 ，
有 ，可得 ，
故点 到平面 的距离为 .
19.解：（1）易算出甲运动员得分平均分为84，乙运动员得分平均分为85，
故 ；
.
（2）由茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为： .所以甲每轮比赛的平均得
学科网（北京）股份有限公司分为 ，显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得
分共有5个，分别为 ，其中81分与平均得分的绝对值大于2，
所求概率 .
20.（1）解：由题意可知， ，且 ，解得 ，
所以 ，即椭圆 的标准方程为 ；
（2）证明：设 ，所作切线斜率为 ，则切线方程为 ，
椭圆 的方程联立， 消去 ，
整理得 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
21.解：（1）函数 的定义域为 ，
，
令 ，可得 ，
①当 时，可得 ，此时函数 在区间 上单调递增；
②当 时，可得 ，此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增；
（2）当 时，不等式 可化为 ，
学科网（北京）股份有限公司不等式两边同除以 后整理为 ，
令 ，有 ，
令 可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
可得 ，
故不等式 成立.
22.解：（1）椭圆 的参数方程为 （ 为参数）
直线 的极坐标方程可化为 ，
可化为 ，
将 代入可得直线 的直角坐标方程为 ；
（2）设点 的坐标为 ，
点 到直线 的距离为 ，
故 的最大值为 .
23.解：（1）不等式 可化为 .
①当 时，不等式可化为 ，解得 ，有 ；
②当 时，不等式可化为 ，解得 ，有 ；
③当 时，不等式可化为 ，解得 ，无解，
由上知不等式 的解集为 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）由
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
可得函数 的最大值为2.
，当且仅当 时取等号，
故有 .
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