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2014 年广东省珠海市中考数学试卷
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在毎小题列出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把答题卡上对应題目所选的选项涂黑.
1．（3分）（2014•珠海）﹣ 的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
﹣
2．（3分）（2014•珠海）边长为3cm的菱形的周长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
3．（3分）（2014•珠海）下列计算中，正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．（3a3）2=6a6 C．a6+a2=a3 D．﹣3a+2a=﹣a
4．（3分）（2014•珠海）已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为4cm，则圆柱体的侧面积为
（ ）
A．24πcm2 B．36πcm2 C．12cm2 D．24cm2
5．（3分）（2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等
于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
二、填空题（本大题5小题，毎小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
6．（4分）（2014•珠海）比较大小：﹣2 ﹣3．
7．（4分）（2014•珠海）填空：x2﹣4x+3=（x﹣ ）2﹣1．
8．（4分）（2014•珠海）桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不
慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为 ．
9．（4分）（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它
的对称轴为 ．10．（4分）（2014•珠海）如图，在等腰Rt△OAA
1
中，∠OAA
1
=90°，OA=1，以OA
1
为直角边作
等腰Rt△OA
1
A
2
，以OA
2
为直角边作等腰Rt△OA
2
A
3
，…则OA
4
的长度为 ．
三、解答题（一）（本大题5小题，毎小题6分，共30分＞
11．（6分）（2014•珠海）计算：（ ）﹣1﹣（ ﹣2）0﹣|﹣3|+ ．
12．（6分）（2014•珠海）解不等式组： ．
13．（6分）（2014•珠海）化简：（a2+3a）÷ ．14．（6分）（2014•珠海）某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目，要求毎位学
生必须且只需选考其中一项，该市东风中学初三（2）班学生选考三个项目的人数分布的条形
统计图和扇形统计图如图所示．
（1）求该班的学生人数；
（2）若该校初三年级有1000人，估计该年级选考立定供远的人数．
15．（6分）（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结AP，当∠B为 度时，AP平分∠CAB．
四、解答题（二）（本大题4小题，毎小题7分，共28分＞16．（7分）（2014•珠海）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购
物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品
价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数
解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
17．（7分）（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的
A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间
（结果精确到0.1小时）．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
18．（7分）（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O
的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC
交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．19．（7分）（2014•珠海）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，
边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y= 的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标．
五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题9分，共27分）
20．（9分）（2014•珠海）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 ．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
21．（9分）（2014•珠海）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，
连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）求证： = ．
22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2 ）．将矩形OABC绕点O
逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线
段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为： ；
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点
之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当 时，确定点Q的横坐标的取
值范围．2014 年广东省珠海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在毎小题列出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把答题卡上对应題目所选的选项涂黑.
1．（3分）（2014•珠海）﹣ 的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
﹣
考点：相反数．
专题：计算题．
分析：
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣ 的相反数为 ．
解答：
解：与﹣ 符号相反的数是 ，所以﹣ 的相反数是 ；
故选B．
点评：本题主要相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．
2．（3分）（2014•珠海）边长为3cm的菱形的周长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
考点：菱形的性质．
分析：利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
解答：解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．
故选：C．
点评：此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．
3．（3分）（2014•珠海）下列计算中，正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．（3a3）2=6a6 C．a6+a2=a3 D．﹣3a+2a=﹣a
考点：合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据合并同类项，积的乘方，等于先把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各
选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、不是同类二次根式，不能加减，故本选项错误；
B、（3a3）2=9a6≠6a6，故本选项错误；
C、不是同类二次根式，不能加减，故本选项错误；
D、﹣3a+2a=﹣a正确
故选：D．
点评：本题主要考查了合并同类项，积的乘方，等于先把每一个因式分别乘方，再把所得的幂
相乘；熟记计算法则是关键．
4．（3分）（2014•珠海）已知圆柱体的底面半径为3cm，髙为4cm，则圆柱体的侧面积为
（ ）
A．24πcm2 B．36πcm2 C．12cm2 D．24cm2考点：圆柱的计算．
分析：圆柱的侧面积=底面周长×高，把相应数值代入即可求解．
解答：解：圆柱的侧面积=2π×3×4=24π．
故选A．
点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法．
5．（3分）（2014•珠海）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等
于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
考点：圆周角定理；垂径定理．
分析：利用垂径定理得出 = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
二、填空题（本大题5小题，毎小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
6．（4分）（2014•珠海）比较大小：﹣2 ＞ ﹣3．
考点：有理数大小比较
分析：本题是基础题，考查了实数大小的比较．两负数比大小，绝对值大的反而小；或者直接
想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．
解答：解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．
点评：（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数
大．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
（3）两个正数中绝对值大的数大．
（4）两个负数中绝对值大的反而小．
7．（4分）（2014•珠海）填空：x2﹣4x+3=（x﹣ 2 ）2﹣1．
考点：配方法的应用．
专题：计算题．
分析：原式利用完全平方公式化简即可得到结果．
解答：解：x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
故答案为：2
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（4分）（2014•珠海）桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不
慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为 ．
考点：概率公式．
分析：由桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其
中2个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了
其中2个红球，
∴现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为： = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它
的对称轴为 直线 x= 2 ．
考点：二次函数的性质
分析：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标
可求对称轴．
解答：解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x= =2．
故答案为：直线x=2．
点评：本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称
轴对称．
10．（4分）（2014•珠海）如图，在等腰Rt△OAA
1
中，∠OAA
1
=90°，OA=1，以OA
1
为直角边作
等腰Rt△OA
1
A
2
，以OA
2
为直角边作等腰Rt△OA
2
A
3
，…则OA
4
的长度为 8 ．
考点：等腰直角三角形
专题：规律型．
分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
解答：解：∵△OAA 为等腰直角三角形，OA=1，
1∴AA =OA=1，OA = OA= ；
1 1
∵△OA A 为等腰直角三角形，
1 2
∴A A =OA = ，OA = OA =2；
1 2 1 2 1
∵△OA A 为等腰直角三角形，
2 3
∴A A =OA =2，OA = OA =2 ；
2 3 2 3 2
∵△OA A 为等腰直角三角形，
3 4
∴A A =OA =2 ，OA = OA =8．
3 4 3 4 3
故答案为：8．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题
关键．
三、解答题（一）（本大题5小题，毎小题6分，共30分＞
11．（6分）（2014•珠海）计算：（ ）﹣1﹣（ ﹣2）0﹣|﹣3|+ ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进
行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式= ﹣1﹣3+2=2﹣1﹣3+2=0．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简等考点的运算．
12．（6分）（2014•珠海）解不等式组： ．
考点：解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：
解： ，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1．
点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的法则是解答此题的关键．
13．（6分）（2014•珠海）化简：（a2+3a）÷ ．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．
解答：
解：原式=a（a+3）÷
=a（a+3）×
=a．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（6分）（2014•珠海）某市体育中考共设跳绳、立定跳远、仰卧起坐三个项目，要求毎位学
生必须且只需选考其中一项，该市东风中学初三（2）班学生选考三个项目的人数分布的条形
统计图和扇形统计图如图所示．
（1）求该班的学生人数；
（2）若该校初三年级有1000人，估计该年级选考立定供远的人数．
考点：条形统计图；扇形统计图
专题：计算题．
分析：（1）根据跳绳的人数除以占的百分比，得出学生总数即可；
（2）求出立定跳远的人数占总人数的百分比，乘以1000即可得到结果．
解答：解：（1）根据题意得：30÷60%=50（人），
则该校学生人数为50人；
（2）根据题意得：1000× =100（人），
则估计该年级选考立定供远的人数为100人．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关
键．
15．（6分）（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结AP，当∠B为 3 0 度时，AP平分∠CAB．
考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质
分析：（1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图，
（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B．
解答：解：（1）如图，
（2）如图，∵PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，
∴∠B=30°时，AP平分∠CAB．
故答案为：30．
点评：本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对
等角的知识．
四、解答题（二）（本大题4小题，毎小题7分，共28分＞
16．（7分）（2014•珠海）为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购
物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品
价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数
解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
考点：一次函数的应用
分析：（1）根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可；
（2）分别把x=5880，代入（1）中的函数求得数值，比较得出答案即可．
解答：解：（1）方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300；
（2）当x=5880时，
方案一：y=0.95x=5586，
方案二：y=0.9x+300=5592，
5586＜5592
所以选择方案一更省钱．
点评：此题考查一次函数的运用，根据数量关系列出函数解析式，进一步利用函数解析式解
决问题．
17．（7分）（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的
A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间
（结果精确到0.1小时）．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°，再根据
AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；
（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB的
值，最后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．
解答：解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=45°，
∴∠AMD=∠MAD=45°，
∵AM=180海里，
∴MD=AM•cos45°=90 （海里），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90 海里；
（2）在Rt△DMB中，
∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°，
∵MD=90 海里，
∴MB= =60 ，
∴60 ÷20=3 =3×2.45=7.35≈7.4（小时），
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐
角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
18．（7分）（2014•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O
的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC
交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算；平移的性质
专题：计算题．
分析：（1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，
DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的
性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE= ，所以
BE=OE﹣OB= ；
（2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影
部分的面积．
解答：解：（1）连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC= =5，
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G，
∴OG⊥EF，
∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，
∴OB=OG=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽Rt△EFD，
∴ = ，即 = ，解得OE= ，
∴BE=OE﹣OB= ﹣2= ；
（2）BD=DE﹣BE=4﹣ = ．
∵DF∥AC，
∴ ，即 ，
解得：DH=2．
∴S阴影=S
△BDH
= BD•DH= × ×2= ，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为 ．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股
定理和相似三角形的判定与性质．
19．（7分）（2014•珠海）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，
边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y= 的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数
法，可得函数解析式；
（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．
解答：解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，
∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．
∵反比例函数y= 的图象过点B，
∴ ，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ，
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b的图象过B、D点，
∴ ，解得 ．
直线BD的解析式y=﹣x﹣1；
（2）∵直线BD与反比例函数y= 的图象交于点E，
∴ ，解得
∵B（1，﹣2），
∴E（﹣2，1）．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程
组求交点坐标．
五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题9分，共27分）
20．（9分）（2014•珠海）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x＞1，∵y+2＞1．∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0． …①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 1 ＜ x+ y ＜ 5 ．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
考点：一元一次不等式组的应用．
专题：阅读型．
分析：（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；
（2）理解解题过程，按照解题思路求解．
解答：解：（1）∵x﹣y=3，
∴x=y+3，
又∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞﹣1．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1，…①
同理得：2＜x＜4，…②
由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5；
（2）∵x﹣y=a，
∴x=y+a，
又∵x＜﹣1，
∴y+a＜﹣1，
∴y＜﹣a﹣1，
又∵y＞1，
∴1＜y＜﹣a﹣1，…①
同理得：a+1＜x＜﹣1，…②
由①+②得1+a+1＜y+x＜﹣a﹣1+（﹣1），
∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜﹣a﹣2．
点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过
程，难度一般．
21．（9分）（2014•珠海）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，
连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）求证： = ．
考点：四边形综合题
分析：（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．
（2）先确定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过△BAE≌△BCG，得
出BE=BG=EG，即可求得．
（3）因为三角形BEG是等边三角形，∠ABC=90°，∠ABE=∠CBG，从而求得∠ABE=15°，然后通过求得△AHB∽△FGB，即可求得．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∵AE=CF，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF∥AC，
（2）连接BG，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠ACB=45°，
∵∠GCF=90°，
∴∠CGF=∠F=45°，
∴CG=CF，
∵AE=CF，
∴AE=CG，
在△BAE与△BCG中，
，
∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE=BG，
∵BE=EG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BEF=60°，
（3）∵△BAE≌△BCG，
∴∠ABE=∠CBG，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴△AHB∽△FGB，
∴ = = = = = = ，
∵∠EBG=60°∠ABE=∠CBG，∠ABC=90°，
∴∠ABE=15°，
∴ = ．
点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及 性质，正方形的性质，相
似三角形的判定及性质，连接BG是本题的关键．
22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2 ）．将矩形OABC绕点O
逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线
段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为： y= x 2 ﹣ x ；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点
之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当 时，确定点Q的横坐标的取
值范围．
考点：二次函数综合题
分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．
（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为 OF，即为中位线，进而横坐标易得，D
为x轴上的点，所以纵坐标为0．
（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的
线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来
解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在
O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入 ，求解不等式
即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．
解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，
∵A（2，0）、C（0，2 ），
∴OE=OA=2，OG=OC=2 ，
∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO= = ，
IO=cos30°•GO= =3，
JO=cos30°•OE= = ，
JE=sin30°•OE= =1，
∴G（﹣ ，3），E（ ，1），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵经过G、O、E三点，
∴ ，
解得 ，
∴y= x2﹣ x．
（2）∵四边形OHMN为平行四边形，
∴MN∥OH，MN=OH，
∵OH= OF，
∴MN为△OGF的中位线，
∴x =x = •x =﹣ ，
D N G
∴D（﹣ ，0）．
（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，
∵G（﹣ ，3），E（ ，1），
∴ ，
解得 ，
∴y=﹣ x+2．
∵Q在抛物线y= x2﹣ x上，
∴设Q的坐标为（x， x2﹣ x），
∵Q在R、E两点之间运动，
∴﹣ ＜x＜ ．①当﹣ ＜x＜0时，
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣ x+2），
∵S = •（y ﹣y ）•（x ﹣x ），
△PKQ K Q Q P
S = •（y ﹣y ）•（x ﹣x ），
△HKQ K Q H Q
∴S =S +S = •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）+ •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）
△PQH △PKQ △HKQ K Q Q P K Q H Q
= •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）= •[﹣ x+2﹣（ x2﹣ x）•[0﹣（﹣ ）=﹣ x2+ ．
K Q H P
②当0≤x＜ 时，
] ]
如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣ x+2），
同理 S =S ﹣S = •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）﹣ •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）
△PQH △PKQ △HKQ K Q Q P K Q Q H
= •（y ﹣y ）•（x ﹣x ）=﹣ x2+ ．
K Q H P
综上所述，S =﹣ x2+ ．
△PQH
∵ ，∴ ＜﹣ x2+ ≤ ，
解得﹣ ＜x＜ ，
∵﹣ ＜x＜ ，
∴﹣ ＜x＜ ．
点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表
示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常
规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．
