文档内容
2016年广西北海市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）9的绝对值是（ ）
A．9 B．﹣9 C．3 D．±3
2．（3分）sin30°＝（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）今年我们三个市参加中考的考生共约11万人，用科学记数法表示11万这个数是（
）
A．1.1×103 B．1.1×104 C．1.1×105 D．1.1×106
4．（3分）如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．必然事件发生的概率等于0.5
B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95
C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定
D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法
6．（3分）如图，CD是 O的直径，CD⊥AB，已知∠1＝30°，则∠2＝（ ）
⊙
第1页（共22页）A．30° B．45° C．60° D．70°
7．（3分）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2＝0有两个实数根x 、x ，则m2（ ）＝（
1 2
）
A． B． C．4 D．﹣4
8．（3分）抛物线y＝ ，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：
都是开口向上；
①都以点（0，0）为顶点；
②都以y轴为对称轴；
③都关于x轴对称．
④其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）关于直线l：y＝kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．点（0，k）在l上
B．l经过定点（﹣1，0）
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
10．（3分）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边
AC＝BD＝10，若将三角板 DEB 绕点 B逆时针旋转 45°得到△D′E′B，则点 A在
△D′E′B的（ ）
A．内部 B．外部
C．边上 D．以上都有可能
11．（3分）如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边
形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之
1
第2页（共22页）和为S ，则 ＝（ ）
2
A． B． C． D．1
12．（3分）若一次函数y＝mx+6的图象与反比例函数y＝ 在第一象限的图象有公共点，则
有（ ）
A．mn≥﹣9且m≠0，n＞0 B．﹣9≤mn≤0
C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）计算：0﹣10＝ ．
14．（3分）计算：a2•a4＝ ．
15．（3分）要使代数式 有意义，则x的最大值是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝2 ．将△ABC沿直线CB向右作无滑
动滚动一次，则点C经过的路径长是 ．
17．（3分）同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是 ．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：
∠1＝∠2＝22.5°；
①点C到EF的距离是 ；
②△ECF的周长为2；
③BE+DF＞EF．
④其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
第3页（共22页）三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：3 +（﹣2）3﹣（ ﹣3）0．
π
20．（6分）化简：（ ） ．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A B C ．
1 1 1
（1）△A B C 与△ABC的位似比是 ；
1 1 1
（2）画出△A B C 关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A B C 内的对应点P
2 2 2 2
的坐标是 ．
22．（8分）为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活
四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列
问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多
少册合适？
第4页（共22页）23．（9分）如图，AB是 O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D
作 O的切线，分别⊙交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．
（1⊙）求证：BF是 O的切线；
（2）已知圆的半径⊙为1，求EF的长．
24．（9分）蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，
当天售完后老王一共能赚多少元钱？
青菜 西兰花
进价（元/市斤） 2.8 3.2
售价（元/市斤） 4 4.5
（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损
坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天
所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）
25．（10分）如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中
点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知 ，且菱形ABCD的
面积是20，求矩形EFGH的长与宽．
第5页（共22页）26．（12分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴
交于点C（0，3），已知对称轴x＝1．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括
△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直
角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
第6页（共22页）2016年广西北海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．【分析】根据正数的绝对值等于它本身即可求解．
【解答】解：9的绝对值是9．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【解答】解：sin30°＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11万＝1.1×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．
【解答】解：所给图形的俯视图是D选项所给的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得
到的视图．
5．【分析】命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命
题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：A、必然事件发生的概率等于1，错误；
B、5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95，正
确；
第7页（共22页）C、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则甲稳定，错误；
D、要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用全面调查的方法，错误；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和
结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．【分析】连接AD，构建直角三角形ACD．根据直径所对的圆周角是90°知三角形ACD是直
角三角形，然后在Rt△ACD中求得∠BAD＝60°；然后由圆周角定理（同弧所对的圆周角
相等）求∠2的度数即可．
【解答】解：如图，连接AD．
∵CD是 O的直径，
∴∠CAD⊙＝90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠1＝30°，
∴∠DAB＝60°；
又∵∠DAB＝∠2（同弧所对的圆周角相等），
∴∠2＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理．解答此题的关键是借助辅助线AD，将隐含是题干中的已
知条件△ACD是直角三角形展现出来，然后根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DAB
＝60°．
7．【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2＝0有两个实数根x 、x ，
1 2
∴ ，
∴则m2（ ）＝ ＝ ＝﹣4．
第8页（共22页）故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解
题关键．
8．【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线y＝ ，y＝x2的开口向上，y＝﹣x2的开口向下， 错误；
①
抛物线y＝ ，y＝x2，y＝﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴， 正确； 错误；
②③ ④
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图形与性质；熟记抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是
解决问题的关键．
9．【分析】直接根据一次函数的性质选择不正确选项即可．
【解答】解：A、当x＝0时，y＝k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；
B、当x＝﹣1时，y＝﹣k+k＝0，此选项正确；
C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；
D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，一次函数y
＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而
增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，
b）．此题难度不大．
10．【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′＝
45°，∠E′＝∠DEB＝90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5 ，与AB的
值相等，所以点A在△D′E′B的边上．
【解答】解：∵AC＝BD＝10，
又∵∠ABC＝∠DEB＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴BE＝5，AB＝BC＝5 ，
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，
可知：∠EBE′＝45°，∠E′＝∠DEB＝90°，
∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′＝BE＝5，
∴BG＝ ＝5 ，
第9页（共22页）∴BG＝AB，
∴点A在△D′E′B的边上，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边
的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角
边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．
11．【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八
边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即
可求解．
【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°，
正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8﹣1080°＝2880°﹣1080°＝1800°，
∴ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面
积的和或差来求．
12．【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的
一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出mn≥﹣9，再根据一次函数的定
义以及反比例函数在第一象限有图象，即可得出m≠0，n＞0，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图形，如下图所示．
第10页（共22页）将y＝mx+6代入y＝ 中，
得：mx+6＝ ，整理得：mx2+6x﹣n＝0，
∵二者有交点，
∴△＝62+4mn≥0，
∴mn≥﹣9．
∵y＝mx+6为一次函数，反比例函数y＝ 在第一象限有图象，
∴m≠0，n＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式，解题的关键由根
的判别式得出关于mn的不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，画出图
形，利用数形结合解决问题是关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡中的横线上．
13．【分析】根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：0﹣10＝0+（﹣10）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．
14．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．
【解答】解：a2•a4＝a2+4＝a6．
故答案为：a6．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂
的乘法法则．
15．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
第11页（共22页）【解答】解：∵代数式 有意义，
∴1﹣2x≥0，解得x≤ ，
∴x的最大值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关
键．
16．【分析】根据锐角三角函数，可得BC的长，根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得
答案．
【解答】解：由锐角三角函数，得
BC＝AB•sin∠A＝3，
由旋转的性质，得
是以B为圆心，BC长为半径，旋转了150°，
由弧长公式，得
＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了轨迹，利用线段旋转得出圆弧是解题关键．
17．【分析】根据题意，设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两
个骰子的点数情况，由分步计数原理可得（x，y）的情况数目，由列举法可得其中x+y≤4的
情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：设第一颗骰子的点数为x，第二颗骰子的点数为y，用（x，y）表示抛掷两个骰子
的点数情况，
x、y都有6种情况，则（x，y）共有6×6＝36种情况，
而其中点数之和不大于4即x+y≤4的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，
1），共6种情况，
则其概率为 ＝ ．
故答案为 ．
第12页（共22页）【点评】本题考查等可能事件的概率计算，注意用列举法分析点数之和不大于4的情况时，
做到不重不漏是解题的关键．
18．【分析】先证明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1＝∠2，易得∠1＝∠2＝∠22.5°，于是可对
进行判断；连结EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE＝DF①，
则CE＝CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得
到EB＝EH，FD＝FH，则可对 进行判断；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1﹣x，利用等腰
直角三角形的性质得到2x＝ ③（④1﹣x），解得x＝ ﹣1，则可对 进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ④
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠22.5°，所以 正确；
连结EF、AC，它们相交于点①H，如图，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE＝DF，
而BC＝DC，
∴CE＝CF，
而AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，
∴EB＝EH，FD＝FH，
∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以 错误；
∴△ECF的周长＝CE+CF+EF＝④CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以 正确；
设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1﹣x， ③
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝ CE，即2x＝ （1﹣x），解得x＝ ﹣1，
∴EF＝2（ ﹣1），
∴CH＝ EF＝ ﹣1，所以 正确．
②
第13页（共22页）故答案为 ．
①②③
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和角平分线的性质定理．解
决本题的关键是证明AC垂直平分EF．
三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
19．【分析】分别进行二次根式的化简、乘方、零指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝15﹣8﹣1
＝6．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、乘方、零指数幂等知识，属于基
础题．
20．【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝1．
【点评】本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混
合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母
要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
21．【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
【解答】解：（1））△A B C 与△ABC的位似比等于＝ ＝ ＝2；
1 1 1
（2）如图所示
第14页（共22页）（3）点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣
2a，2b）．
故答案为：2：1，（﹣2a，2b）．
【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析．
22．【分析】（1）用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；然
后用360°乘以借阅“艺术“的人数所占的百分比得到“艺术”部分的圆心角度；
（2）先计算出借阅“科普“的学生数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用样本中“科普”类所占的百分比乘以300即可．
【解答】解：（1）上个月借阅图书的学生总人数为60÷25%＝240（人）；扇形统计图中“艺
术”部分的圆心角度数＝360°× ＝150°；
（2）借阅“科普“的学生数＝240﹣100﹣60﹣40＝40（人），
条形统计图为：
（3）300× ＝50，
估计“科普”类图书应添置50册合适．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画
成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．（2）特点：从条形图可以很容
第15页（共22页）易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
23．【分析】（1）先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD＝∠COD＝60°，再根据切线
的性质得∠FDO＝90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF＝∠OBF＝90°，然后根据切
线的判定定理即可得到结论；
（2）在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，
而OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形，
∴△OAD和△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠FOB＝60°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠FDO＝90°，
在△FDO和△FBO中
，
∴△FDO≌△FBO，
∴∠ODF＝∠OBF＝90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是 O的切线；
（2）解⊙：在Rt△OBF中，∵∠FOB＝60°，
而tan∠FOB＝ ，
∴BF＝1×tan60°＝ ．
∵△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
而∠ODE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴EF＝2BF＝2 ．
第16页（共22页）【点评】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外
端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
24．【分析】（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意列出方程组，解方程组求出青菜
和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱；
（2）设给青菜定售价为a元；根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤；
根据题意得： ，
解得： ，
即批发青菜100市斤，西兰花100市斤，
∴100×（4﹣2.8）+100×（4.5﹣3.2）＝120+130＝250（元）；
答：当天售完后老王一共能赚250元钱；
（2）设给青菜定售价为a元/市斤；
根据题意得：100×（1﹣10%）a+100×4.5﹣600≥250，
解得：a≥ ≈4.44；
答：给青菜定售价为不低于4.5元/市斤．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用；根据题意列出一元
一次不等式、二元一次方程组是解决问题的关键．
25．【分析】（1）根据菱形的性质可得出OA＝OC，OD＝OB，再由中点的性质可得出OF＝
OH，结合对顶角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOF≌△COH，从而
得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依据平行四边形的判定定理即可证出结论；
（2）（方法一）设BD＝m（m＞0），则AC＝2m，结合菱形的面积为20即可求出m＝2 ，进
而得出AC、BD的长度，再由勾股定理即可得出AB的长度，由四边形EFGH为矩形即可
第17页（共22页）得出△AOB∽△AGC，根据相似比即可得出 ，代入数据，此题得解；
（方法二）设BD＝m（m＞0），则AC＝2m，结合菱形的面积为20即可求出m＝2 ，进而
得出AC、BD的长度，再由勾股定理即可得出AB的长度，由菱形的面积为20可求出HG
的长度，在Rt△BHG中可求出BG的长度，将其代入FG＝AB+BG即可求出FG的长度，
此题得解．
【解答】（1）证明：∵点O是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵点O是线段FH的中点，
∴OF＝OH．
在△AOF和△COH中，有 ，
∴△AOF≌△COH（SAS），
∴∠AFO＝∠CHO，
∴AF∥CH．
同理可得：DH∥BF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）（方法一）设BD＝m，则AC＝2m，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝m2＝20，
∴m＝2 ，
即BD＝2 ，AC＝4 ．
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝ BD＝ ，OA＝ AC＝2 ，
∴AB＝ ＝5．
∵四边形EFGH为矩形，
∴∠G＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△AGC，
∴ ，
第18页（共22页）∴CG＝4，AG＝8．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．
（方法二）设BD＝m，则AC＝2m，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝m2＝20，
∴m＝2 ，
即BD＝2 ，AC＝4 ．
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝ BD＝ ，OA＝ AC＝2 ，
∴AB＝ ＝5，
∴HG＝ ＝4．
在Rt△BHG中，BH＝5，HG＝4，∠G＝90°，
∴BG＝3，
∴FG＝AB+BG＝8．
∴矩形EFGH的长为8，宽为4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定及性质、菱形的性质、矩形的性
质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键：（1）找出AF∥CH、DH∥BF；（2）找出关于
m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但解题过程叫繁琐，解决该题型题目时，
根据相似三角形的性质找出对应边的比例关系是关键．
26．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出直线BC解析式为y＝﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x＝1时，y＝2；结
合抛物线顶点坐即可得出结果；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2＝（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，
PQ2＝（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2＝n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，
过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ＝NP，
第19页（共22页）PM＝BN，则MQ＝﹣m2+2m+3﹣n，PN＝3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n＝3﹣m，解方程
即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝1，B（3，0），
∴A（﹣1，0）
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，3）
∴当x＝0时，c＝3．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴ ，
∴
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
对于直线BC：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，
将抛物线L向下平移h个单位长度，
∴当h＝2时，抛物线顶点落在BC上；
当h＝4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括
△OBC的边界），
则2≤h≤4；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），
当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于
①MP的延长线于N点，如图所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝90°，BP＝PQ，
则∠PMQ＝∠BNP＝90°，∠MPQ＝∠NBP，
第20页（共22页）在△PQM和△BPN中， ，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM＝BN，
∵PM＝BN＝﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN＝3﹣m，且PM+PN＝6，
∴﹣m2+2m+3+3﹣m＝6，
解得：m＝1或m＝0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长
②线于N点，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM＝BN，
∴PM＝6﹣（3﹣m）＝3+m，BN＝m2﹣2m﹣3，
则3+m＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝ 或 ．
∴P（ ， ）或（ ， ）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（ ， ）和（ ，
）．
第21页（共22页）【点评】本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的
顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本
题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结
果．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/8/22 9:41:47；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第22页（共22页）
