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2014 年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题（共大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，满分40分.每小题
所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题
卡相应位置上）
1．（3分）（2014•日照）在已知实数：﹣1，0， ，﹣2中，最小的一个实数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣2
2．（3分）（2014•日照）下列运算正确的是（ ）
A．3a3•2a2=6a6 B．（a2）3=a6 C．a8÷a2=a4 D．x3+x3=2x6
3．（3分）（2014•日照）在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2014•日照）某养殖场2013年底的生猪出栏价格是每千克a元，受市场影响，2014
年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均没千克比第一季度又上升
了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（ ）
A． （1﹣15%）（1+20%）a元 B． （1﹣15%）20%a元
C． （1+15%）（1﹣20%）a元 D． （1+20%）15%a元
5．（3分）（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC
有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（3分）（2014•日照）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收
获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表：
序 号 1 2 3 4 5 6
产量量 17 21 19 18 20 19
这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（ ）
A．18，2000 B．19，1900 C．18.5，1900 D．19，1850
7．（3分）（2014•日照）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x ，x ，满足x +x ﹣
1 2 1 2
x x ＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
1 2A． B．
C． D．
8．（3分）（2014•日照）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上
的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直
细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（ ）
A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm
9．（4分）（2014•日照）当k＞ 时，直线kx﹣y=k与直线ky+x=2k的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（4分）（2014•日照）如图，已知△ABC的面积是12，点E、I分别在边AB、AC上，在BC
边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（
）
A． B． C． D．
11．（4分）（2014•日照）如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称
轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，
y ），（6，y ）都在抛物线上，则有y ＜y ．
1 2 1 2
其中正确的是（ ）A． ①②③ B． ②④⑤ C． ①③④ D． ③④⑤
12．（4分）（2014•日照）下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数： ﹣（1+ ）；
第2个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）；
第3个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+
）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题
卡相应的位置上）
13．（4分）（2014•日照）分解因式：x3﹣xy2= ．
14．（4分）（2014•日照）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进
行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计
图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为 ．15．（4分）（2014•日照）已知a＞b，如果 + = ，ab=2，那么a﹣b的值为 ．
16．（4分）（2014•日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆
心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过圆心P，
则k= ．
三、解答题（本大题共6小题，满分64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2014•日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对
7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工
程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能
提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
18．（8分）（2014•日照）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最
后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个
数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面
的人就不能再选择数字了．（1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率．
（2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说
明理由．
19．（10分）（2014•日照）如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC
边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
20．（10分）（2014•日照）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上
建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米．
以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．
（Ⅰ）求直线AB的解析式．
（Ⅱ）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S．
（1）用x表示S；
（2）当x为何值时，S取最大值，并求出这个最大值．21．（14分）（2014•日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线
性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、
OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以 = ，即PC2=PA•PB．
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点
P；
（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证： = ．22．（14分）（2014•日照）如图1，在菱形OABC中，已知OA=2 ，∠AOC=60°，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．
（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线
AG上．
（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，
C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年山东省日照市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，满分40分.每小题
所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题
卡相应位置上）
1．（3分）（2014•日照）在已知实数：﹣1，0， ，﹣2中，最小的一个实数是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣2
分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反
而小，由此可得出答案．
解答：解：﹣2、﹣1、0、1中，最小的实数是﹣2．
故选：D．
点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．
2．（3分）（2014•日照）下列运算正确的是（ ）
A．3a3•2a2=6a6 B．（a2）3=a6 C．a8÷a2=a4 D．x3+x3=2x6
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
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分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答
案．
解答：解：A、3a3•2a2=6a5，故A选项错误；
B、（a2）3=a6，故B选项正确；
C、a8÷a2=a6，故C选项错误；
D、x3+x3=2x3，故D选项错误．
故选：B．
点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要
注意细心．
3．（3分）（2014•日照）在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形．
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分析：根据中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是中心对称图形．故本选项错误；
B、不是中心对称图形．故本选项错误；
C、是中心对称图形．故本选项正确；
D、不是中心对称图形．故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．4．（3分）（2014•日照）某养殖场2013年底的生猪出栏价格是每千克a元，受市场影响，2014
年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均没千克比第一季度又上升
了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（ ）
A．（1﹣15%） B．（1﹣15%）20%a元C．（1+15%）（1﹣ D．（1+20%）15%a元
（1+20%）a元 20%）a元
考点：列代数式．
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分析：由题意可知：2014年第一季度出栏价格为2013年底的生猪出栏价格的（1﹣15%），第
二季度平均价格每千克是第一季度的（1+20%），由此列出代数式即可．
解答：解：第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（1﹣15%）（1+20%）a元．
故选：A．
点评：此题考查列代数式，注意题目蕴含的数量关系，找准标准是解决问题的关键．
5．（3分）（2014•日照）已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC
有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
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分析：由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，结合边长是整数进行分析．
解答：解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，
共3个．
故选：C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大
于第三边，任意两边之差小于第三边．解答本题时要进行多次的尝试验证．
6．（3分）（2014•日照）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收
获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表：
序 号 1 2 3 4 5 6
产量量 17 21 19 18 20 19
这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（ ）
A．18，2000 B．19，1900 C．18.5，1900 D．19，1850
考点：中位数；用样本估计总体．
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分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）
为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然
后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量．
解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．
位于最中间的数是19，19，
所以这组数的中位数是m=（19+19）÷2=19；
从100棵樱桃中抽样6棵，
每颗的平均产量为 （17+18+19+19+20+21）=19（千克），
所以估计樱桃的总产量n=19×100=1900（千克）；
故选B．
点评：此题考查了中位数、平均数、样本估计总体等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握
定义并且能够运用这些知识才能很好解决问题．
7．（3分）（2014•日照）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x ，x ，满足x +x ﹣
1 2 1 2
x x ＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
1 2A B C D
． ． ． ．
考点：在数轴上表示不等式的解集；根的判别式；根与系数的关系．
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分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x +x =﹣2，x •x =k+1，
1 2 1 2
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：
，
故选D．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．
8．（3分）（2014•日照）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上
的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直
细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（ ）
A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm
考点：弧长的计算；正多边形和圆．
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分析：根据如图所示可知点P运动的路线就是图中六条扇形的弧长，扇形的圆心角为60度，
半径从12cm，依次减2cm，求得六条弧的长的和即可．
解答：
解：点P运动的路径长为： + + + + +
[来源:Z。xx。k.Com]
= （12+10+8+6+4+2）
=14π（cm）．
故选B．
点评：本题的关键是理解点P运动的路线是六条弧，理解每条弧的圆心角和半径是关键．9．（4分）（2014•日照）当k＞ 时，直线kx﹣y=k与直线ky+x=2k的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：两条直线相交或平行问题．
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分析：
解方程组 得两直线的交点坐标，由k＞ ，求出交点的横坐标、纵坐标的符
号，得出结论．
解答：
解：解方程组 得，两直线的交点坐标为（ ， ），
因为k＞ ，
所以 ＞0， = ＞0，
所以交点在第一象限．
故选：A．
点评：本题考查求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征．
10．（4分）（2014•日照）如图，已知△ABC的面积是12，点E、I分别在边AB、AC上，在BC
边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为（
）
A． B． C． D．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
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分析：设正方形的边长为x，根据正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，可以
求出有两个正方形的边长和有三个正方形的边长，从中得到规律就可得到n个正方形
的边长规律即可得到问题答案．
解答：解：过C作CM⊥AB，垂足为M，交GH于点N．
∴∠CMB=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，
∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．
∵∠GCH=∠ACB，
∴△CGH∽△CAB．
∴ ，
∵GF=MN=GH，设GH=x，三角形ABC的底为a，高为h，
∴CN=CM﹣MN=CM﹣GH=CM﹣x．
∴ ，
…以此类推，由此，当为n个正方形时以x= ，
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、直角三角
形的勾股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握．并把它运用到实际的题目中
去．
11．（4分）（2014•日照）如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称
轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．有下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（﹣3，
y ），（6，y ）都在抛物线上，则有y ＜y ．
1 2 1 2
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．③④⑤
考点：二次函数图象与系数的关系．
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分析：①先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号，再
根据有理数乘法法则即可判断；
②把x=﹣2代入函数关系式，结合图象即可判断；
③根据对称轴求出b=﹣4a，即可判断；
④根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断；
⑤先求出点（﹣3，y ）关于直线x=2的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断y
1 1
和y 的大小．
2
解答：解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=2，
∴﹣ =2，
∴b=﹣4a＜0，
∴abc＞0．
故①正确；
②把x=﹣2代入y=ax2+bx+c得：y=4a﹣2b+c，
由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0．故②错误；
③∵b=﹣4a，
∴4a+b=0．
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）．
故④正确；
⑤∵（﹣3，y ）关于直线x=2的对称点的坐标是（7，y ），
1 1
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，7＞6，
∴y ＞y ．
1 2
故⑤错误；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物
线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y
轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图
象判断x=﹣2时对应函数值的正负及二次函数的增减性．
[来源:Z_xx_k.Com]
12．（4分）（2014•日照）下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数： ﹣（1+ ）；
第2个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）；
第3个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+
）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
考点：规律型：数字的变化类．
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分析：
通过计算可以发现，第一个数 ﹣ ，第二个数为 ﹣ ，第三个数为 ﹣ ，…第n个数为 ﹣ ，由此求第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的得数，通过比
较得出答案．
解答：
解：第1个数： ﹣（1+ ）；
第2个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）；
第3个数： ﹣（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+
）；
…
∴第n个数为 ﹣（1+ ）[1+ [1+ …[1+ =
] ] ]
﹣ ，
∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣ ，﹣ ，﹣ ，﹣ ，其中
最大的数为﹣ ，即第10个数最大．
故选A．
点评：本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题
卡相应的位置上）
13．（4分）（2014•日照）分解因式：x3﹣xy2= x （ x+ y ）（ x﹣ y ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
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分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解
题关键．
14．（4分）（2014•日照）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进
行统计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，可知扇形统计
图中表示空气质量为优的扇形的圆心角的度数为 108 ° ．
考点：条形统计图；扇形统计图．
菁优网版权所有分析：根据空气质量为良的天数和所占的百分比求出总的天数，再用总天数减去空气质量为
良和轻度污染的天数求出优的天数，再用360°乘以优的天数所占的百分比即可．
解答：解：根据题意得：
随机查阅的总天数是： =30（天），
优的天数是：30﹣18﹣3=9（天），
则空气质量为优的扇形的圆心角的度数为： ×360°=108°；
故答案为：108°．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
15．（4分）（2014•日照）已知a＞b，如果 + = ，ab=2，那么a﹣b的值为 1 ．
考点：完全平方公式；分式的加减法．
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专题：计算题．
分析：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，
再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．
解答：
解： + = = ，
将ab=2代入得：a+b=3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣8=1，
∵a＞b，∴a﹣b＞0，
则a﹣b=1．
故答案为：1
点评：此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
16．（4分）（2014•日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆
心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过圆心P，
则k= ．
考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；切线的性质；相似三
角形的判定与性质．
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专题：计算题．
分析：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，用面积法可求出⊙P的半
径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标，就可求出k的值．
解答：解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．
则有PD⊥OA，PE⊥AB．
设⊙P的半径为r，
∵AB=5，AC=1，∴S = AB•PE= r，S = AC•PD= r．
△APB △APC
∵∠OAB=90°，OA=4，AB=5，
∴OB=3．
∴S = AC•OB= ×1×3= ．
△ABC
∵S =S +S ，
△ABC △APB △APC
∴ = r+ r．
∴r= ．
∴PD= ．
∵PD⊥OA，∠AOB=90°，
∴∠PDC=∠BOC=90°．
∴PD∥BO．
∴△PDC∽△BOC．
∴ = ．
∴PD•OC=CD•BO．
∴ ×（4﹣1）=3CD．
∴CD= ．
∴OD=OC﹣CD=3﹣ = ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过圆心P，
∴k= × = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的
性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．
三、解答题（本大题共6小题，满分64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2014•日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对
7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工
程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能
提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？考点：分式方程的应用．
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分析：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2．则依据“乙队单独干比甲队单独干能
提前15天完成任务”列出方程．
解答：解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．
﹣ =15，
解得x=160，
经检验，x=160，是所列方程的解．
答：甲队每天完成160米2．
点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．（8分）（2014•日照）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最
后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4个
数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面
的人就不能再选择数字了．
（1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率．
（2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说
明理由．
考点：列表法与树状图法．
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分析：（1）首先画树形图可知：一共有24种情况，甲、乙二人都得到计算器共有4种情况除以
总情况数即为所求概率；
（2）根据（1）中的树形图，分别求出甲、乙、丙得到篮球的概率即可．
解答：解：（1）所有获奖情况的树状图如下：
共有24种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有4种情况，
所以，甲、乙二人都得计算器的概率为：P= ；
（2）这种说法是不正确的．由上面的树状图可知共有24种可能情况：
甲得到篮球有六种可能情况：P（甲）= = ，
乙得到篮球有六种可能情况：P（乙）= = ，
丙得到篮球有六种可能情况：P（丙）= = ，
所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公
平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（10分）（2014•日照）如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC
边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
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分析：（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此
可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；
（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的
长．
解答：（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．
∵∠AEF=∠B=∠90°，
∴∠1=∠2．
在△ABE和△EGF中，
∴△ABE≌△EGF（AAS）．
∴AB=EG，BE=FG．
又∵AB=BC，
∴BE=CG，
∴FG=CG，
∴∠FCG=∠45°，
即CF平分∠DCG，
∴CF是正方形ABCD外角的平分线．
（2）∵AB=3，∠BAE=30°，∠tan30°= ，
BE=AB•tan30°=3× ，即CG= ．
在Rt△CFG中，cos45°= ，
∴CF= ．
点评：主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运
用，题目的综合性较强，难度中等．
20．（10分）（2014•日照）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上
建一个矩形花坛PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米．
以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．（Ⅰ）求直线AB的解析式．
（Ⅱ）若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S．
（1）用x表示S；
（2）当x为何值时，S取最大值，并求出这个最大值．
考点：一次函数综合题．
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分析：（Ⅰ）根据题意易求A、B的坐标为（0，20）、（30，0）．利用待定系数法可以求得直线AB
的解析式；
（Ⅱ）（1）点P的坐标可以表示为（x，﹣ x+20），则PK=100﹣x，PH=80﹣（﹣ x+20）
=60+ x，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为：S=（100﹣x）（60+ x）；
（2）利用（1）中的二次函数的性质来求S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）如图所示，∵OE=80米，OC=ED=100米，AE=60米，BC=70米，
∴OA=20米，OB=30米，
即A、B的坐标为（0，20）、（30，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则
，
解得， ，
则直线AB的解析式为y=﹣ x+20；
（Ⅱ）（1）设点P的坐标为P（x，y）．
∵点P在直线AB上，所以点P的坐标可以表示为（x，﹣ x+20），
∴PK=100﹣x，PH=80﹣（﹣ x+20）=60+ x，
∴S=（100﹣x）（60+ x）；
（2）由S=（100﹣x）（60+ x）=﹣（ x﹣10）2+ ，
所以，当x=10时，矩形面积的最大值为：S最大= 平方米．点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积
公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．
21．（14分）（2014•日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线
性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、
OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△ PCB，所以 = ，即PC2=PA•PB．
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点
P；
（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证： = ．
考点：圆的综合题．
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分析：（Ⅰ）证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得
△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA•PB=PD•PE，由图1知，
PC 2=PD•PE，即可证得结论；
证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，
易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC 2=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA•PB=PA（PA+AB）
=2PA2，继而求得答案；
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得= ， = ，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论；
证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得 =
， = ，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2=PA•PB仍然成立．
证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴ ，
即PA•PB=PD•PE，
由图1知，PC2=PD•PE，
∴PC2=PA•PB．
证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以 ，
即PC 2=PA•PB．
（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC2=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA2，
∴2PA2=144，
∴PA=±6 （负值无意义，舍去）．
∴PA=6 ．
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴ = ， = ．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴ = ，
∴ = ．
∵PC 2=PA•PB，
∴ = = = ，
即 = ．证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，
∴ = ， = ．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴ = ，
∴ = ．
∵PC 2=PA•PB，
∴ = = = ，
即 = ．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度
较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（14分）（2014•日照）如图1，在菱形OABC中，已知OA=2 ，∠AOC=60°，抛物线
y=ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．
（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线
AG上．（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，
C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
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分析：（Ⅰ）作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的
坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式．
（Ⅱ）（1）先求得抛物线的顶点坐标和与x轴的另一个交点坐标，当OP+PC最小时，由
对称性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的对角线，即可求得
∠AOB=30°，然后通过解直角三角函数即可求得AP的长，进而求得P点的坐标；
（2）先求得△PEF是底角为30°的等腰三角形，根据OC=BC=BD=2 ，
∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因为AQ=4，AG=3，BC=2 ，
所以GQ=1，BG= ，所以，tan∠BGQ= = ，即∠BGQ=30°，得出△BQC也是底角
为30°的等腰三角形，即可求得符合条件的点M的坐标．
解答：解：（Ⅰ）如图1，作CH⊥OA于点H，
四边形OABC是菱形，OA=2 ，∠AOC=60°，
OC=2 ，OH=sin60°2 = ，CH=cos60°2 =3，
A点坐标为（2 ，0），C 点的坐标为（ ，3），
由菱形的性质得B点的坐标为（3 ，3）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得
，
解得a=﹣ ，b= ，c=0，
所以，y=﹣ x2+ x．
（Ⅱ）（1）如图2，由（Ⅰ）知抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x，
所以对称轴为x=2 ，顶点为Q（2 ，4）．
设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x2﹣4 x=0，
解得x =0，x =4 ，
1 2
所以点D的坐标为（4 ，0），
∵点A的坐标为（2 ，0），对称轴为x=2 ，
且AG⊥BC，
直线AG为抛物线的对称轴．
∵B、C两点关于直线AG对称，
当OP+PC最小时，
由对称性可知，OP+PC=OB．
即OB，AG的交点为点P，∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，
∴∠AOB=30°，
即AP=OAtan30°=2 × =2，
所以点P的坐标为（2 ，2）．
（2）连接OB，CD，CQ，BQ，
由（1）知直线AG为抛物线的对称轴，
则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形．
∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物
线的对称轴上，
∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ
∠PEF=∠BOA=30°，
即△PEF是底角为30°的等腰三角形．
在△OBC、△BCD中，
OC=BC=BD=2 ，∠BOC=∠BDC=30°，
所以△OBC∽△BCD∽△PEF，
所以，符合条件的点的坐标为（0，0），（4 ，0）．
又因为AQ=4，AG=3，BC=2 ，
所以GQ=1，BG= ，
所以，tan∠BGQ= = ，
即∠BGQ=30°，
△BQC也是底角为30°的等腰三角形，
Q点的（2 ，4），
所以符合条件的点M的坐标为（0，0），（4 ，0），（2 ，4）．
点评：本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性
质，三角形相似的判定等；连接OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键．
