文档内容
2014 年山东省莱芜市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，
共36分）
1．（3分）（2014•莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B．﹣3 C． D．
2．（3分）（2014•莱芜）下面计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a=1 B．3a2+2a=5a3 C．（2ab）3=6a3b3 D．﹣a4•a4=﹣a8
3．（3分）（2014•莱芜）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万
人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．1.5×107 D．0.15×108
4．（3分）（2014•莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•莱芜）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄 13 14 15 16 17 18
人数 4 5 6 6 7 2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16
6．（3分）（2014•莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．（3分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从
A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙
车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2014•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A
旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π B．2π C． D．4π
9．（3分）（2014•莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（ ）
A．R B． C． D．
10．（3分）（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若
S ：S =1：4，则S ：S =（ ）
△BDE △CDE △BDE △ACD
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
11．（3分）（2014•莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，
连接BF，下列说法不正确的是（ ）
A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE
12．（3分）（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题包括5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2014•莱芜）分解因式：a3﹣4ab2= ．
14．（4分）（2014•莱芜）计算： = ．
15．（4分）（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=
．
16．（4分）（2014•莱芜）已知一次函数y=ax+b与反比例函数 的图象相交于A（4，2）、B
（﹣2，m）两点，则一次函数的表达式为 ．
17．（4分）（2014•莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱
形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为
B ，B ，B ，…，则B 的坐标为 ．
1 2 3 2014
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）
18．（6分）（2014•莱芜）先化简，再求值： ，其中
a=﹣1．19．（8分）（2014•莱芜）在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生
日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统
计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的
多少人．
20．（9分）（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），
为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应
将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）21．（9分）（2014•莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC
边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB
于点F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．
22．（10分）（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化
两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投
资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河
道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，
那么园林绿化的费用应在什么范围内？
23．（10分）（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E
在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB= （r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．24．（12分）（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、
D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的
点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中
△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．2014 年山东省莱芜市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，
共36分）
1．（3分）（2014•莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B．﹣3 C． D．
考点：无理数．
.
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理
数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A、0是整数，是有理数，选项错误；
B、﹣3是整数，是有理数，选项错误；
C、 =2 是无理数正确；
D、 是无限循环小数，是有理数，选项错误．
故选：C．
点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不
尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）（2014•莱芜）下面计算正确的是（ ）
A．3a﹣2a=1 B．3a2+2a=5a3 C．（2ab）3=6a3b3 D．﹣a4•a4=﹣a8
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
.
分析：分别进行合并同类项、积的乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案．
解答：解：A、3a﹣2a=a，原式计算错误，故本选项错误；
B、3a2和2a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（2ab）3=8a3b3，原式计算错误，故本选项错误；
D、﹣a4•a4=﹣a8，计算正确，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了合并同类项、积的乘方和幂的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关
键．
3．（3分）（2014•莱芜）2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万
人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（ ）
A．15×105 B．1.5×106 C．1.5×107 D．0.15×108
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将1500万用科学记数法表示为：1.5×107．
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014•莱芜）如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
.
分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
解答：解：从上面可看到从左往右有三个正方形，
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）（2014•莱芜）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄 13 14 15 16 17 18
人数 4 5 6 6 7 2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16
考点：众数；中位数．
.
分析：出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据
奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶
数个则找中间两位数的平均数．
解答：解：17出现的次数最多，17是众数．
第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为16.5．
故选A．
点评：本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．
6．（3分）（2014•莱芜）若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点：多边形内角与外角．
.
分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的
边数，则可求得答案．
解答：解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选C．
点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角
和定理是关键．
7．（3分）（2014•莱芜）已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从
A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙
车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．考点：由实际问题抽象出分式方程．
.
分析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间
甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
解答：解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得， = ．
故选B．
点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列出方程．
8．（3分）（2014•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A
旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
.
分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积加上半圆面积再减去半圆面
积，即为扇形面积即可．
解答：解：∵S阴影=S扇形ABA′ +S半圆 ﹣S半圆
=S扇形ABA′ =
=2π，
故选B．
点评：本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，是基础知识，难度不大．
9．（3分）（2014•莱芜）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（ ）
A．R B． C． D．
考点：圆锥的计算．
.
分析：根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面
的半径长，然后表示出圆锥的高即可．
解答：解：圆锥的底面周长是：πR；
设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．
解得：r= R．
由勾股定理得到圆锥的高为 = ，
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是
解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧
长．10．（3分）（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若
S ：S =1：4，则S ：S =（ ）
△BDE △CDE △BDE △ACD
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
考点：相似三角形的判定与性质．
.
分析：设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于
底边的比求出 ，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相
似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
解答：解：∵S ：S =1：4，
△BDE △CDE
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴ = ，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S ：S =1：25，
△DBE △ABC
∴S =25a﹣a﹣4a=20a，
△ACD
∴S ：S =a：20a=1：20．
△BDE △ACD
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记
相似三角形面积的比等于相似比的平方用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题
的关键．
11．（3分）（2014•莱芜）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，
连接BF，下列说法不正确的是（ ）
A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2 D．DE2=EF•CE
考点：正多边形和圆．
.
分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱
形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出
AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF•CE．
解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，
∴四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
故A说法正确；
∵四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
设AC与BF交于点O，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4CD2．
故C说法正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠EDF，
∴△CDE∽△DFE，
∴ = ，
∴DE2=EF•CE，
故C说法正确；
故选B．
点评：本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，难度中等，
解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
12．（3分）（2014•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：二次函数图象与系数的关系．
.
专题：数形结合．分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛
物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1
＜﹣ ＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于
0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）
（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．
解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x=﹣ ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵﹣1＜﹣ ＜0，
∴2a﹣b＜0，所以②正确；
∵当x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③正确；
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物
线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣ ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，
c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交
点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本题包括5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）（2014•莱芜）分解因式：a3﹣4ab2= a （ a+2 b ）（ a﹣2 b ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
.
分析：观察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式，
再利用平方差公式继续分解因式．
解答：解：a3﹣4ab2
=a（a2﹣4b2）
=a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要
分解到各个因式不能再分解为止．
14．（4分）（2014•莱芜）计算： = 2 ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
.
分析：本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=2 ﹣3+1+
=2 ﹣3+1+
=2 ﹣3+1+2
=2 ．
故答案为2 ．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是掌握零指数幂、绝对值、负指数幂等考点的运算．
15．（4分）（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣ 1 ．
考点：根与系数的关系．
.
分析：
根据已知和根与系数的关系x x = 得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数
1 2
根，求出符合题意的k的值．
解答：解：∵x x =k2，两根互为倒数，
1 2
∴k2=1，
解得k=1或﹣1；
∵方程有两个实数根，△＞0，
∴当k=1时，△＜0，舍去，
故k的值为﹣1．
点评：本题考查了根与系数的关系，根据x ，x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，
1 2
a，b，c为常数）的两个实数根，则x +x =﹣ ，x x = 进行求解．
1 2 1 2
16．（4分）（2014•莱芜）已知一次函数y=ax+b与反比例函数 的图象相交于A（4，2）、B
（﹣2，m）两点，则一次函数的表达式为 y=x﹣ 2 ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
.
专题：计算题．
分析：
先把A点坐标代入 中求出k，得到反比例函数解析式为y= ，再利用反比例函数
解析式确定B定坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式．
解答：
解：把A（4，2）代入 得k=4×2=8，
所以反比例函数解析式为y= ，
把B（﹣2，m）代入y= 得﹣2m=8，解得m=﹣4，
把A（4，2）、B（﹣2，﹣4）代入y=ax+b得 ，
解得 ，
所以一次函数解析式为y=x﹣2．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故答案为y=x﹣2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐
标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
17．（4分）（2014•莱芜）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱
形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为
B ，B ，B ，…，则B 的坐标为 （ 134 2 ， 0 ） ．
1 2 3 2014
考点：规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
.
专题：规律型．
分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现
规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B 向右平移1340（即
4
335×4）即可到达点B ，根据点B 的坐标就可求出点B 的坐标．
2014 4 2014
解答：解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2014=335×6+4，
∴点B 向右平移1340（即335×4）到点B ．
4 2014
∵B 的坐标为（2，0），
4
∴B 的坐标为（2+1340，0），
2014
∴B 的坐标为（1342，0）．
2014
点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规
律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）
18．（6分）（2014•莱芜）先化简，再求值： ，其中
a=﹣1．考点：分式的化简求值．
.
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式= ÷
= •
=a（a﹣2），
当a=﹣1时，原式=﹣1×（﹣3）=3．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）（2014•莱芜）在某市开展的“读中华经典，做书香少年”读书月活动中，围绕学生
日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统
计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计该市12000名初二学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时的
多少人．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
.
分析：（1）根据第一组的人数是30，占20%，即可求得总数，即样本容量；
（2）利用总数减去另外两段的人数，即可求得0.5～1小时的人数，从而作出直方图；
（3）利用360°乘以日人均阅读时间在1～1.5小时的所占的比例；
（4）利用总人数12000乘以对应的比例即可．
解答：解：（1）样本容量是：30÷20%=150；
（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45=75．
；
（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：360°× =108°；
（4）12000× =6000（人）．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（9分）（2014•莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），
为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应
将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
.
分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，
根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．
解答：解：过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，
BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，
在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DE= =18 米，
∴DB=DC﹣BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
点评：考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求
出公共边的解决此类题目的基本出发点．
21．（9分）（2014•莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC
边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB
于点F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．
.
分析：（1）根据旋转可得∠BAE=∠CAD，从而SAS证明△ACD≌△ABE，得出答案BE=CD；
（2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再
由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，从而得出∠EBF=∠EFB，则EB=EF，证明得出四边形BDFE
为菱形．
解答：证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针
旋转α到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD和△ABE中，
，
∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，
∴四边形BDFE为菱形．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质．
22．（10分）（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化
两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投
资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河
道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，
那么园林绿化的费用应在什么范围内？考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
.
分析：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．根据2013年投资1000万元，得出2014年投资
1000（1+x）万元，2015年投资1000（1+x）2万元，而2015年投资1210万元．据此列方
程求解；
（2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为 平方米，
根据2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米及河道治污费用不少于
园林绿化费用的4倍列出不等式组，解不等式组即可．
解答：解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x =0.1，x =﹣2.1（不合题意舍去）．
1 2
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
（2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为 平方米，
由题意，得 ，
由①得a≤25500，
由②得a≥24200，
∴24200≤a≤25500，
∴968万≤400a≤1020万，
∴190万≤1210万﹣400a≤242万，
答：园林绿化的费用应在190万～242万的范围内．
点评：本题考查了一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意
思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式组．
23．（10分）（2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E
在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB= （r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．
考点：圆的综合题．
.
专题：综合题．
分析：（1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论
得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则
∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以
∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可
判断△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=BE2=（ r）2= r2；
（3）如图2，连结OA，由弧AE=弧BE得AE=BE= r，设OH=x，则HE=r﹣x，根据勾股
定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（ r）2，利用等式
的性质得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（ r）2，即得x= r，则HE=r﹣ r= r，在Rt△OAH中，根据
勾股定理计算出AH= ，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以
HF= AH= ，于是在Rt△EFH中可计算出EF= r，然后利用（2）中的结论可
计算出EC．
解答：（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，
∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
而OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；
（2）解：连结BC，
∵E是弧AB的中点，
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴弧AE=弧BE，
∴∠ABE=∠BCE，
而∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE2=（ r）2= r2；
（3）解：如图2，连结OA，
∵弧AE=弧BE，
∴AE=BE= r，
设OH=x，则HE=r﹣x，
在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，
在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（ r）2，
∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（ r）2，即得x= r，
∴HE=r﹣ r= r，在Rt△OAH中，AH= = = ，
∵OE⊥AB，
∴AH=BH，
而F是AB的四等分点，
∴HF= AH= ，
在Rt△EFH中，EF= = = r，
∵EF•EC= r2，
∴ r•EC= r2，
∴EC= r．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；
会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题．
24．（12分）（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、
D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的
点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若
不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中
△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有
MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=| x2﹣4x|；解方程| x2﹣4x|=3，求出x
的值，即点M横坐标的值；
[来源:Zxxk.Com]
（3）设水平方向的平移距离为（t 0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=﹣ （t﹣
1）2+ ；当t=1时，s有最大值为 ．
解答：解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为：y=﹣ x2+ x．
（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k= ，
∴直线OD解析式为y= x．
设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+ x），
∴MN=|y ﹣y |=| x﹣（﹣ x2+ x）|=| x2﹣4x|．
M N
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有
MN=AC=3．
∴| x2﹣4x|=3．
若 x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x= 或x= ；
若 x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x= ．∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为： 或 或 ．
（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y= x．
如解答图所示，
设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t， + t），C′（1+t，3﹣t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．
∴E（ t，0）．
联立y=3x﹣4t与y= x，解得x= t，∴P（ t， t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG= t．
∴S=S ﹣S = OF•FQ﹣ OE•PG
△OFQ △OEP
= （1+t）（ + t）﹣ • t• t
=﹣ （t﹣1）2+
当t=1时，S有最大值为 ．
∴S的最大值为 ．
点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上
点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）
问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）
问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．
