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2014 年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•威海）若a3=8，则a的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
﹣
2．（3分）（2014•威海）下列运算正确的是（ ）
A． 2x2÷x2=2x B．（﹣ a2b）3=﹣ a6b3
C．3x2+2x2=5x2 D．（x﹣3）3=x3﹣9
3．（3分）（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
4．（3分）（2014•威海）已知x2﹣2=y，则x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
5．（3分）（2014•威海）在某中学举行的演讲比赛中，初一年级5名参赛选手的成绩如下表所
示，请你根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差（ ）
选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均成绩
得分 90 95 93 89 88 91
A．2 B．6.8 C．34 D．93
6．（3分）（2014•威海）用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、
俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2014•威海）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正
确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，
则∠AOB的正弦值是（ ）A． B． C． D．
9．（3分）（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，
∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（
）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
10．（3分）（2014•威海）方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，且满足x +x =x x ，则
1 2 1 2
m的值是（ ）
A．﹣2或3 B．3 C．﹣2 D．﹣3或2
11．（3分）（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）（2014•威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA C ，Rt△OA C ，
1 1 2 2
Rt△OA C ，Rt△OA C …的斜边都在坐标轴上，∠A OC =∠A OC =∠A OC =∠A OC =…
3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4=30°．若点A 的坐标为（3，0），OA =OC ，OA =OC ，OA =OC …，则依此规律，点A 的纵
1 1 2 2 3 3 4 2014
坐标为（ ）
A． 0 B．﹣3×（ ）2013 C．（2 ）2014 D．3×（ ）2013
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2014•威海）据威海市旅游局统计，今年“五一”小长假期间，我市各旅游景点门
票收入约2300万元，数据“2300万“用科学记数法表示为 ．
14．（3分）（2014•威海）计算： ﹣ × = ．
15．（3分）（2014•威海）直线l ∥l ，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=
1 2
40 ° ．
16．（3分）（2014•威海）一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 x
1 2
＜﹣ 2 ．17．（3分）（2014•威海）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将
该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 1 8 ．
18．（3分）（2014•威海）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分
的面积是 ﹣ ．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．（7分）（2014•威海）解方程组： ．
20．（8分）（2014•威海）某学校为了解学生体能情况，规定参加测试的每名学生从“立定跳
远”，“耐久跑”，“掷实心球”，“引体向上”四个项目中随机抽取两项作为测试项目．
（1）小明同学恰好抽到“立定跳远”，“耐久跑”两项的概率是多少？
（2）据统计，初二三班共12名男生参加了“立定跳远”的测试，他们的成绩如下：
95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85
①这组数据的众数是 ，中位数是 ；
②若将不低于90分的成绩评为优秀，请你估计初二年级180名男生中“立定跳远”成绩为
优秀的学生约为多少人．21．（9分）（2014•威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽
子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，
乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
22．（9分）（2014•威海）已知反比例函数y= （m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过 ▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣
2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为 ；若
以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个．23．（10分）（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E
作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
24．（11分）（2014•威海）猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD
上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不
变，则DM和ME的关系为 ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的
中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
25．（12分）（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，
2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存
在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度
数．2014 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014•威海）若a3=8，则a的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
﹣
考点： 立方根；绝对值
分析： 运用开立方的方法求解．
解答： 解：∵a3=8，
∴a=2．
故选：A．
点评： 本题主要考查开立方的知识，关键是确定符号．
2．（3分）（2014•威海）下列运算正确的是（ ）
A． 2x2÷x2=2x B．（﹣ a2b）3=﹣ a6b3
C．3x2+2x2=5x2 D．（x﹣3）3=x3﹣9
考点： 整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
菁
分析： 根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的
次数相同，以及幂的乘方，合并同类项法则求解即可．
解答： 解：A、2x2÷x2=2，选项错误；
B、（﹣ a2b）3=﹣ a6b3，选项错误；
C、正确；
D、（x﹣3）3=x3﹣27﹣9x2+27x，选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了单项式除单项式，以及幂的乘方，合并同类项法则，正
确记忆法则是关键．
3．（3分）（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法．
分析： 分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
解答： 解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故此选项错误；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项错误；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项符合题意．
故选：D．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式
法分解因式是解题关键．
4．（3分）（2014•威海）已知x2﹣2=y，则x（x﹣3y）+y（3x﹣1）﹣2的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4考点： 整式的混合运算—化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式去括号合并后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
解答： 解：∵x2﹣2=y，即x2﹣y=2，
∴原式=x2﹣3xy+3xy﹣y﹣2=x2﹣y﹣2=2﹣2=0．
故选B
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
5．（3分）（2014•威海）在某中学举行的演讲比赛中，初一年级5名参赛选手的成绩如下表所
示，请你根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差（ ）
选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均成绩
得分 90 95 93 89 88 91
A．2 B．6.8 C．34 D．93
考点： 方差
分析： 首先根据五名选手的平均成绩求得3号选手的成绩，然后利用方差
公式直接计算即可．
解答： 解：观察表格知道5名选手的平均成绩为91分，
∴3号选手的成绩为91×5﹣90﹣95﹣89﹣88=93分，
所以方差为：（[ 90﹣91）2+（95﹣91）2+（93﹣91）2+（89﹣91）2+（88
﹣91）2 =6.8，
故选B．
点评： 本题考查] 了方差的计算，牢记方差公式是解答本题的关键．
6．（3分）（2014•威海）用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、
俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形．
解答：
解：A、此几何体的主视图和俯视图都是“ ”字形，故此选项不合题
意；
B、此几何体的主视图和左视图都是 ，故此选项不合题意；
C、此几何体的主视图和左视图都是 ，故此选项不合题意；
D、此几何体的主视图是 ，俯视图是 ，左视图是 ，故此选项符合题意，
故选：D．
点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表
现在三视图中．
7．（3分）（2014•威海）已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正
确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．
分析： 根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答： 解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，
3﹣m＜0且m﹣1＞0，
解得m＞3，m＞1，
故选：A．
点评： 本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的
解集表示在数轴上．
8．（3分）（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，
则∠AOB的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理
分析： 作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦
的定义即可求解．
解答： 解：作AC⊥OB于点C．
则AC= ，
AB= = =2 ，
则sin∠AOB= = = ．
故选D．
点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的
正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．9．（3分）（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，
∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（
）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°
考点： 角平分线的性质；三角形内角和定理
分析： 根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角
平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出
∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定
义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列
式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式
计算即可求出∠DAC．
解答： 解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项
结论正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣
25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项结论错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= （180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项结论正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC= （180°﹣70°）=55°，故D选项结论正确．
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定
义，熟记定理和概念是解题的关键．
10．（3分）（2014•威海）方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，且满足x +x =x x ，则
1 2 1 2
m的值是（ ）
A．﹣2或3 B．3 C．﹣2 D．﹣3或2
考点： 根与系数的关系；根的判别式
分析： 根据根与系数的关系有：x +x =m+6，x x =m2，再根据x +x =x x 得到
1 2 1 2 1 2 1 2
m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等
的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，求相同的解解决问题．
解答： 解：∵x +x =m+6，x x =m2，x +x =x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，
∵方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（m+6）2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0
解得m=6或m=﹣2
∴m=﹣2．
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别
式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程
有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二
次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x ，x ，
1 2
则x +x =﹣ ，x •x = ．
1 2 1 2
11．（3分）（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是： ，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=2a+b+c，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴ ，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点
抛物线与x轴交点的个数确定．12．（3分）（2014•威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA C ，Rt△OA C ，
1 1 2 2
Rt△OA C ，Rt△OA C …的斜边都在坐标轴上，∠A OC =∠A OC =∠A OC =∠A OC =…
3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4
=30°．若点A 的坐标为（3，0），OA =OC ，OA =OC ，OA =OC …，则依此规律，点A 的纵
1 1 2 2 3 3 4 2014
坐标为（ ）
A．0 B． C．（2 ）2014 D．
[来﹣3×（ ）2013 3×（ ）2013
源:学科网ZXXK]
考点： 规律型：点的坐标
专题： 规律型．
分析：
根据含30度的直角三角形三边的关系得OA = OC =3× ；
2 2
OA = OC =3×（ ）2；OA = OC =3×（ ）3，于是可得到
3 3 4 4
OA =3×（ ）2013，由于而2014=4×503+2，则可判断点A
2014 2014
在y轴的正半轴上，所以点A 的纵坐标为3×（ ）2013．
2014
解答： 解：∵∠A OC =30°，OA =OC =3，
2 2 1 2
∴OA = OC =3× ；
2 2
∵OA =OC =3× ，
2 3
∴OA = OC =3×（ ）2；
3 3
∵OA =OC =3×（ ）2，
3 4
∴OA = OC =3×（ ）3，
4 4
∴OA =3×（ ）2013，
2014
而2014=4×503+2，
∴点A 在y轴的正半轴上，
2014
∴点A 的纵坐标为3×（ ）2013．
2014
故选D．
点评： 本题考查了规律型：点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现
不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查
了含30度的直角三角形三边的关系．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2014•威海）据威海市旅游局统计，今年“五一”小长假期间，我市各旅游景点门
票收入约2300万元，数据“2300万“用科学记数法表示为 2. 3 × 1 0 7 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n
是负数．
解答： 解：将2300万用科学记数法表示为：2.3×107．
故答案为：2.3×107．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）（2014•威海）计算： ﹣ × = ．
考点： 二次根式的混合运算
专题： 计算题．
分析： 先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
解答：
解：原式=3 ﹣
=3 ﹣2
= ．
故答案为 ．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行
二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
15．（3分）（2014•威海）直线l ∥l ，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=
1 2
40 ° ．
考点： 平行线的性质；三角形内角和定理
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．
解答： 解：∵l ∥l ，
1 2
∴∠3=∠1=85°，
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，
∴∠2=∠4=40°．
故答案为：40°．点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和的性质，熟记性质是解题的关键．
16．（3分）（2014•威海）一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 x
1 2
＜﹣ 2 ．
考点： 一次函数与一元一次不等式．
分析：
把x=﹣2代入y =kx+b与y =x+a，由y =y 得出 =2，再求不等式的解
1 2 1 2
集．
解答： 解：把x=﹣2代入y =kx+b得，
1
y =﹣2k+b，
1
把x=﹣2代入y =x+a得，
2
y =﹣2+a，
2
由y 1 =y 2得 ，﹣2k+b=﹣2+a，
解得 =2，
解kx+b＞x+a得，
（k﹣1）x＞a﹣b，
因为k＜0，
所以k﹣1＜0，
解集为：x＜ ，
所以x＜﹣2．
点评：
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出 =2，把
看作整体求解集．
17．（3分）（2014•威海）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将
该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 1 8 ．考点： 翻折变换（折叠问题）
分析： 先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，
∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD= =5，DE为△ABC的中位线，得到DE
的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周
长．
解答： 解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°﹣∠DCE，
又∵∠B=90°﹣∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD= =5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE= =3，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴ ，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．
故答案为：18．
点评： 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是
△ABC的中位线关键．
18．（3分）（2014•威海）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分
的面积是 ﹣ ．
考点： 圆与圆的位置关系；扇形面积的计算
分析： 阴影部分的面积等于⊙O的面积减去4个弓形ODF的面积即可．
解答： 解：如图，连接DF、DB、FB、OB，
∵⊙O的半径为1，
∴OB=BD=BF=1，
∴DF= ，∴S弓形ODF =S扇形BDF ﹣S△BDF = ﹣ × × = ﹣ ，
∴S阴影部分=S⊙O ﹣4S弓形ODF =π﹣4×（ ﹣ ）= ﹣ ．
故答案为：
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是明确不规则的阴影部分的面
积如何转化为规则的几何图形的面积．
三、解答题（共7小题，共66分）
19．（7分）（2014•威海）解方程组： ．
考点： 解二元一次方程组
专题： 计算题．
分析： 方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解：方程组整理得： ，
②﹣①得：3y=3，即y=1，
将y=1代入①得：x= ，
则方程组的解为 ．
点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
20．（8分）（2014•威海）某学校为了解学生体能情况，规定参加测试的每名学生从“立定跳
远”，“耐久跑”，“掷实心球”，“引体向上”四个项目中随机抽取两项作为测试项目．
（1）小明同学恰好抽到“立定跳远”，“耐久跑”两项的概率是多少？
（2）据统计，初二三班共12名男生参加了“立定跳远”的测试，他们的成绩如下：
95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85
①这组数据的众数是 9 0 ，中位数是 89. 5 ；
②若将不低于90分的成绩评为优秀，请你估计初二年级180名男生中“立定跳远”成绩为
优秀的学生约为多少人．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；中位数；众数
专题： 计算题．
分析： （1）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到“立定跳远”，“耐久跑”两项的情况数，即可求出所求的概率；
（2）①根据已知数据确定出众数与中位数即可；
②求出成绩不低于90分占的百分比，乘以180即可得到结果．
解答： 解：（1）列表如下：1表示“立定跳远”，2表示“耐久跑”，3表示
“掷实心球”，4表示“引体向上”
1 2 3
1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1）
2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2）
3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣
4 （1，4） （2，4） （3，4）
所有等可能的情况数为12种，其中恰好抽到“立定跳远”，“耐久
跑”两项的情况有2种，
则P= = ；
（2）①根据数据得：众数为90；中位数为89.5；
②12名男生中达到优秀的共有6人，根据题意得： ×180=90（人），
则估计初二年级180名男生中“立定跳远”成绩为优秀的学生约为
90人．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
21．（9分）（2014•威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽
子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，
乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
考点： 分式方程的应用
分析： 设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，根据甲粽子比
乙种粽子少用100元，可得甲粽子用了300元，乙粽子400元，根据共购进
甲、乙两种粽子260个，列方程求解．
解答： 解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得， + =260，
解得：x=2.5，
经检验：x=2.5是原分式方程的解，
（1+20%）x=3，
则买甲粽子为： =100个，乙粽子为： =160个．
答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程求解．
22．（9分）（2014•威海）已知反比例函数y= （m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过 ▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣
2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 3 ），（ 3 ， 2 ），
（ ﹣ 3 ，﹣ 2 ） ；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 4 个．考点： 反比例函数综合题
专题： 综合题．
分析： （1）根据反比例函数的性质得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范围；
（2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），
然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1﹣2m=6，则反比例函数解析式为
y= ；
②根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满
足OP=OD，则此时P点坐标为（﹣2，﹣3）；再根据反比例函数y= 的图象关于
直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点
坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐
标为（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为
顶点可画出点P ，P ；以O点顶点可画出点P ，P ，如图．
1 2 3 4
解答： 解：（1）根据题意得1﹣2m＞0，
解得m＜ ；
（2）①∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
而A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1﹣2m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y= ；
②∵反比例函数y= 的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（﹣2，﹣3），
∵反比例函数y= 的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，此时P点坐标为（3，
2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，此时P点坐标为（﹣3，﹣2），
综上所述，P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；
由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画
弧交反比例函数图象于点P ，P ，则点P ，P 满足条件；以O点为圆心，OD为半
1 2 1 2
径画弧交反比例函数图象于点P ，P ，则点P ，P 也满足条件，如图．
3 4 3 4点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象的性质和其图象上点的
坐标特征、平行四边形的性质和等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解
决数学问题．
23．（10分）（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E
作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．
考点： 切线的判定
专题： 证明题．
分析： （1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有
∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可
得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即
可得出CD=HF．
解答： 证明：（1）连接OE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．
点评： 本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已
知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．（11分）（2014•威海）猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD
上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不
变，则DM和ME的关系为 DM=DE ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的
中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
考点： 四边形综合题
分析： 猜想：延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直
角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．
（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角
三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
（2）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
解答： 猜想：DM=ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME，
故答案为：DM=ME．
（2）如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
点评： 本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形
的中线与斜边的关系找出相等的线段．
25．（12分）（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，
2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存
在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度
数．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根
据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点
E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC
的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的
解析式，就可以求出D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆
定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得
出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出
DF=BF而得出结论．
解答： 解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，
得 ，
解得 ，∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E
为直角顶点的三角形．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC= = ．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则 × h= ×2×4，
∴h= ．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴ = ，∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣ x2+ x+2，得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
∴ ，y =﹣ x+2．
BC
由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣ x+n，由图象，得
0=﹣ ×（﹣1）+n
∴n=﹣ ，
y =﹣ x﹣ ．
AD
∴﹣ x2+ x+2=﹣ x﹣ ，
解得：x =﹣1，x =5
1 2
∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD= ．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC= ，BC=2 ，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF= ，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF= ，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．
点评： 本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似
三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三
角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
