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2014 年新疆生产建设兵团中考数学试卷
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）（2014•新疆）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温（℃） ﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25
其中平均气温最低的城市是（ ）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
2．（5分）（2014•新疆）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2014•新疆）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3=3a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3
K]
4．（5分）（2014•新疆）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个
四边形是平行四边形的是（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BC D．AB∥DC，AD=BC
5．（5分）（2014•新疆）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，
④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同
的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2014•新疆）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
7．（5分）（2014•新疆）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程
度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年
级支持“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（ ）A．216 B．252 C．288 D．324
8．（5分）（2014•新疆）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，
其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题
意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（5分）（2014•新疆）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以
ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，
BC=5，则EF的值是（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
10．（5分）（2014•新疆）不等式组 的解集是 ．
11．（5分）（2014•新疆）若点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y= 图象上，则y 与y 的
1 2 1 2
大小关系是：y y （填“＞”、“＜”或“=”）．
1 2
12．（5分）（2014•新疆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则
∠ABD的度数是 °．13．（5分）（2014•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
14．（5分）（2014•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，
AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 ．
15．（5分）（2014•新疆）规定用符号[x 表示一个实数的整数部分，例如[3.69 =3．[ =1，按此
规定，[ ﹣1 = ． ] ] ]
]
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）（2014•新疆）计算：（﹣1）3+ +（ ﹣1）0﹣ ．
17．（8分）（2014•新疆）解分式方程： + =1．18．（8分）（2014•新疆）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千
米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？
19．（10分）（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总
面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）20．（10分）（2014•新疆）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
21．（10分）（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且 = = ，连接
AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2 ，求⊙O的半径．
22．（11分）（2014•新疆）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，
货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y ，y（千
1 2
米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y 与行驶时间x之间的函数关系式；
2
（3）客、货两车何时相遇？
23．（12分）（2014•新疆）如图，直线y=﹣ x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从
A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以
每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止
运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的
面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．2014 年新疆生产建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）
1．（5分）（2014•新疆）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
气温（℃） ﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25
其中平均气温最低的城市是（ ）
A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐
考点：有理数大小比较
分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
解答：解：﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5，
故选：A．
点评：本题考查了有理数比较大小，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．（5分）（2014•新疆）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．
解答：解：上面看，是上面2个正方形，左下角1个正方形，故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三
种视图混淆而错误地选其它选项．
3．（5分）（2014•新疆）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3=3a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3
X§
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相
乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；
D、a•a2=a1+2=a3，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清指数
的变化是解题的关键．4．（5分）（2014•新疆）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个
四边形是平行四边形的是（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BC D．AB∥DC，AD=BC
考点：平行四边形的判定．
[来源:学,科,网]
分析：根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选D．
点评：此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
5．（5分）（2014•新疆）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，
④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同
的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的
标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： = ．
故选C．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（5分）（2014•新疆）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
考点：二次函数的性质．
专题：常规题型．
分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对
称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，
抛物线与x轴没有公共点．
故选C．点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣ ）2+
，的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物
线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
7．（5分）（2014•新疆）某学校教研组对八年级360名学生就“分组合作学习”方式的支持程
度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年
级支持“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（ ）
A．216 B．252 C．288 D．324
考点：条形统计图；用样本估计总体．
分析：用分组合作学习所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案．
解答：
解：根据题意得：360× =252（人），
答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为252人；
故选B．
点评：此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中分组合作
学习所占的百分比．
8．（5分）（2014•新疆）“六•一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，
其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题
意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组
分析：设购买A型童装x套，B型童装y套，根据超市用3360元购进A，B两种童装共120
套，列方程组求解．
解答：解：设购买A型童装x套，B型童装y套，
由题意得， ．
故选B．
点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（5分）（2014•新疆）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以
ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，
BC=5，则EF的值是（ ）A． B．2 C． D．2
考点：翻折变换（折叠问题）
专题：计算题．
分析：先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作
DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以
DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出
DH=2 ，所以EF= ．
解答：解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边
的点F处，
∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，
∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△DHC中，DH= =2 ，
∴EF= DH= ．
故选A．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）
10．（5分）（2014•新疆）不等式组 的解集是 ﹣ 5 ＜ x ＜﹣ 2 ．
考点：解一元一次不等式组
分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解
集．
解答：
解： ，
解①得：x＞﹣5，
解②得：x＜﹣2，
则不等式组的解集是：﹣5＜x＜﹣2．
故答案是：﹣5＜x＜﹣2．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观
察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
11．（5分）（2014•新疆）若点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y= 图象上，则y 与y 的
1 2 1 2
大小关系是：y ＞ y （填“＞”、“＜”或“=”）．
1 2
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
直接把点A（1，y ）和点B（2，y ）代入反比例函数y= ，求出点y ，y 的值，再比较出其
1 2 1 2
大小即可．
解答：
解：∵点A（1，y ）和点B（2，y ）在反比例函数y= 的图象上，
1 2
∴y = =1，y = ，
1 2
∵1＞ ，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一
定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（5分）（2014•新疆）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则
∠ABD的度数是 3 0 °．
考点：等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C，再求出∠CBD，然后根据
∠ABD=∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．
解答：解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C= （180°﹣40°）=70°，
∵BD=BC，
∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD
=70°﹣40°
=30°．
故答案为：30．
点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识
图是解题的关键．
13．（5分）（2014•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= 2 4 ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形．
专题：计算题．
分析：
根据正切的定义得到tanB= ，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
所以tanB= ，即tan37°= ，
所以AC=32•tan37°=32×0.75=24．
故答案为24．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直
角三角形．
14．（5分）（2014•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，
AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 ．
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
分析：先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角
形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= = =5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA= AC= ，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴ = ，即 = ，解得AD= ．
故答案为： ．
点评：本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，
两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．（5分）（2014•新疆）规定用符号[x 表示一个实数的整数部分，例如[3.69 =3．[ =1，按此
规定，[ ﹣1 = 2 ．
] ] ]
]考点：估算无理数的大小
专题：新定义．
分析：先求出（ ﹣1）的范围，再根据范围求出即可．
解答：解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴2＜ ﹣1＜3，
∴[ ﹣1 =2．
故答案是：2．
点评：本题主要考]查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
三、解答题（一）（本大题共4题，共32分）
16．（6分）（2014•新疆）计算：（﹣1）3+ +（ ﹣1）0﹣ ．
考点：实数的运算；零指数幂．
分析：先根据数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合
运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=﹣1+2 +1﹣
= ．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方法则与开方法则、0指数幂的运算法则是解
答此题的关键．
17．（8分）（2014•新疆）解分式方程： + =1．
考点：解分式方程．
分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．
解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得
3+x（x+3）=x2﹣9
3+x2+3x=x2﹣9
解得x=﹣4
检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x=﹣4是原分式方程的解．
点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．
18．（8分）（2014•新疆）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千
米/时）情况．
（1）计算这些车的平均速度；
（2）车速的众数是多少？
（3）车速的中位数是多少？考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
分析：（1）根据平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
（3）根据中位数的定义即可得出答案．
解答：解：（1）这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15=60（千米/时）；
（2）70千米/时出现的次数最多，则这些车的车速的众数70千米/时；
（3）共有15个，最中间的数是第8个数，则中位数是60千米/时．
点评：此题考查了频数（率）分布直方图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平均数
的计算公式是解本题的关键．
19．（10分）（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总
面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
[来源:学科网]
分析：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解答：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x =20，x =5．
1 2
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x =5舍去．
2
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
四、解答题（二）（本大题共4小题，共43分）
20．（10分）（2014•新疆）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据
CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，
FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF
为菱形．
解答：解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，FC=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四边形AECF为菱形．
点评：本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图
能得到直线的垂直平分线．
21．（10分）（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且 = = ，连接
AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2 ，求⊙O的半径．考点：切线的判定．
专题：证明题．
分析：（1）连结OC，由 = ，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则
∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定
定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由 = = 得∠BOC=60°，则
∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系
得AC=2CD=4 ，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=
AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4．
解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵ = ，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ = = ，
∴∠BOC= ×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2 ，
∴AC=2CD=4 ，
在Rt△ACB中，BC= AC= ×4 =4，
∴AB=2BC=4，
∴⊙O的半径为4．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
22．（11分）（2014•新疆）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，
货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y ，y（千
1 2
米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距 42 0 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y 与行驶时间x之间的函数关系式；
2
（3）客、货两车何时相遇？
考点：一次函数的应用．
分析：（1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，所以A，B
两地相距360+60=420千米；
（2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步
设y 与行驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求
2
得函数解析式即可；
（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y 的函数解析式，与（2）中的函数解析
1
式联立方程，解决问题．
解答：解：（1）填空：A，B两地相距420千米；
（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，
货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时，
设y =kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得
2
，
解得 ，
所以y =30x﹣60；
2
（3）设y =mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得
1
解得 ，
所以y =﹣60x+360
1
由y =y 得30x﹣60=﹣60x+360
1 2
解得x=
答：客、货两车经过 小时相遇．
点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象
说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
23．（12分）（2014•新疆）如图，直线y=﹣ x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从
A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以
每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止
运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的
面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
考点：一次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q
到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB
的余弦列式计算即可得解．
解答：
解：（1）令y=0，则﹣ x+8=0，
解得x=6，
x=0时，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB= = =10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP=2t，
AQ=AB﹣BQ=10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10﹣t）× = （10﹣t），
∴△AQP的面积S= ×2t× （10﹣t）=﹣ （t2﹣10t）=﹣ （t﹣5）2+20，
∵﹣ ＜0，0＜t≤3，
∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣ （3﹣5）2+20= ；
（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB= ，
∴ = ，
解得t= ，
若∠AQP=90°，则cos∠OAB= ，
∴ = ，
解得t= ，∵0＜t≤3，
∴t的值为 ，
此时，OP=6﹣2× = ，
PQ=AP•tan∠OAB=（2× ）× = ，
∴点Q的坐标为（ ， ），
综上所述，t= 秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标
为（ ， ）．
点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面
积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意
根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．
