文档内容
2014 年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）（2014•潍坊） 的立方根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
2．（3分）（2014•潍坊）下列标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B．2﹣2 C． D．sin45°
.
4．（3分）（2014•潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2014•潍坊）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
6．（3分）（2014•潍坊）如图， ▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连
接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44° B．54° C．72° D．53°7．（3分）（2014•潍坊）若不等式组 无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1
8．（3分）（2014•潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动
点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函
数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2014•潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元
二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A．27 B．36 C．27或36 D．18
10．（3分）（2014•潍坊）如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数
小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月
1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天
空气质量优良的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2014•潍坊）已知一次函数y =kx+b（k＜0）与反比例函数y = （m≠0）的图象相交
1 2
于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y ＞y 时，实数x的取值范围是（ ）
1 2
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或0＜x＜3C． ﹣1＜x＜0或x＞3 D． x＜x＜3
12．（3分）（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把
正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014
次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
二、填空题
13．（3分）（2014•潍坊）分解因式：2x（x﹣3）﹣8= ．
14．（3分）（2014•潍坊）计算：82014×（﹣0.125）2015= ．
15．（3分）（2014•潍坊）如图，两个半径均为 的⊙O 与⊙O 相交于A、B两点，且每个圆都
1 2
经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（3分）（2014•潍坊）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 9 ．
17．（3分）（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高
是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔50米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，
从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从
标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑
物的高是 米．18．（3分）（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三
尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看
作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠
绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
三、解答题
19．（9分）（2014•潍坊）今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容，考
试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级220名男生中，随机抽取20名进行“引体向
上”测试，测试成绩（单位：个）如图1：其中有一数据被污损，统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数．
（1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差；
（2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图2）；
频数、频率分布表：
测试成绩/个 频数 频率
1～5 0.10
6～10
11～15
16～20 3 0.15
合计 20 1.00
（3）估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上（包含11个）
“引体向上”？
20．（10分）（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与
另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．
21．（10分）（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机
在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的
俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另
一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．22．（12分）（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，
交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的
值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM
和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
23．（12分）（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度
x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千
米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220
时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制
大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流
密度．求大桥上车流量y的最大值．
24．（13分）（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点
A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交
于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为
17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．2014 年山东省潍坊市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）（2014•潍坊） 的立方根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
考点： 立方根
分析： 根据开立方运算，可得一个数的立方根．
解答：
解： 的立方根是1，
故选：C．
点评： 本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．
2．（3分）（2014•潍坊）下列标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形
的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心
对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ）
A． B．2﹣2 C． D．sin45°
.
考点： 无理数
分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解答： 解：A、B、C、是有理数；
D、是无限不循环小数，是无理数；
故选：D．
点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
4．（3分）（2014•潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）A． B． C． D．
考点： 由三视图判断几何体
分析： 由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．
解答： 解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
点评： 本题只要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的
三视图，比较基础．
5．（3分）（2014•潍坊）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
分析： 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥﹣1且x≠3．
故选B．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开
方数是非负数．
6．（3分）（2014•潍坊）如图， ▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连
接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44° B．54° C．72° D．53°
考点： 圆周角定理；平行四边形的性质
分析： 首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形ABCD是
平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°，求得到
∠ADC=54°．
解答： 解：∵BE是直径，
∴∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，
∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，
∴∠ADC=54°，
故选B．
点评： 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现
图形中的圆周角．
7．（3分）（2014•潍坊）若不等式组 无解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1
考点： 解一元一次不等式组
分析： 分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值
范围．
解答：
解： ，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1，
∵不等式组无解，
∴﹣a≥1，解得a≤﹣1．
故选D．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中
间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（3分）（2014•潍坊）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动
点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函
数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象
分析： 利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析
求解．
解答： 解：∵BC=4，BE=x，∴CE=4﹣x．
∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AEB=∠CFE．
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△AEB∽Rt△EFC，
∴ ，即 ，
整理得：y= （4x﹣x2）=﹣ （x﹣2）2+
∴y与x的函数关系式为：y=﹣ （x﹣2）2+ （0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2， ），
对称轴为直线x=2．
故选A．
点评： 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解
题关键．
9．（3分）（2014•潍坊）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元
二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）
A．27 B．36 C．27或36 D．18
考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解
分析： 由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行
讨论：①当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可
求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断是
否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相
等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即
可．
解答： 解：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得32﹣12×3+k=0，k=27．
将k=27代入原方程，得x2﹣12x+27=0，
解得x=3或9．
3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，
此时144﹣4k=0，k=36．
将k=36代入原方程，得x2﹣12x+36=0，
解得x=6．
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为36．
故选B．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形
的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解．
10．（3分）（2014•潍坊）如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数
小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月
1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，则此人在该市停留期间有且仅有1天
空气质量优良的概率是（ ）
A． B． C． D．考点： 概率公式；折线统计图
分析： 先求出3天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优
良的情况，根据概率公式求解即可．
解答： 解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时为
（86，25，57），3天空气质量均为优；
当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时为（25，57，143），2天
空气质量为优；
当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时为（57，143，220），1
天空气质量为优；
当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时为（143，220，160），空
气质量为污染；
当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时为（220，160，40），1
天空气质量为优；
当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时为（160，40，217），1
天空气质量为优；
∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率= = ．
故选C．
点评： 本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能
出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
11．（3分）（2014•潍坊）已知一次函数y =kx+b（k＜0）与反比例函数y = （m≠0）的图象相交
1 2
于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y ＞y 时，实数x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣1或0＜x B．﹣1＜x＜0或0 C．﹣1＜x＜0或x D．x＜x＜3
＜3 ＜x＜3 ＞3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案．
解答： 解：如图：
直线在双曲线上方的部分，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3，
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线在双曲线上
方的部分是不等式的解．12．（3分）（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把
正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014
次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-平移
专题： 规律型．
分析： 首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求
得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规
律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），
当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次
这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
解答： 解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．
∴对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即
（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点B的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n
为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为
（﹣2012，2）．
故选：A．
点评： 此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意
得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇
数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的关键．
二、填空题
13．（3分）（2014•潍坊）分解因式：2x（x﹣3）﹣8= 2 （ x ﹣ 4 ）（ x+1 ） ．
考点： 因式分解-十字相乘法等
分析： 首先去括号，进而整理提取2，即可利用十字相乘法分解因式．
解答： 解：2x（x﹣3）﹣8
=2x2﹣6x﹣8
=2（x2﹣3x﹣4）
=2（x﹣4）（x+1）．
故答案为：2（x﹣4）（x+1）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟练掌握十
字相乘法分解因式是解题关键．
14．（3分）（2014•潍坊）计算：82014×（﹣0.125）2015= ﹣0.125 ．
考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法分析： 根据同底数幂的乘法，可化成指数相同的幂的乘法，根据积的乘方，可
得答案．
解答： 解：原式=82014×（﹣0.125）2014×（﹣0.125）
=（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）=﹣0.125，
故答案为：﹣0.125．
点评： 本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方运
算．
15．（3分）（2014•潍坊）如图，两个半径均为 的⊙O 与⊙O 相交于A、B两点，且每个圆都
1 2
经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 2π ﹣ 3 ．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质
分析：
根据题意得出一部分弓形的面积，得出 = ﹣S
进而得出即可．
解答： 解：连接O O ，过点O 作O C⊥AO 于点C，
1 2 1 1 2
由题意可得：AO =O O =AO = ，
1 1 2 2
∴△AO O 是等边三角形，
1 2
∴CO =O O sin60°= ，
1 1 2
∴S = × × = ，
= = ，
∴ = ﹣S = ﹣ ，
∴图中阴影部分的面积为：4（ ﹣ ）=2π﹣3 ．
故答案为：2π﹣3 ．
点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练
记忆扇形面积公式是解题关键．
16．（3分）（2014•潍坊）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 9 ．考点： 方差；中位数
专题： 计算题．
分析： 由于有6个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有1，而数据的
中位数为1，所以中间两个数的另一个数也为1，即x=1，再计算数据的平均
数，然后利用方差公式求解．
解答： 解：∵数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，
∴ =1，解得x=1，
∴数据的平均数= （﹣3﹣2+1+1+3+6）=1，
∴方差= （[ ﹣3﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（6﹣1）2 =9．
故答案为5．
]
点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均
数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2= [（x ﹣
1
x¯）2+（x ﹣x¯）2+…+（x ﹣x¯）2 ；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
2 n
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均
值的离散程度越小，稳定性越]好．也考查了中位数．
17．（3分）（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高
是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔50米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，
从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从
标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑
物的高是 5 0 米．
考点： 相似三角形的应用
分析： 根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应
边成比例即可得出结论．
解答： 解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴ = ， = ，
∵CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m，
∴ = ①， = ②，
∴ = ，解得BD=50m，
∴ = ，解得AB=52m．
故答案为：52．
点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
18．（3分）（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三
尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看
作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠
绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 2 5 尺．
考点： 平面展开-最短路径问题
分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可
转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为 =25（尺）．
故答案为25．
点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题
是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
三、解答题
19．（9分）（2014•潍坊）今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容，考
试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级220名男生中，随机抽取20名进行“引体向
上”测试，测试成绩（单位：个）如图1：其中有一数据被污损，统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数．
（1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差；
（2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图2）；
频数、频率分布表：
测试成绩/个 频数 频率
1～5 2 0.10
6～10 6 0.30
11～15 9 0.45
16～20 3 0.15
合计 20 1.00
（3）估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上（包含11个）
“引体向上”？
考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布表．
分析： （1）直接利用平均数求法得出x的值，进而求出极差即可；
（2）直接利用已知数据得出各组频数，进而求出频率，填表和补全条形图即
可；
（3）利用样本估计总体的方法得出，能完成11个以上的是后两组所占百分
比，进而得出九年级男生能完成11个以上（包含11个）“引体向上”的人
数．
解答： 解：（1）设被污损的数据为x，
由题意知： =11.3，
解得：x=19，
根据极差的定义，可得该组数据的极差是：19﹣3=16，
（2）由样本数据知，测试成绩在6～10个的有6名，该组频数为6，相应频率
是： =0.30，
测试成绩在11～15个的有9名，该组频数为9，相应频率是： =0.45，
补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示：
测试成绩/个 频数 频率
1～5 2 0.10
6～10 6 0.30
11～15 9 0.45
16～20 3 0.15
合计 20 1.00
（3）由频率分布表可知，能完成11个以上的是后两组，（0.45+0.15）
×100%=60%，
由此估计在学业水平体育考试中能完成11个以上“引体向上”的男生数
是：220×60%=132（名）．点评： 此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图等知识，正确掌握相关定义
求出各组频率是解题关键．
20．（10分）（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与
另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．
考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形
分析： （1）连接OE，证出RT△OAD≌RT△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，
得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到OD∥BE，
（2）由RT△COE≌RT△COB，得到△COD是直角三角形，利用S梯形
ABCD
=2S△COD ，
求出xy=48，结合x+y=14，求出CD．
解答： （1）证明：如图，连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED，
∴Rt△OAD≌Rt△OED（SAS）∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE，
在⊙O中，∠ABE= ∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE．
（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，
∴∠COE=∠COB= ∠BOE，
∵∠DOE+∠COE=90°，
∴△COD是直角三角形，
∵S△DEO =S△DAO ，S△OCE =S△COB ，
∴S梯形ABCD =2（S△DOE +S△COE ）=2S△COD =OC•OD=48，即xy=48，
又∵x+y=14，
∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=142﹣2×48=100，
在RT△COD中，CD= = = =10，
∴CD=10．
点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定
理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及角
的关系．
21．（10分）（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机
在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的
俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另
一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析： 首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为
矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100﹣
200=900米，CD=1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函
数即可求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离AB．
解答： 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=1100﹣200=900米，CD=1.99×104米=19900米．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=900米．
∴CE= = =300 （米） ．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=900米．
∴DF= = =900（米）．
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=19900+300 ﹣900=19000+300 （米） ．答：两海岛间的距离AB为（19000+300 ）米．
点评： 此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造
直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
22．（12分）（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，
交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的
值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM
和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
考点： 四边形综合题
分析： （1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；
（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QP
求解；
（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得
S△AGN = ，再利用S四边形GHMN =S△AHM ﹣S△AGN 求解．
解答： （1）证明：如图1，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．
（2）解：如图2，根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x= ，
∴sin∠BQP= = = ．
（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴ = ，
∴ = ，
∴S△AGN = ，
∴S四边形GHMN =S△AHM ﹣S△AGN =1﹣ = ，
∴四边形GHMN的面积是 ．
点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大
小不变，找准对应边，角的关系求解．
23．（12分）（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度
x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千
米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220
时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制
大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流
密度．求大桥上车流量y的最大值．
考点： 一次函数的应用
分析： （1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题
意的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函
数关系由函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得
，
解得： ，∴当20≤x≤220时，v=﹣ x+88；
（2）由题意，得
，
解得：70＜x＜120．
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，
当0≤x≤20时
y=80x，
∴k=80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=20时，y最大=1600；
当20≤x≤220时
y=（﹣ x+88）x=﹣ （x﹣110）2+4840，
∴当x=110时，y最大=4840．
∵4840＞1600，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时．
点评： 本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元
一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关
键．
24．（13分）（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点
A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交
于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为
17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣=1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后
由①②③可解得，a=﹣ ，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣
x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，
FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则FH=﹣ t2+t+4，FG=t，
先根据三角形的面积公式求出S△OBF = OB•FH=﹣t2+2t+8，S△OFC =
OC•FG=2t，再由S四边形ABFC =S△AOC +S△OBF +S△OFC ，得到S四边形ABFC =﹣
t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，由△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，得
出方程t2﹣4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+4，再求出抛物线
y=﹣ x2+x+4的顶点D（1， ），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是
DE= ﹣3= ．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为
DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是
（m，﹣ m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（﹣
m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，解方程﹣ m2+2m= ，求出m的值，得
到P（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2
1
﹣2m，解方程 m2﹣2m= ，求出m的值，得到P（2+ ，2﹣ ），P（2
2 3
﹣ ，2+ ）．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），∴c=4 ①．
∵对称轴x=﹣ =1，∴b=﹣2a ②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0=4a﹣2b+c ③，
由①②③解得，a=﹣ ，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x
轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH=﹣ t2+t+4，FG=t，
∴S△OBF = OB•FH= ×4×（﹣ t2+t+4）=﹣t2+2t+8，
S△OFC = OC•FG= ×4×t=2t，
∴S四边形ABFC =S△AOC +S△OBF +S△OFC =4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，
则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，
故不存在满足条件的点F；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．
由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ，
∴顶点D（1， ），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE= ﹣3= ．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须
DE=PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，
由﹣ m2+2m= ，解得：m=1或3．
当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，
∴m=3，P （3，1）．
1
②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，
由 m2﹣2m= ，解得m=2± ，经检验适合题意，
此时P （2+ ，2﹣ ），P （2﹣ ，2+ ）．
2 3
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P（3，1），P（2+ ，2﹣ ），
1 2
P （2﹣ ，2+ ）．
3
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一
次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较
强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
