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2014 年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、
D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个
的不得分．
1．（3分）（2014•青岛）﹣7的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
2．（3分）（2014•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•青岛）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用
科学记数法可表示为（ ）
A．6.09×106 B．6.09×104 C．609×104 D．60.9×105
4．（3分）（2014•青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电
视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）
A．2.5万人 B．2万人 C．1.5万人 D．1万人
5．（3分）（2014•青岛）已知⊙O 与⊙O 的半径分别是2和4，OO=5，则⊙O 与⊙O 的位置
1 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
6．（3分）（2014•青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实
际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路
xm，则根据题意可列方程为（ ）
A． ﹣ =2 B． ﹣ =2
C． ﹣ =2 D． ﹣ =2
7．（3分）（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．
若AB=6，BC=9，则BF的长为（ ）A．4 B．3 C．4.5 D．5
8．（3分）（2014•青岛）函数y= 与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）（2014•青岛）计算： = ．
10．（3分）（2014•青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为
200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实
际质量分析如下：
平均数（g） 方差
甲分装机 200 16.23
乙分装机 200 5.84
则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
11．（3分）（2014•青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕
C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B 坐标是 ．12．（3分）（2014•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且
∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 °．
13．（3分）（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分
∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，
则PA+PB的最小值为 ．
14．（3分）（2014•青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的
基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方
体，至少还需要 个小立方块．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）（2014•青岛）已知：线段a，∠α．
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（2014•青岛）（1）计算： ÷ ； （2）解不等式组： ．
17．（6分）（2014•青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空
气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是 天，众数是
天；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．
18．（6分）（2014•青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均
匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘
停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元
的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购
物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？19．（6分）（2014•青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起
跑．图中l 和l 分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，
1 2
其中l 的关系式为y=8x，问甲追上乙用了多长时间？
1 1
20．（8分）（2014•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角
∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰
角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈ ，sin31°≈ ，tan39°≈ ，sin39°≈ ）21．（8分）（2014•青岛）已知：如图， ▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的
延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB= °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
22．（10分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投
放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每
降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么
销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）23．（10分）（2014•青岛）数学问题：计算 + + +…+ （其中m，n都是正整数，且m≥2，
n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面
积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来
进行探究．
探究一：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 + ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 +
+ +…+ ，最后空白部分的面积是 ．根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ．
探究二：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 + ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 +
+ +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ，两边同除以2，得 + + +…+ = ﹣ ．
探究三：计算 + + +…+ ．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算 + + +…+ ．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： ，
所以， + + +…+ = ．
拓广应用：计算 + + +…+ ．24．（12分）（2014•青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF
从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，
Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为（t s）（0＜t＜8）．解答
下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S ：S =17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，
四边形APFE 菱形ABCD
E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
2014 年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、
D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个
的不得分．
1．（3分）（2014•青岛）﹣7的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
考点： 绝对值．菁优网版权所有
分析： 根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答： 解：|﹣7|=7，
故选：B．
点评： 本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
2．（3分）（2014•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
分析： 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以
及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对
称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此
选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项
错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此
选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题
的关键．
3．（3分）（2014•青岛）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用
科学记数法可表示为（ ）
A．6.09×106 B．6.09×104 C．609×104 D．60.9×105
考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答： 解：将6090000用科学记数法表示为：6.09×106．
故选：A．
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2014•青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电
视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（ ）
A．2.5万人B．2万人 C．1.5万人 D．1万人
考点： 用样本估计总体．菁优网版权所有
分析： 求得调查样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．
解答： 解：该镇看中央电视台早间新闻的约有15× =1.5万，
故选B．
点评： 本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度
不大．
5．（3分）（2014•青岛）已知⊙O 与⊙O 的半径分别是2和4，OO=5，则⊙O 与⊙O 的位置
1 2 1 2 1 2
关系是（ ）
A．内 B．内切 C．相交 D．外切
考点： 圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
分析： 由⊙O、⊙O 的半径分别是2、4，OO=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径
1 2 1 2
R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答： 解：∵⊙O、⊙O 的半径分别是2、4，
1 2
∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2，
∵O O=5，2＜6＜6，
1 2
∴⊙O 与⊙O 的位置关系是：相交．
1 2
故选C．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的
数量关系间的联系．6．（3分）（2014•青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实
际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路
xm，则根据题意可列方程为（ ）
A． ﹣ =2 B． ﹣ =2
C． ﹣ =2 D． ﹣ =2
考点： 由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
分析： 设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工
方式，提前2天完成任务，列出方程即可．
解答： 解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，
由题意得， ﹣ =2．
故选D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列出方程．
7．（3分）（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．
若AB=6，BC=9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析： 先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，
运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．
解答： 解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，
∴BC′=3，
由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，
在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，
∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，
故选：A．
点评： 本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程
求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
8．（3分）（2014•青岛）函数y= 与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A B． C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看
是否一致．
解答： 解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线
与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与
y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与
y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与
y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根
据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符
合要求．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（2014•青岛）计算： = 2 +1 ．
考点： 二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 根据二次根式的除法法则运算．
解答： 解：原式= +
=2 +1．
故答案为2 +1．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次
根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
10．（3分）（2014•青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为
200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实
际质量分析如下：
平均数（g） 方差
甲分装机 200 16.23
乙分装机 200 5.84
则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
考点： 方差．菁优网版权所有
分析： 根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较甲，乙两台包装机的方差可判断．
解答： 解：∵ =16.23， =5.84，
∴ ＞ ，
∴这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙．
故答案为：乙．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组
数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较
集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．（3分）（2014•青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕
C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B 的坐标是 （ 1 ， 0 ） ．考点： 坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
分析： 先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．
解答： 解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，
0）．
故答案为（1，0）．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的
特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
12．（3分）（2014•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且
∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是 3 5 °．
考点： 切线的性质．菁优网版权所有
分析： 首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得
∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
解答： 解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=110°，
∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，
∴∠A= ∠BOC=35°．
故答案为：35．
点评： 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注
意掌握数形结合思想的应用．
13．（3分）（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分
∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，
则PA+PB的最小值为 2 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．菁优网版权所有
分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最
小值求解．
解答： 解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，
∴B点关于EF的对称点C点，
∴AC即为PA+PB的最小值，
∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB•tan60°= ．
故答案为：2 ．
点评： 考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的
关键．
14．（3分）（2014•青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的
基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方
体，至少还需要 5 4 个小立方块．
考点： 由三视图判断几何体．菁优网版权所有
分析： 首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数，然后确定搭成一个大正方
体需要的块数．
解答： 解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小
立方体，那么共有7+2+1=10个几何体组成．
若搭成一个大正方体，共需4×4×4=64个小立方体，
所以还需64﹣10=54个小立方体，
故答案为：54．
点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的
考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）（2014•青岛）已知：线段a，∠α．
求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．
考点： 作图—复杂作图．菁优网版权所有
分析： 首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧
即可得出C的位置．解答： 解：如图所示：△ABC即为所求．
点评： 此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（2014•青岛）（1）计算： ÷ ；
（2）解不等式组： ．
考点： 解一元一次不等式组；分式的乘除法．菁优网版权所有
分析： （1）首先转化为乘法运算，然后进行约分即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
解答： 解：（1）原式=
=
= ；
（2）解不等式①，得x＞ ．
解不等式②，得x＜3．
所以原不等式组的解集是 ＜x＜3．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以
观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．17．（6分）（2014•青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空
气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是 1 4 天，众数是 1 3 天；
（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；
（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．
考点： 折线统计图；扇形统计图；中位数；众数．菁优网版权所有
分析： （1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；
（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；
（3）结合空气质量进而得出答案．
解答： 解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，
最中间的是：13，15，
故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天
故答案为：14，13；
（2）由题意可得：360°× =60°．
答：扇形A的圆心角的度数是60°．
（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．
点评： 此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是
解题关键．
18．（6分）（2014•青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均
匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元
的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购
物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
考点： 概率公式．菁优网版权所有
分析：（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概
率公式求解即可求得答案；
（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求
得答案．
解答： 解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，
∴P（转动一次转盘获得购物券）= = ．（2分）
（2）∵P（红色）= ，P（黄色）= ，P（绿色）= = ，
∴ （元）
∵40元＞30元，
∴选择转转盘对顾客更合算．（6分）
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（6分）（2014•青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起
跑．图中l 和l 分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，
1 2
其中l 的关系式为y=8x，问甲追上乙用了多长时间？
1 1考点： 一次函数的应用．菁优网版权所有
分析： 设l 表示乙跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系为y=kx+b，代入
2 2
（0，10），（2，22）求得函数解析式，进一步与l 的关系式为y=8x联立方程解决问题．
1 1
解答： 解：设y=kx+b（k≠0），
2
代入（0，10），（2，22）得
解这个方程组，得
所以y=6x+10．
2
当y=y 时，8x=6x+10，
1 2
解这个方程，得x=5．
答：甲追上乙用了5s．
点评： 本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图
象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
20．（8分）（2014•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角
∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰
角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈ ，sin31°≈ ，tan39°≈ ，sin39°≈ ）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别
表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；
（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD= ，代入数值求出AC的长度．
解答： 解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为xm，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，tan31°= ，
∴BD= ≈ = x，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan39°= ，
∴CD= ≈ = x，
∵BC=BD﹣CD，
∴ x﹣ x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
sin39°= ，∴AC= = ≈282.9（m）．
答：索道AC长约为282.9米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用
三角函数的知识表示出相关线段的长度．
21．（8分）（2014•青岛）已知：如图， ▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的
延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△ EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB= 4 5 °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
分析： （1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得
DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；
（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，
再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又∵OC=OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45°，
∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．
∴▱ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
故答案为：45．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线
互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
22．（10分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投
放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每
降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么
销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函
数的应用．菁优网版权所有
分析： （1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”
列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
解答： 解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）
=（x﹣50）（﹣5x+550） ]
=﹣5x2+800x﹣27500
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y =4500；
最大值
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x=70，x=90．
1 2
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
点评： 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（10分）（2014•青岛）数学问题：计算 + + +…+ （其中m，n都是正整数，且m≥2，
n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面
积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来
进行探究．
探究一：计算 + + +…+ ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 + ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 +
+ +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ．
探究二：计算 + + +…+ ．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 + ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 +
+ +…+ ，最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ，
两边同除以2，得 + + +…+ = ﹣ ．
探究三：计算 + + +…+ ．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算 + + +…+ ．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ，
所以， + + +…+ = ﹣ ．
拓广应用：计算 + + +…+ ．
考点： 作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
专题： 规律型．
分析： 探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以
3即可；
解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）
即可得解；
拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
解答： 解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： + + +…+ ，最后的空白部分的面积是 ，
根据第n次分割图可得等式： + + +…+ =1﹣ ，
两边同除以3，得 + + +…+ = ﹣ ；
解决问题： + + +…+ =1﹣ ，
+ + +…+ = ﹣ ；
故答案为： + + +…+ =1﹣ ， ﹣ ；
拓广应用： + + +…+ ，
=1﹣ +1﹣ +1﹣ +…+1﹣ ，
=n﹣（ + + +…+ ），
=n﹣（ ﹣ ），
=n﹣ + ．点评： 本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及
求和的方法是解题的关键．
24．（12分）（2014•青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF
从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，
Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为（t s）（0＜t＜8）．解答
下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S ：S =17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，
四边形APFE 菱形ABCD
E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
考点： 四边形综合题．菁优网版权所有
分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA= AC，OB= BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理
求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出 = ．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S
菱形ABCD
=AB•CG= AC•BD，求出CG．据S
梯形APFD
=
（AP+DF）•CG．S = EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
△EFD
（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S
菱形ABCD
=AB•CG，求出CG，由S
四边形APFE
：S
菱形ABCD
=17：40，
求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC= AC=6，OB=OD= BD=8．
在Rt△AOB中，AB= =10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴ = ．
即 = ，
∴DF= t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10﹣t= t，
解这个方程，得t= ．
∴当t= s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S =AB•CG= AC•BD，
菱形ABCD
即10•CG= ×12×16，∴CG= ．
∴S = （AP+DF）•CG
梯形APFD
= （10﹣t+ t）• = t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴ = ．
即 = ，
∴QF= t．
同理，EQ= t．
∴EF=QF+EQ= t．
∴S = EF•QD= × t×t= t2．
△EFD
∴y=（ t+48）﹣ t2=﹣ t2+ t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S ：S =17：40，
四边形APFE 菱形ABCD
则﹣ t2+ t+48= ×96，
即5t2﹣8t﹣48=0，
解这个方程，得t=4，t=﹣ （舍去）
1 2过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴ = = ，即 = = ．
∴PN= ，BN= ．
∴EM=EQ﹣MQ= = ．
PM=BD﹣BN﹣DQ= = ．
在Rt△PME中，
PE= = = （cm）．
点评： 本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．
