文档内容
2014 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2014•张家界）﹣2014的绝对值是（ ）
A．﹣2014 B．2014 C． D．
﹣
2．（3分）（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）
A．70° B．100° C．140° D．170°
3．（3分）（2014•张家界）要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布统计图
4．（3分）（2014•张家界）若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）（2014•张家界）某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图，则该几何体的体积
为（ ）
A．3π B．2π C．π D．12
6．（3分）（2014•张家界）若 +（y+2）2=0，则（x+y）2014等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣32014
7．（3分）（2014•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交
AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．88．（3分）（2014•张家界）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4．随
机摸出一个小球（不放回），其数字为p，随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x
的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2014•张家界）我国第一艘航母“辽宁舰”的最大的排水量约为68000吨，用科学
记数法表示这个数是 吨．
10．（3分）（2014•张家界）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的
面积比为 ．
11．（3分）（2014•张家界）已知一组数据4，13，24的权数分别是 ， ， ，则这组数据的加权
平均数是 ．
12．（3分）（2014•张家界）已知一次函数y=（1﹣m）x+m﹣2，当m 时，y随x的增大
而增大．
13．（3分）（2014•张家界）已知⊙O 与⊙ 外切，圆心距为7cm，若⊙O 的半径为4cm，则⊙O
1 2 1 2
的半径是 cm．
14．（3分）（2014•张家界）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= ．
15．（3分）（2014•张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
16．（3分）（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．三、解答题（本大题共9个小题，共计72分）
17．（6分）（2014•张家界）计算：（ ﹣1）（ +1）﹣（﹣ ）﹣2+|1﹣ |﹣（π﹣2）0+ ．
18．（6分）（2014•张家界）先化简，再求值：（1﹣ ）+ ，其中a= ．
19．（6分）（2014•张家界）利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中有一个顶点都
在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：
（1）图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕0
点按顺时针旋转90°；
（2）完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于 ．20．（8分）（2014•张家界）某校八年级一班进行为期5天的图案设计比赛，作品上交时限为
周一至周五，班委会将参赛逐天进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图．已知从左到右
各矩形的高度比为2：3：4：6：．且已知周三组的频数是8．
（1）本次比赛共收到 件作品．
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第五组对应的扇形的圆心角是 度．
（3）本次活动共评出1个一等奖和2个二等奖，若将这三件作品进行编号并制作成背面完全
相同的卡片，并随机抽出两张，请你求出抽到的作品恰好一个一等奖，一个二等奖的概率．
21．（8分）（2014•张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观
测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行
半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，
离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）
22．（8分）（2014•张家界）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可
购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
23．（8分）（2014•张家界）阅读材料：解分式不等式 ＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转
化为：
① 或②
解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1） ≤0
（2） ＞0．
24．（10分）（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，
OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2 ，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．25．（12分）（2014•张家界）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c
（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（ ，﹣ ），以OB为直径的⊙A经过C点，
直线l垂直x轴于B点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点
F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同
速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件
的t值．2014 年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2014•张家界）﹣2014的绝对值是（ ）
A．﹣2014 B．2014 C． D．
﹣
考点：绝对值．
分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答：解：﹣2014的绝对值是2014．
故选B．
点评：本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）
A．70° B．100° C．140° D．170°
考点：平行线的性质．
分析：延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：解：如图，延长∠1的边与直线b相交，
∵a∥b，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，
由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°．
故选C．
点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性
质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
3．（3分）（2014•张家界）要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数分布统计图
考点：统计图的选择．
专题：分类讨论．
分析：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，
但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形
统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解答：解：根据题意，得
要求直观反映台州市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应
选择折线统计图．故选C．
点评：此题主要考查统计图的选择，根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来
判断．
4．（3分）（2014•张家界）若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：同类项．
分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出n，m的
值，再相加即可．
解答：解：∵﹣5x2ym和xny是同类项，
∴n=2，m=1，m+n=2+1=3，
故选：C．
点评：本题考查同类项的知识，注意掌握同类项定义中的两个“相同”：同类项定义中的两
个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的
常考点．
5．（3分）（2014•张家界）某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图，则该几何体的体积
为（ ）
A．3π B．2π C．π D．12
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，据此求得其体积
即可．
解答：解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，
故体积为：πr2h=π×1×3=3π，
故选A．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的三视图并清楚其体
积的计算方法．
6．（3分）（2014•张家界）若 +（y+2）2=0，则（x+y）2014等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣32014
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：∵ +（y+2）2=0，
∴ ，
解得 ，
∴（x+y）2014=（1﹣2）2014=1，
故选B．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（3分）（2014•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交
AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，
由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，
∴CD=AD=4，
∴AB=2+4+2=6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=2 ，
在△ABC中，由勾股定理得：AC= =4 ，
故选：B．
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的
内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合
性比较强，难度适中．
8．（3分）（2014•张家界）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字﹣2，1，4．随
机摸出一个小球（不放回），其数字为p，随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x
的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法；根的判别式．
专题：计算题．
分析：列表得出所有等可能的情况数，找出满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况数，
即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：﹣2 1 4
﹣2 ﹣﹣﹣ （1，﹣2） （4，﹣2）
1 （﹣2，1） ﹣﹣﹣ （4，1）
4 （﹣2，4） （1，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有4种，
则P= = ．
故选D
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2014•张家界）我国第一艘航母“辽宁舰”的最大的排水量约为68000吨，用科学
记数法表示这个数是 6.8×1 0 4 吨．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将68000用科学记数法表示为：6.8×104．
故答案为：6.8×104．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2014•张家界）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的
面积比为 1 ： 4 ．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
分析：
根据三角形的中位线得出DE= BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的
性质得出即可．
解答：解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ，
故答案为：1：4．
点评：本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比
等于相似比的平方．11．（3分）（2014•张家界）已知一组数据4，13，24的权数分别是 ， ， ，则这组数据的加权
平均数是 1 7 ．
考点：加权平均数．
分析：本题是求加权平均数，根据公式即可直接求解．
解答：
解：平均数为：4× +13× +24× =17，
故答案为：17．
点评：本题主要考查了加权平均数的计算方法，正确记忆计算公式，是解题关键．
12．（3分）（2014•张家界）已知一次函数y=（1﹣m）x+m﹣2，当m ＜ 1 时，y随x的增大而
增大．
考点：一次函数的性质．
专题：常规题型．
分析：根据一次函数的性质得1﹣m＞0，然后解不等式即可．
解答：解：当1﹣m＞0时，y随x的增大而增大，
所以m＜1．
故答案为＜1．
点评：本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y
随x的增大而减小，函数从左到右下降；当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0
时，直线与y轴交于负半轴．
13．（3分）（2014•张家界）已知⊙O 与⊙ 外切，圆心距为7cm，若⊙O 的半径为4cm，则⊙O
1 2 1 2
的半径是 3 cm．
考点：圆与圆的位置关系．
分析：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．
解答：解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是7﹣4=3cm．
故答案为：3．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．
14．（3分）（2014•张家界）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n= 0 ．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解答：解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规
律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．（3分）（2014•张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= 1 ．考点：一元二次方程的解．
分析：将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
解答：解：根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：1．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次
方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得
式子仍然成立．
16．（3分）（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
考点：垂径定理；等腰梯形的性质．
专题：压轴题．
分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最
小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE= AB=4，CF= CD=3，
∴OE= = =3，
OF= = =4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7 ，
则PA+PC的最小值为 ．
点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共计72分）
17．（6分）（2014•张家界）计算：（ ﹣1）（ +1）﹣（﹣ ）﹣2+|1﹣ |﹣（π﹣2）0+ ．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+ ﹣1﹣1+2 ，然后
合并即可．
解答：解：原式=5﹣1﹣9+ ﹣1﹣1+2
=﹣7+3 ．
点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
18．（6分）（2014•张家界）先化简，再求值：（1﹣ ）+ ，其中a= ．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式= ÷
= •
= ，
当a= 时，原式= =1+ ．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）（2014•张家界）利用对称变换可设计出美丽图案，如图，在方格纸中有一个顶点都
在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1，完成下列问题：
（1）图案设计：先作出四边形关于直线l成轴对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕0
点按顺时针旋转90°；
（2）完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于 2 0 ．
考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
分析：（1）首先找出对称点的坐标，然后画图即可；（2）首先利用割补法求出每一个小四边形的面积，再乘以4即可．
解答：解：（1）如图所示：
（2）面积：（5×2﹣2×1× ﹣2×1× ﹣3×1× ×2）×4=20，
故答案为：20．
点评：此题主要考查了利用轴对称和旋转作图，以及求不规则图形的面积，关键是在作图时，
找出关键点的对称点．
20．（8分）（2014•张家界）某校八年级一班进行为期5天的图案设计比赛，作品上交时限为
周一至周五，班委会将参赛逐天进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图．已知从左到右
各矩形的高度比为2：3：4：6：．且已知周三组的频数是8．
（1）本次比赛共收到 4 0 件作品．
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第五组对应的扇形的圆心角是 9 0 度．
（3）本次活动共评出1个一等奖和2个二等奖，若将这三件作品进行编号并制作成背面完全
相同的卡片，并随机抽出两张，请你求出抽到的作品恰好一个一等奖，一个二等奖的概率．
考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：（1）根据第三组的频数是8，除以所占的比例即可求得收到的作品数；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）用A表示一等奖的作品，B表示二等奖的作品，利用列举法即可求解．
解答：
解：（1）收到的作品总数是：8÷ =40；
（2）第五组对应的扇形的圆心角是：360°× =90°；
（3）用A表示一等奖的作品，B表示二等奖的作品．，
共有6中情况，则P（恰好一个一等奖，一个二等奖）= = ．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（8分）（2014•张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观
测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行
半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，
离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：首先作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距
离最近，进而表示出AB的长，再利用速度不变得出等式求出即可．
解答：解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距
离最近，
设CD长为x，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=60°，tan∠ACD= ，
∴AD= x，
在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，
∴BD=CD=x，
∴AB=AD﹣BD= x﹣x=（ ﹣1）x，
设渔政船从B航行到D需要t小时，则 = ，
∴ = ，
∴（ ﹣1）t=0.5，
解得：t= ，
∴t= ，
答：渔政310船再按原航向航行 小时后，离渔船C的距离最近．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出
等式是解题关键．
22．（8分）（2014•张家界）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．
每购买一台，客户每购买一台可获补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可
购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？
考点：分式方程的应用．菁优网版权所有
专题：应用题．
分析：设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，
可建立方程，解出即可．
解答：解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得： ×（1+20%）= ，
解得：x=3000．
经检验得：x=3000是原方程的根．
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
点评：本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．（8分）（2014•张家界）阅读材料：解分式不等式 ＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转
化为：
① 或②
解①得：无解，解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1） ≤0
（2） ＞0．
考点：一元一次不等式组的应用．
专题：新定义．
分析：先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
解答：解：（1）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不
等式可转化为：① 或②
解①得：无解，
解②得：﹣2.5＜x≤4
所以原不等式的解集是：﹣2.5＜x≤4；
（2）根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等
式可转化为：
① 或②
解①得：x＞3，
解②得：x＜﹣2．
所以原不等式的解集是：x＞3或x＜﹣2．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用．本题通过材料分析，先求出不等式组中每个不
等式的解集，再求其公共部分即可．
24．（10分）（2014•张家界）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，
OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2 ，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．
分析：（1）首先利用 SSS 定理证明△ABC≌△ADC 可得∠BCA=∠DCA 即可证明
△CBF≌△CDF．
（2）由△ABC≌△ADC 可知，△ABC 与△ADC 是轴对称图形，得出 OB=OD，
∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD
是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．
（3 ） 首 先 证 明 △ BCF≌ △ DCF 可 得 ∠ CBF=∠ CDF ， 再 根 据 BE⊥ CD 可 得
∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．
解答：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和CADF中，
，∴△CBF≌△CDF（SAS），
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是轴对称图形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判
定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
25．（12分）（2014•张家界）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c
（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（ ，﹣ ），以OB为直径的⊙A经过C点，
直线l垂直x轴于B点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点
F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同
速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件
的t值．考点：二次函数综合题．
分析：（1）用待定系数法即可求得；
（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；
（3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理
证得∠BAF=∠MAF，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得．
（4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，根据直线BC的斜率可知HB：
BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10﹣t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，
根据勾股定理即可求得．
解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵直线BC经过B、C，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为；y= x﹣ ．
（2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（ ，﹣
），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x；
∴x=﹣ =﹣ =5，y= x2﹣ x= ×52﹣ ×5=﹣ ，
∴顶点坐标为（5，﹣ ）；
（3）m•n=25；
如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，
在RT△AOE与RT△AME中
∴Rt△AOE≌RT△AME（HL），
∴∠OAE=∠MAE，
同理可证∠BAF=∠MAF，∴∠EAF=90°，
在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM•FM，
∵AM= OB=5，ME=m，MF=n，
∴m•n=25；
（4）如图3．有三种情况；
①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，
∵直线BC的斜率为 ，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；
∵HB=（10﹣t）× ，BQ=t，
∴ = ，
解得；t= ，
②当PB=QB时，则10﹣t=t，
解得t=5，
③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10﹣t，BQ=t，HP= t﹣（10﹣t），QH= t；
∵PQ2=PH2+QH2，
∴（10﹣t）2=[ t﹣（10﹣t）]2+（ t）2；
解得t= ．点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨
论是本题的关键．
